Objetos Geométricos

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Objetos Geométricos de cada Tipo

GeoGebra trabaja con diversos tipos de objetos geométricos:

Recorridos

Algunos de los objetos mencionados (rectas, secciones cónicas, arcos, polígonos, inecuaciones de variables simples, intervalos) así como las listas de puntos o los lugares geométricos suelen designarse "recorridos".
Puede definirse un punto sobre un recorrido usando el comando Punto. Cada punto en un recorrido queda asociado a un parámetro que lo vincula al trayecto con un número que va de 0 a 1. El comando ParámetroRecorrido permite acceder a tal parámetro.

Nota: Una lista que contenga recorridos resulta, a su vez, también un recorrido por el que puede desplazarse un punto - como en el listado de dos elipses que conforma un circuito del punto P = Punto( {Cónica(T, U, V, W, Z), Refleja( Cónica(T, U, V, W, Z), W) }) - cuyo parámetro se puede averigar -ParámetroRecorrido(P) -.

Trayectos Compuestos

Se puede ubicar un punto en un recorrido compuesto que, en tal sentido, da origen a un particular tipo de objeto, el de los Pasos Compuestos. Algunos casos de un punto en ese tipo de objeto serían, por ejemplo...

Pato Paso Complejo .png

Regiones

Se puede restringir un punto a...

  • una región. Sea el área de un polígono, de un sector asociado a un arco o delimitada por una cónica; sea la determinada por inecuaciones de dos variables
  • un lugar geométrico o una superficie identificable

A tal efecto, se puede recurrir al comando PuntoEn o a la herramienta Mode pointonobject.png Punto en Objeto.

Tool tool.pngAdemás de consultar alternativas en la Vista Menu view cas.svg CAS y en GGb5.png la Menu view graphics3D.png Vista 3D de la versión View-graphics3D24.png, ver también cada una de las herramientas asociadas Mode attachdetachpoint.png Punto (des)vinculado

Funciones

Para ingresar una función se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores) y otras funciones.

Ejemplos:
  • Función f: f(x) = 3 x^3 – x^2
  • Función g: g(x) = tan(f(x))
  • Función sin nombre: sin(3 x) + tan(x)
  • Función de exponente racional (siendo el conjunto de definición IR ): h(x) = x^(1/5)
  • Función de exponente real (el conjunto de definición, más restringido respecto al previo, será el de R+ : p(x) = x^(0.2)
Nota: Se describen en la sección dedicada a Operadores y Funciones Predefinidas todas las internas como seno, coseno, tangente - sin(), cos(), tan() - y otras trigonométricas.


Funciones Trascendentales
Es posible operar con las más usuales funciones trascendentales: las exponenciales y las logarítmicas.
f(x) = ex (exponencial)
f(x) = log x

Operando y Condicionando

Existen comandos para obtener, por ejemplo, la integral y derivada de una función.

Bulbgraph.pngAtención: Los comandos como Si permiten establecer Funciones Condicionales o definidas por tramos.

También se pueden emplear f'(x) o f''(x) para las derivadas de una función f(x) (previamente definida).

Ejemplo: Tras definirse la f como f(x) = 3 x^3 – x^2, puede ingresarse g(x) = cos(f' (x + 2)) para obtener la función g.

Transformando

Se pueden aplicar comandos de Transformación a una función. Pero en la mayor parte de los casos, el resultado ya no es una función sino una curva.

Bulbgraph.pngAtención:
Las funciones pueden ser trasladadas por un vector.
Sea empleando el correspondiente comando - Traslada - o, de tratarse de una función libre, directamente desplazándola con el mouse o ratón con la herramienta Mode move.svg Elige y Mueve.

Función Limitada a un Intervalo

Se limita una función a un intervalo [a, b], con el comando Si.

Ejemplo:
Si(x≥3 ∧ x≤5,x^2) definiría una restricción de \mathrm{\mathsf{ f : x \mapsto x^2 }} al intervalo [3,5].
Bulbgraph.pngAtención:
Función(x^2,3,5) define a la función x2 en todo el rango de valores de x pero solo la expone en el intervalo [3, 5] mientras Si(3<=x<=5, x^2) directamente la restringe a tal intervalo dado que queda definida solo en el tramo [3, 5]

Ajustes que llevan a Funciones desde Datos "empíricos"

Desde un conjunto de puntos, con el comando de Ajuste adecuado, se llega a un función que puede resultar más o menos pertinente en cada caso.
El boceto al pie ilustra animadamente la función resultante del ajuste vinculado a la lista de puntos que conforman cada tope del sucesivo perfil de escalón de una peculiar escalera.
Escalera en que lo que se mantiene es el área de cada perfil de sus escalones al valor que fija el deslizador. De este modo, cuando aumenta la altura disminuye la base y viceversa. Como las bases van disminuyendo con un delta de x unitario, las alturas de cada escalón se establece de forma tal que la condición se mantenga.
Puede apreciarse que el cociente incremental en esta función resultante depende inversa, cuadrática e intensamente de la base de cada escalón. De modo que cuando el área es, por ejemplo, 18 unidades, al pasar de tres unidades de longitud a dos, se incrementa en un 50% (de 6 a 9) la de la altura y al pasar a una, se duplica (de 9 a 18). Es mucho menos dramática la razón de cambio en zonas de base mayores.
En el boceto se evidencia, además, que cuando pueden seleccionarse cinco de los puntos en juego, también es posible trazar la sección cónica correspondiente a la hipérbola correspondiente.
La secciones cónicas son objetos geométricos no susceptibles al mismo tratamiento de las funciones aunque, como en este caso, coincida el trazado de sus curvas.



Escaleraincremental.gif

Líneas y Ejes

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Rectas

Rectamente

Una recta se ingresa como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica en la Barra de Entrada. En ambos casos, se pueden emplear en tal ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores).

Nota: El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada seguidos por (los dos puntos).
Ejemplos:
  • Puede definirse una recta g ingresando g: 3x + 4y = 2 como ecuación lineal.
  • Debe establecerse un parámetro t (como t = 3) antes de ingresar la recta g en formato paramétrico
    g: X = (-5, 5) + t (4, -3)
  • En primer lugar, debe darse valor a los parámetros m y b - m = 2 y b = -1 en este caso - antes de ingresar la ecuación
    g: y = m x + b para obtener una recta g según tal formato de tal ecuación.

Reciprocidad

Dada una recta cuya ecuación toma la forma \mathrm{\mathsf{ d: ax + by + c = 0 }} es posible obtener los coeficientes con la siguiente sintaxis x(d), y(d) y z(d).

Ejemplos: Siendo d: 3x + 2y - 2 = 0 :
x(d) da 3 :
y(d) da 2 y
z(d) da -2.
Nota: Suele ser útil el comando Coeficientes

Ejes

A sendos ejes de coordenadas se accede con los términos correspondientes a través de EjeX y EjeY respectivamente.

EjeX / EjeY --- Abscisas y Ordenadas de un Punto

Para mencionar a uno u otro de los ejes, deben emplearse cada uno de los correspondientes términos:

EjeX

Corresponde a las abscisas.

EjeY

Corresponde a las ordenadas.

Sobre los Ejes

Se hace referencia a los ejes y a las coordenadas con diversos propósitos: asociados al recorrido en tanto ámbito en el que ubicar puntos, como ilustran los primeros dos ejemplos a continuación, o para vincularlos a la creación de otros objetos, como se aprecia en los siguientes.

Ejemplos:
A = Punto(EjeX)
B = Punto(EjeY)
Perpendicular(A, EjeX) construye la recta perpendicular al eje x que pasa por el punto A.
Perpendicular(B, EjeY) construye la recta perpendicular al eje y que pasa por el punto B

Para referir a la abscisa u ordenada de un punto, se requieren las funciones x() y y(), incluidos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos:
C = (x(A), y(B) )
P_i = (x(Interseca( Recta(A, B) , EjeY) ), y(B) ) crea el punto P_i con las coordenadas indicadas.

Valores de los Parámetros de una Recta

A partir de ka recta a: 2.2 x + 3.3 y = 4.4 se puede obtener el valor de cada parámetro según se lista:

  • x(a) brinda el valor 2.2
  • y(a) brinda el valor 3.3
  • z(a) brinda el valor -4.4 (porque GeoGebra almacena la ecuación de la recta como 2.2 x + 3.3 y - 4.4 = 0)
Nota: Ver también el comando Coeficientes y variantes en la lineal implícita.

Curvas





GeoGebra, para la representación gráfica, opera con distinto tipo de curvas: paramétricas o implícitas o polares.

Curvas Paramétricas

CardioidTangent.png
De formulación a(t) = (f(t), g(t)) siendo t el parámetro real dentro de cierto rango, pueden crearse usando el comando Curva.
Estas curvas pueden...
Nota: El boceto al pie ilustra animadamente el modo en que se emplea un Mode slider.svg deslizador para determinar la curva desplegada según se aprecia.
Curvas .gif

FitPolyExample.png
PolynomialExample.png

Como no siempre es posible idear qué curvas paramétricas pasarían por ciertos puntos dados para establecerlas, es conveniente y mejor en esos casos, recurrir a otras estrategias como...:

  • intentar un comando de ajuste polinómico o exponencial u otros
  • operar para encontrar la función que los contenga con tanteos dinámicos.

Curvas Implícitas

Se pueden ingresar, directamente desde la Barra de Entrada, a partir de polinómicas en sendas variables, x e y.
Nota: Actualmente, solo se generan a partir de las variables x e y.

Ejemplo: x^4 + y^3 = 2x*y
ImplicitCurveExample.png
Nota: Además del ingreso directo, desde la Barra de Entrada, pueden emplearse los comandos:
- CurvaImplícita
- en algunos casos, como ilustran sus ejemplos, EcuaciónLugar
ImplicitCurveExample2.png

Nota:
  • Apelando a la herramienta Mode point.svg Punto o al comando Punto, puede ubicarse uno en la curva y desplazarlo con el ratón o mouse.

    Alerta Alerta: En algunos casos, sin embargo, el punto puede no resultar dependiente de la curva y operará, curiosamente, como si fuera libre.

GeoGebra también admite el tipo de curvas Polares.

Curvas Polares

Para representar este tipo de curvas, se admiten diversos tipos de sintaxis tal como ilustran los ejemplos a continuación.

Ejemplos:
ρ=sin(2 θ), o
f(t)=(sin(2*t); t), o
(sin(2*t); t), o
f(t)=(sin(2*t); t), 0< t < 2 pi, o
(sin(2*t); t), 0 < t < 2 pi, o
Curva((sin(2*t); t), t, 0, 2pi).
Nota:
Cabe recordar que las curvas paramétricas también pueden ingresarse directamente desde la entrada . Por ejemplo, (t^2,t^3)

Secciones Cónicas

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Sobre Cónicas

Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y. Se pueden emplear en la ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores).

Nota: El nombre de la sección cónica debe encabezar la entrada, seguido de los dos puntos ː.

Tipos de ecuaciones

En general, para todas: a x² + b x y +c y² + d x + e y = f
En particular:

  • Para una parábola :
y² = ou x² =
y=a(x-x0)² +y0
4p(y - y0) = (x - x0
  • Para una elipse o una hipérbole:
(x-m)²/a² ± (y-n)²/b²=1

En ciertos casos, es posible mantener el formato empleado para crear la cónica, desde la Entrada, a partir de la Vista Algebraica, en el Campo de Ecuación.

Ejemplos

Sección Cónica Entrada
Elipse eli el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144
Hipérbola hip hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144
Parábola par par: y^2 = 4 x
Circunferencia k1 k1: x^2 + y^2 = 25
Circunferencia k2 k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25
Bulbgraph.pngAtención: Si previamente se definen dos parámetros a = 4 y b = 3, se puede ingresar en relación a ambos, por ejemplo una elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.
Nota: Ver también la sección sobre Herramientas de Cónicas

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