LöseDgl (Befehl): Unterschied zwischen den Versionen

Aus GeoGebra Manual
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Textersetzung - „;([^\n]*)\[(.*)\]“ durch „;$1($2)“)
 
(12 dazwischenliegende Versionen von 7 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
<noinclude>{{Manual Page|version=4.0}}</noinclude>{{command|function|LöseDgl}}
+
<noinclude>{{Manual Page|version=5.0}}</noinclude>
 +
{{command|cas=true|function|LoeseDgl}}
  
;LöseDgl[ <f'(x,y)>, <Start x>, <Start y>, <Ende x>, <Schrittweite> ]
+
;LöseDgl( <f'(x, y)> )
:Löst eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
+
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung <math>\frac{dy}{dx}(x)=f'(x, y(x))</math> zu finden.
\begin{equation}\frac{dy}{dx}=f'(x,y) \end{equation}
+
:{{example| 1=<div><code><nowiki>LöseDgl[2x / y]</nowiki></code> liefert <math>\sqrt{2}  \sqrt{-c_{1}+x^{2}}</math>, wobei <math>c_{1}</math> eine Konstante ist.</div>}}
:numerisch mit gegebenem Startpunkt und Ende für ''x''.
+
:{{note|1= <math>c_{1}</math> wird als Hilfsobjekt mit einem entsprechenden Schieberegler erstellt.}}
:Um zum Beispiel
+
;LöseDgl( <f'(x, y)>, <Punkt von f> )
\begin{equation} \frac{dy}{dx}=-xy \end{equation}
+
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung <math>\frac{dy}{dx}(x)=f'(x, y(x))</math> zu finden, wobei die Lösung durch den gegebenen Punkt verläuft.
:mit Startpunkt ''A'' zu lösen, geben Sie LöseDgl[-x*y, x(A), y(A), 5, 0.1] ein.
+
:{{example| 1=<div><code><nowiki>LöseDgl[y / x, (1, 2)]</nowiki></code> liefert ''y = 2x''.</div>}}
 
+
;LöseDgl( <f'(x, y)>, <Start x>, <Start y>, <Ende x>, <Schrittweite> )
{{Note|[[Länge_(Befehl)|Länge <Ortslinie>]] ermöglichst es herauszufinden wie viele Punkte sich auf der berechneten Ortslinie befinden. [[Erstes_(Befehl)|Erstes <Ortslinie>, <Anzahl n der Elemente>]] ermöglicht es die Punkte als Liste auszugeben, z. B.
+
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung <math>\frac{dy}{dx}=f'(x,y) </math> numerisch, mit gegebenem Startpunkt, Ende und Schrittweite für ''x'' zu finden.
Erstes[ ortslinie1, Länge[ ortslinie1 ] ]
+
:{{example|1=<div><code>LöseDgl[-x*y, x(A), y(A), 5, 0.1]</code> löst die Gleichung <math>\frac{dy}{dx}=-xy</math>  beginnend mit dem zuvor definierten Startpunkt ''A''.</div>}}
}}
+
:{{Note|1=
 
+
:*[[Länge_(Befehl)|Länge]][ <Ortslinie> ] ermöglicht es herauszufinden, wie viele Punkte sich auf der berechneten Ortslinie befinden.  
;LöseDgl[ <y'>, <x'>, <Start x>, <Start y>, <Ende t>, <Schrittweite> ]
+
:*[[Erstes_(Befehl)|Erstes]][ <Ortslinie>, <Anzahl der Elemente> ] ermöglicht es die Punkte als Liste auszugeben.
:Löst eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
+
:*Um die "entgegengesetzte" Lösung zu erhalten, müssen negative Werte für ''Ende x'' verwendet werden. z.B. <code>LöseDgl[-x*y, x(A), y(A), -5, 0.1]</code>}}
\begin{equation} \frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)} \end{equation}
+
;LöseDgl( <y'>, <x'>, <Start x>, <Start y>, <Ende t>, <Schrittweite> )
:mit gegebenem Startpunkt, Maximalwert eines internen Parameters ''t'' und die Schrittweite für ''t''. Diese Version des Befehls könnte funktionieren, falls der erste Befehl nicht funktioniert, wenn z. B. die Lösungskurve vertikale Punkte besitzt.
+
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung <math>\frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)} </math> mit gegebenem Startpunkt, Maximalwert eines internen Parameters ''t'' und der Schrittweite für ''t'' zu finden. Diese Version des Befehls könnte auch dann funktionieren, falls der erste Befehl nicht funktioniert, wenn z. B. die Lösungskurve vertikale Punkte besitzt.
:Um zum Beispiel
+
:{{example|1=<div><code>LöseDgl[-x, y, x(A), y(A), 5, 0.1]</code> löst <math>\frac{dy}{dx}=- \frac{x}{y} </math> beginnend mit dem zuvor definierten Startpunkt ''A''.</div>}}
\begin{equation}\frac{dy}{dx}=- \frac{x}{y} \end{equation}
+
:{{note| 1=Um die "entgegengesetzte" Lösung zu erhalten, müssen negative Werte für ''Ende t'' verwendet werden. z.B. <code>LöseDgl[-x, y, x(A), y(A), -5, 0.1]</code>.}}
:mit Startpunkt ''A'' zu lösen, geben Sie LöseDgl[-x, y, x(A), y(A), 5, 0.1] ein.
+
;LöseDgl( &lt;b(x)>, <c(x)>, <f(x)>, <Start x>, <Start y>, <Start y'>, <Ende x>, <Schrittweite> )
 
+
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung <math>y'' + b(x) y' + c(x) y = f(x)</math> zu finden.
;LöseDgl[ &lt;b(x)>, &lt;c(x)>, &lt;f(x)>, &lt;Start x>, &lt;Start y>, &lt;Start y'>, &lt;Ende x>, &lt;Schrittweite>]
+
:{{example|1=<div><code>LöseDgl[x^2, 2x, 2x^2 + x, x(A), y(A), 0, 5, 0.1]</code> löst die Differentialgleichung beginnend mit dem zuvor definierten Startpunkt ''A''.</div>}}
:Löst eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
+
:{{Note|1=Hier wird immer eine Ortslinie als Ergebnis geliefert. Der Algorithmus basiert auf dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]].}}
\begin{equation}y''+b(x)y'+c(x)y=f(x)\end{equation}
+
{{Note|1=Siehe auch [[Richtungsfeld_(Befehl)|Richtungsfeld]].}}
 
 
{{Note|Hier wird immer eine Ortslinie als Ergebnis geliefert. Der Algortihmus basiert auf dem [[w: de: Runge-Kutta-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren]].}}
 
  
 
==CAS-Ansicht==
 
==CAS-Ansicht==
Die folgenden zwei Schreibweisen funktionieren nur in der [[CAS-Ansicht]] und nur mit [[Maxima]] als Computer-Algebra-System.
+
;LöseDgl( <Gleichung> )
;LöseDgl(<f(x,y)>)  
+
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden. Für die erste und zweite Ableitung von ''<nowiki>y</nowiki>'' kann man ''<nowiki>y'</nowiki>'' und ''<nowiki>y''</nowiki>'' schreiben.
:Versucht eine exakte Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung zu finden
+
:{{example| 1=<div><code><nowiki>LöseDgl[y' = y / x]</nowiki></code> berechnet ''y = c<sub>1</sub> x''.</div>}}
\begin{equation} \frac{dy}{dx}=f(x,y) \end{equation}
+
;LöseDgl( <Gleichung>, <Punkt(e) von f> )
 
+
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen ''Punkt(e) von f'' verläuft.
;LöseDgl(<f( var1, var2)>, <var1>, <var2>)  
+
:{{example| 1=<div><code><nowiki>LöseDgl[y' = y / x, (1, 2)]</nowiki></code> berechnet ''y = 2x''.</div>}}
:Wie oben, aber die Funktion ''f'' kann auch durch andere Variablen als ''x'' und ''y'' definiert werden.
+
;LöseDgl( <Gleichung>, <Punkt(e) von f>, <Punkt(e) von f'> )
 +
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen ''Punkt(e) von f'' und die Funktion ''<nowiki>f' </nowiki>'' durch den/die gegebenen ''Punkt(e) von f' '' verläuft.
 +
:{{example| 1=<div><code><nowiki>LöseDgl[y'' - 3y' + 2 = x, (2, 3), (1, 2)]</nowiki></code> berechnet <math> y = \frac{-9  x^2  e^3 + 30  x  e^3 - 32 {(e^3)}^2 + 138  e^3 + 32  e^{3  x} }{54  e^3} </math>.</div>}}
 +
;LöseDgl( <Gleichung>, <Abhängige Variable>, <Unabhängige Variable>, <Punkt(e) von f> )
 +
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen ''Punkt(e) von f'' verläuft.
 +
:{{example| 1=<div><code><nowiki>LöseDgl[v' = v / w, v,  w, (1, 2)]</nowiki></code> berechnet ''v = 2w''.</div>}}
 +
;LöseDgl( <Gleichung>, <Abhängige Variable>, <Unabhängige Variable>, <Punkt(e) von f>, <Punkt(e) von f'> )
 +
:Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen ''Punkt(e) von f'' und die Funktion ''<nowiki>f' </nowiki>'' durch den/die gegebenen ''Punkt(e) von f' '' verläuft.
 +
:{{example| 1=<div><code><nowiki>LöseDgl[v' = v / w, v,  w, (1, 2), (0, 2)]</nowiki></code> berechnet ''v = 2w''.</div>}}
 +
<br>
 +
{{note|1= Um für Kompatibilität mit der Eingabzeile zu sorgen, wird, falls der erste Parameter ein Ausdruck ohne ''<nowiki>y'</nowiki>'' oder ''<nowiki>y''</nowiki>'' ist, dieser Ausdruck als rechte Seite einer gewöhnlichen Differentialgleichung gesehen, bei der die linke Seite ''<nowiki>y'</nowiki>'' ist.}}

Aktuelle Version vom 7. Oktober 2017, 17:48 Uhr


LöseDgl( <f'(x, y)> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung \frac{dy}{dx}(x)=f'(x, y(x)) zu finden.
Beispiel:
LöseDgl[2x / y] liefert \sqrt{2} \sqrt{-c_{1}+x^{2}}, wobei c_{1} eine Konstante ist.
Anmerkung: c_{1} wird als Hilfsobjekt mit einem entsprechenden Schieberegler erstellt.
LöseDgl( <f'(x, y)>, <Punkt von f> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung \frac{dy}{dx}(x)=f'(x, y(x)) zu finden, wobei die Lösung durch den gegebenen Punkt verläuft.
Beispiel:
LöseDgl[y / x, (1, 2)] liefert y = 2x.
LöseDgl( <f'(x, y)>, <Start x>, <Start y>, <Ende x>, <Schrittweite> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung \frac{dy}{dx}=f'(x,y) numerisch, mit gegebenem Startpunkt, Ende und Schrittweite für x zu finden.
Beispiel:
LöseDgl[-x*y, x(A), y(A), 5, 0.1] löst die Gleichung \frac{dy}{dx}=-xy beginnend mit dem zuvor definierten Startpunkt A.
Anmerkung:
  • Länge[ <Ortslinie> ] ermöglicht es herauszufinden, wie viele Punkte sich auf der berechneten Ortslinie befinden.
  • Erstes[ <Ortslinie>, <Anzahl der Elemente> ] ermöglicht es die Punkte als Liste auszugeben.
  • Um die "entgegengesetzte" Lösung zu erhalten, müssen negative Werte für Ende x verwendet werden. z.B. LöseDgl[-x*y, x(A), y(A), -5, 0.1]
LöseDgl( <y'>, <x'>, <Start x>, <Start y>, <Ende t>, <Schrittweite> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung \frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)} mit gegebenem Startpunkt, Maximalwert eines internen Parameters t und der Schrittweite für t zu finden. Diese Version des Befehls könnte auch dann funktionieren, falls der erste Befehl nicht funktioniert, wenn z. B. die Lösungskurve vertikale Punkte besitzt.
Beispiel:
LöseDgl[-x, y, x(A), y(A), 5, 0.1] löst \frac{dy}{dx}=- \frac{x}{y} beginnend mit dem zuvor definierten Startpunkt A.
Anmerkung: Um die "entgegengesetzte" Lösung zu erhalten, müssen negative Werte für Ende t verwendet werden. z.B. LöseDgl[-x, y, x(A), y(A), -5, 0.1].
LöseDgl( <b(x)>, <c(x)>, <f(x)>, <Start x>, <Start y>, <Start y'>, <Ende x>, <Schrittweite> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung y'' + b(x) y' + c(x) y = f(x) zu finden.
Beispiel:
LöseDgl[x^2, 2x, 2x^2 + x, x(A), y(A), 0, 5, 0.1] löst die Differentialgleichung beginnend mit dem zuvor definierten Startpunkt A.
Anmerkung: Hier wird immer eine Ortslinie als Ergebnis geliefert. Der Algorithmus basiert auf dem Runge-Kutta-Verfahren.
Anmerkung: Siehe auch Richtungsfeld.

CAS-Ansicht

LöseDgl( <Gleichung> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden. Für die erste und zweite Ableitung von y kann man y' und y'' schreiben.
Beispiel:
LöseDgl[y' = y / x] berechnet y = c1 x.
LöseDgl( <Gleichung>, <Punkt(e) von f> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen Punkt(e) von f verläuft.
Beispiel:
LöseDgl[y' = y / x, (1, 2)] berechnet y = 2x.
LöseDgl( <Gleichung>, <Punkt(e) von f>, <Punkt(e) von f'> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen Punkt(e) von f und die Funktion f' durch den/die gegebenen Punkt(e) von f' verläuft.
Beispiel:
LöseDgl[y'' - 3y' + 2 = x, (2, 3), (1, 2)] berechnet y = \frac{-9 x^2 e^3 + 30 x e^3 - 32 {(e^3)}^2 + 138 e^3 + 32 e^{3 x} }{54 e^3} .
LöseDgl( <Gleichung>, <Abhängige Variable>, <Unabhängige Variable>, <Punkt(e) von f> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen Punkt(e) von f verläuft.
Beispiel:
LöseDgl[v' = v / w, v, w, (1, 2)] berechnet v = 2w.
LöseDgl( <Gleichung>, <Abhängige Variable>, <Unabhängige Variable>, <Punkt(e) von f>, <Punkt(e) von f'> )
Versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung zu finden, wobei die Lösung durch den/die gegebenen Punkt(e) von f und die Funktion f' durch den/die gegebenen Punkt(e) von f' verläuft.
Beispiel:
LöseDgl[v' = v / w, v, w, (1, 2), (0, 2)] berechnet v = 2w.


Anmerkung: Um für Kompatibilität mit der Eingabzeile zu sorgen, wird, falls der erste Parameter ein Ausdruck ohne y' oder y'' ist, dieser Ausdruck als rechte Seite einer gewöhnlichen Differentialgleichung gesehen, bei der die linke Seite y' ist.
© 2021 International GeoGebra Institute