Números Complejos

De GeoGebra Manual
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GeoGebra no trata directamente con números complejos o con sus operaciones, pero se pueden emplear puntos para simularlos.
Para incluir la unidad imaginaria ί se puede...

  • anotarla pulsando Alt + i
  • seleccionarla de la caja de símbolos a la derecha en la Barra de Entrada
  • referenciarla, en la Vista CAS a través de la operación sqrt(-1) que la desencadena.
Ejemplo: Si se ingresa el número complejo:
3 + 4 ί en la Barra de Entrada, aparece el punto (3, 4) en la Vista Gráfica con correspondiente registro algebraico 3 + 4 ί.
Notas:
Los números complejos...
  • .. se exponen como puntos, sea que se identifiquen con una letra mayúscula o minúscula.
  • ... viceversa, se pueden asociar a cualquier punto de modo que así aparezca identificado en la Vista Algebraica. Basta acceder a su Propiedades y seleccionar Número Complejo en la lista de formatos de Coordenadas de la pestaña Álgebra.
Bulbgraph.pngAtención: A menos que se estuviera ingresando valores en la Vista CAS o que ya se hubiera definido i previamente, la variable i se reconocerá como el par ordenado i = (0, 1) o el número complejo 0 + 1ί.
Esto también implica que puede emplearse esta variable para anotar números complejos en la Barra de Entrada (como, por ejemplo, q = 3 + 4ί), pero no en la Vista CAS.
Ejemplos:
Sumas y Restas
  • (2 + 1i) + (1 – 2ί) da por resultado el complejo 3 – 1i.
  • (2 + 1i) - (1 – 2ί) da por resultado el complejo 1 + 3ί
Multiplicación y División
  • (2 + 1i) * (1 – 2ί) da por resultado el complejo 4 – 3ί .
  • (2 + 1i) / (1 – 2ί) da el complejo 0 + 1i.
Nota:
La multiplicación habitual (2, 1)*(1, -2) da el producto escalar de los dos vectores.

GeoGebra también reconoce expresiones con números reales y complejos, que pueden ingresarse desde la Barra de Entrada o en la Vista CAS.

Ejemplos:
Operaciones que ofrecen un resultado algebraico y su correlato en registro gráfico:
  • 3 + (4 + 5ί) da por resultado el complejo 7 + 5ί
  • 3 - (4 + 5ί) da por resultado el complejo -1 - 5ί
  • 3 / (0 + 1ί) da por resultado el complejo 0 -3ί
  • 3 * (1 + 2ί) da por resultado el complejo 3+-6ί
    Como en cualquier caso, para que aparezca representado gráficamente lo ingresado en la Vista CAS es preciso tildar el redondelito que encabeza la fila correspondiente:

Ingresando Expresiones Complejas
Para ingresar... Se teclea...

3 + 4 ί

3+4 Alt + i

2ℯ^(ίπ/4)

2 Alt + e^( Alt + i Alt + p /4 )

2exp(ίπ/4)

2exp( Alt + i Alt + p /4 )


Se puede incluir exp(x) con doble clic sobre su referencia en la tabla de Funciones Matemáticas desplegable desde la Ayuda. Luego hay que borrar esa x para anotar en su lugar lo que corresponda según la expresión.

Componentes de un Número Complejo

Comando Función Pre-Definida
Parte real x(\mathrm{\mathsf{ z_{1} }}) real(\mathrm{\mathsf{ z_{1} }})
Parte imaginaria y(\mathrm{\mathsf{ z_{1} }}) imaginaria(\mathrm{\mathsf{ z_{1} }})
Módulo Longitud[\mathrm{\mathsf{ z_{1} }}] abs(\mathrm{\mathsf{ z_{1} }})
Argumento
Ángulo[\mathrm{\mathsf{ z_{1} }}] arg(\mathrm{\mathsf{ z_{1} }})
Conjugado
Refleja[\mathrm{\mathsf{ z_{1} }},EjeX] conjugate(\mathrm{\mathsf{ z_{1} }})

Indagando si... EsComplejo

Para averiguar si un número a es complejo o real, como ni la función x() ni y() operan con reales y no se cuenta con un comando del orden de as EsComplejo, una posible maniobra sería acudir a:
complejo = EstáDefinido[sqrt(a) + sqrt(-a)] ∧ (a ≠ 0) lo que da un resultado indicativo porque solo los complejos tienen sendas raíces, positiva y negativa (excepto, claro, el 0 que por eso precisa ser descartado como caso especial).

Nota:
Los complejos con parte imaginaria 0, como b = 2 + 0i también darán un resultado positivo. Para controlar también esta alternativa, es preciso añadir y(a) != 0.
Ejemplos:
Si se establece un punto A y luego los números:
... cuando A = (2, 0), será b = 1.41 + 0i y Complejo = false.

Nota: Un breve video en inglés ilustra la creación de complejos.
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