Números Complejos

Objetos

• Geométricos
• Generales
  • Números y ángulos
  • Complejos
  • Lógicos
  • Listas
  • Matrices
  • Textos
  • Imágenes
• de Acción
• Propiedades de Objeto
• Objetos libres, dependientes y auxiliares
• Nombre
• Etiquetas y rótulos
• Selecciones
• Cambio de valores
• Animación
• Rastro
• Atributos
• Guiones (scripting)

GeoGebra no trata directamente con números complejos o con sus operaciones, pero se pueden emplear puntos para simularlos.

Ejemplo: Si se ingresa el número complejo 3 + 4 ί en la Barra de Entrada, aparece el punto (3, 4) en la Vista Gráfica con correspondiente registro algebraico 3 + 4 ί.

Nota:
Los números complejos...

• .. se exponen como puntos, sea que se identifiquen con una letra mayúscula o minúscula.
• ... viceversa, se pueden asociar a cualquier punto de modo que así aparezca identificado en la Vista Algebraica. Basta acceder a su Propiedades y seleccionar Número Complejo en la lista de formatos de Coordenadas de la pestaña Álgebra.

La unidad imaginaria ί puede seleccionarse en la caja de símbolos en la Barra de Entrada o anotarse pulsando Alt + i. A menos que se estuviera ingresando valores en la Vista CAS o que ya se hubiera definido i previamente, la variable i se reconocerá como el par ordenado i = (0, 1) o el número complejo 0 + 1ί.
Esto también implica que puede emplearse esta variable para anotar números complejos en la Barra de Entrada (como, por ejemplo, q = 3 + 4ί), pero no en la Vista CAS.

Ejemplos:

Sumas y Restas

• (2 + 1i) + (1 – 2ί ) da por resultado el número complejo 3 – 1i.
• (2 + 1i) - (1 – 2ί ) da por resultado el número complejo 1 + 3ί

Multiplicación y División

• (2 + 1i) * (1 – 2ί )) da por resultado el número complejo 4 – 3ί .
• (2 + 1i) / (1 – 2ί ) da por resultado el número complejo 0 + 1i.

Nota:
La multiplicación habitual (2, 1)*(1, -2) da por resultado el producto escalar de los dos vectores.

GeoGebra también reconoce expresiones con números reales y complejos, que pueden ingresarse desde la Barra de Entrada o en la Vista CAS.

Ejemplos:
Operaciones que ofrecen un resultado algebraico y su correlato en registro gráfico:

• 3 + (4 + 5ί ) da por resultado el número complejo 7 + 5ί
• 3 - (4 + 5ί ) da por resultado el número complejo -1 - 5ί
• 3 / (0 + 1i) da por resultado el número complejo 0 -3ί
• 3 * (1 + 2ί ) da por resultado el número complejo 3+-6ί

  ---

  Como en cualquier caso, para que aparezca representado gráficamente lo ingresado en la Vista CAS es preciso tildar el redondelito que encabeza la fila correspondiente:

Componentes de un Número Complejo

	Comando	Fonción Pre-Definida
Parte real	x(z)	Re(z)
Parte imaginaria	y(z)	Im(z)
Módulo	Longitud[z]	abs(z)
Argumento	Angulo[z]	arg(z)
Conjugado	Refleja[z,EjeX]	conjugate(z)

Indagando si... EsComplejo

Para averiguar si un número a es complejo o real, como ni la función x() ni y() operan con reales y no se cuenta con un comando del orden de as EsComplejo, una posible maniobra sería acudir a:
complejo = Definido[sqrt(a) + sqrt(-a)] ∧ (a ≠ 0) lo que da un resultado indicativo porque sólo los complejos tienen sendas raíces, positiva y negativa (excepto, claro, el 0 que por eso precisa ser descartado como caso especial).

Nota:
Los complejos con parte imaginaria 0, como b = 2 + 0i también darán un resultado positivo. Para controlar también esta alternativa, es preciso añadir y(a) != 0.

Ejemplos:
Si se establece un punto A y luego los números:

• b_1 = sqrt(abs(x(A)))
• b_2 = sqrt(abs(x(A))) ί)
• b = Definido[sqrt(x(A))] b_1 + Definido[sqrt(-x(A))] b_2
• Complejo = Si[Definido[sqrt(b) + sqrt(-b)] ∧ (b ≠ 0), y(b) ≠ 0]]

... cuando A = (2, 0), será b = 1.41 + 0i y Complejo = false.

---

Nota: Un breve video en inglés ilustra la creación de complejos.