Diferencia entre revisiones de «Tutorial:Hacia el Algebra desde la Barra»
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{{Step|num=4}}. Para incluir un objeto en una anotación en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]], es preciso crearlo antes y referirlo por el nombre que lo identifica, recordando distinguirlo con todos los detalles correspondientes (mayúsculas, minúsculas, tildes...). Esto vale tanto para las expresiones algebraicas como para los comandos... | {{Step|num=4}}. Para incluir un objeto en una anotación en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]], es preciso crearlo antes y referirlo por el nombre que lo identifica, recordando distinguirlo con todos los detalles correspondientes (mayúsculas, minúsculas, tildes...). Esto vale tanto para las expresiones algebraicas como para los comandos... | ||
*'''y = m x + b''' o '''y = m f(-b) x + f(b)''' crea una recta en tanto ''m'' como ''b'' sean ya: | *'''y = m x + b''' o '''y = m f(-b) x + f(b)''' crea una recta en tanto ''m'' como ''b'' sean ya: | ||
− | **números que harán las veces de parámetros (recordar que todo número establecido como tal involucra un deslizador cuyo valor puede modificarse en tanto se lo torne visible en la | + | **números que harán las veces de parámetros (recordar que todo número establecido como tal involucra un deslizador cuyo valor puede modificarse en tanto se lo torne visible en la {{vista|graf}} activa. |
**[[Comentarios:Comando_Recta|Recta(A, B) ]] o [[Comentarios:Comando_Recta|Recta]](A + b [[Comando Vector|Vector(A, B)]], B) crea una recta en tanto exista el punto A y el B y/o el número b. | **[[Comentarios:Comando_Recta|Recta(A, B) ]] o [[Comentarios:Comando_Recta|Recta]](A + b [[Comando Vector|Vector(A, B)]], B) crea una recta en tanto exista el punto A y el B y/o el número b. | ||
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*Seguir paso a paso las indicaciones del [[Manual:Protocolo de Construcción|'''Protocolo de Construcción''']] intentando intercalar el empleo de herramientas y el ingreso de los comandos correspondientes en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]]. | *Seguir paso a paso las indicaciones del [[Manual:Protocolo de Construcción|'''Protocolo de Construcción''']] intentando intercalar el empleo de herramientas y el ingreso de los comandos correspondientes en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]]. | ||
{{note|1=GeoGebra distingue los [[Objetos libres, dependientes y auxiliares|objetos según sean libres o dependientes]] y así aparecen categorizados en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]] según dependan de otros objetos o no, diferencia respecto de la cual resulta irrelevante el modo en que fueran creados (a partir de herramientas activadas con el ratón o ''mouse'' o apelando al teclado para ingresar el comando adecuado).}} | {{note|1=GeoGebra distingue los [[Objetos libres, dependientes y auxiliares|objetos según sean libres o dependientes]] y así aparecen categorizados en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]] según dependan de otros objetos o no, diferencia respecto de la cual resulta irrelevante el modo en que fueran creados (a partir de herramientas activadas con el ratón o ''mouse'' o apelando al teclado para ingresar el comando adecuado).}} | ||
− | {{Attention|1=Para modificar la definición de un objeto, basta con seleccionarlo con la herramienta [[Archivo:Mode move.png]] [[Herramienta de Elige y Mueve|correspondiente]] y, con un doble ''clic'', sea en la | + | {{Attention|1=Para modificar la definición de un objeto, basta con seleccionarlo con la herramienta [[Archivo:Mode move.png]] [[Herramienta de Elige y Mueve|correspondiente]] y, con un doble ''clic'', sea en la {{vista|graf}} o en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Algebraica]], acceder a su representación algebraica y teclear los cambios.<br>Al terminar, es preciso pulsar la tecla {{KeyCode|Enter}} ({{KeyCode|Intro}} en algunos teclados).}} |
{{OJo|1=Pueden emplearse las teclas flecha para mover los objetos libres (o los que tienen algún grado de desplazamiento, al menos dentro de cierto trayecto o región) de modo más controlado.<br>Basta con seleccionarlo con la herramienta [[Archivo:Mode move.png]] [[Herramienta de Elige y Mueve|que elige y mueve]], en cualquiera de las dos ventanas y pulsar las teclas ascendente / descendente o izquierda / derecha para desplazarlo en la dirección deseada.}} | {{OJo|1=Pueden emplearse las teclas flecha para mover los objetos libres (o los que tienen algún grado de desplazamiento, al menos dentro de cierto trayecto o región) de modo más controlado.<br>Basta con seleccionarlo con la herramienta [[Archivo:Mode move.png]] [[Herramienta de Elige y Mueve|que elige y mueve]], en cualquiera de las dos ventanas y pulsar las teclas ascendente / descendente o izquierda / derecha para desplazarlo en la dirección deseada.}} | ||
===Controlar y Explorar la Construcción=== | ===Controlar y Explorar la Construcción=== | ||
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Se pasa a dar visibilidad a los números ''a'', ''b'' y ''c'' con un ''clic'' en cada redondelito que aparece a la izquierda de cada uno de ellos en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]]. Es notorio, entonces que... | Se pasa a dar visibilidad a los números ''a'', ''b'' y ''c'' con un ''clic'' en cada redondelito que aparece a la izquierda de cada uno de ellos en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]]. Es notorio, entonces que... | ||
− | *cuando los números ''a'', ''b'' y ''c'' se hacen visibles en la | + | *cuando los números ''a'', ''b'' y ''c'' se hacen visibles en la {{vista|graf}}, quedan asociados a ''deslizadores'' |
Tales ''deslizadores'' así originados, adoptan el rango de valores e incremento que tienen por omisión (de -5 a 5 con un incremento de 0.1) y el valor que se les otorgara al crearlos. | Tales ''deslizadores'' así originados, adoptan el rango de valores e incremento que tienen por omisión (de -5 a 5 con un incremento de 0.1) y el valor que se les otorgara al crearlos. | ||
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__NoTOC__ | __NoTOC__ | ||
==Planteando Alternativas== | ==Planteando Alternativas== | ||
− | Incluso para problemas aparentemente sencillos, es interesante desplegar el planteo empleando las diversas ''vistas'' y alternativas que ofrece GeoGebra.<br>El siguiente es un desafío que se analiza tanto en la | + | Incluso para problemas aparentemente sencillos, es interesante desplegar el planteo empleando las diversas ''vistas'' y alternativas que ofrece GeoGebra.<br>El siguiente es un desafío que se analiza tanto en la {{vista|graf}} como en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]], en la [[Referencia:Croquis|Vista CAS]] y en la [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculo]]:<br><hr> |
[[File:CBC 5.PNG|270px|center]] | [[File:CBC 5.PNG|270px|center]] | ||
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====Polígonos y Estrellas Fraccionadas==== | ====Polígonos y Estrellas Fraccionadas==== | ||
En la figura pueden verse: | En la figura pueden verse: | ||
− | *el contenido de la | + | *el contenido de la {{vista|graf}} del escenario en cuestión para una instancia acorde a los valores asignados a los deslizadores - '''''Numerador''''' y '''''Denominador''''' - que determinan la '''''Fracción''''' de giro de la vuelta para establecer cada vértice sobre la circunferencia |
'''[[File:Vértices.PNG|370px|center]]''' | '''[[File:Vértices.PNG|370px|center]]''' | ||
*el resumen del [[Manual:Protocolo de Construcción|Protocolo de Construcción]] del escenario creado.<br>'''[[File:Verticeando .PNG|500px|center]]''' | *el resumen del [[Manual:Protocolo de Construcción|Protocolo de Construcción]] del escenario creado.<br>'''[[File:Verticeando .PNG|500px|center]]''' | ||
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*Abrir una '''Nueva Ventana''' de GeoGebra | *Abrir una '''Nueva Ventana''' de GeoGebra | ||
*Seleccionar, en el [[Referencia:Versión_3.2#Interfaz GG|Menú Apariencias]] la adecuada - por ejemplo, ''Geometría''. | *Seleccionar, en el [[Referencia:Versión_3.2#Interfaz GG|Menú Apariencias]] la adecuada - por ejemplo, ''Geometría''. | ||
− | *Activar, la '''Barra de Estilo''' de | + | *Activar, la '''Barra de Estilo''' de {{vista|graf}} |
*Determinar, en el [[Comentarios:Comando_Relleno|Menú de Opciones]] respecto del '''Rotulado''', que afecte ''Solo a los Nuevos Puntos''. | *Determinar, en el [[Comentarios:Comando_Relleno|Menú de Opciones]] respecto del '''Rotulado''', que afecte ''Solo a los Nuevos Puntos''. | ||
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{{OJo|1=Los puntos que se establecen en un objeto, siendo dependientes, conservan el grado de libertad correspondiente y pueden desplazarse con el ratón o ''mouse'' o teclado a lo ''largo'' (si se tratara de una recta, curva, cónica....) y a lo ''ancho'' del ámbito (sea un polígono, región delimitada por inecuaciones, cuadrante, etc.) en que se originen.}} | {{OJo|1=Los puntos que se establecen en un objeto, siendo dependientes, conservan el grado de libertad correspondiente y pueden desplazarse con el ratón o ''mouse'' o teclado a lo ''largo'' (si se tratara de una recta, curva, cónica....) y a lo ''ancho'' del ámbito (sea un polígono, región delimitada por inecuaciones, cuadrante, etc.) en que se originen.}} | ||
====Desafíos sobre los Objetos==== | ====Desafíos sobre los Objetos==== | ||
− | Si se [[Herramienta de Elige y Mueve|selecciona]] un objeto, sea en la | + | Si se [[Herramienta de Elige y Mueve|selecciona]] un objeto, sea en la {{vista|graf}} o en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|algebraica]], con un doble ''clic'', se puede modificar, sea su definición o sus datos usando el teclado y finalizando la operación pulsando la tecla {{KeyCode|Enter}} (o {{KeyCode|Intro}} en otros teclados). |
Los objetos libres y hasta cierto punto algunos de los dependientes que conservan grados de libertad, se pueden desplazar empleando las teclas de flechas. {{Example|1=Se pueden desplazar los puntos libres hacia arriba y abajo o a izquierda y derecha con las teclas de fecha correspondientes.}} | Los objetos libres y hasta cierto punto algunos de los dependientes que conservan grados de libertad, se pueden desplazar empleando las teclas de flechas. {{Example|1=Se pueden desplazar los puntos libres hacia arriba y abajo o a izquierda y derecha con las teclas de fecha correspondientes.}} | ||
{|border="1" cellpadding="15" | {|border="1" cellpadding="15" | ||
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===Cuadrática Polinomial Deslizada=== | ===Cuadrática Polinomial Deslizada=== | ||
− | Si se ingresa en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]] '''x^2''' y se pulsa {{KeyCode|Enter}} (o {{KeyCode|Intro}} en otros teclados), aparecerá en la | + | Si se ingresa en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]] '''x^2''' y se pulsa {{KeyCode|Enter}} (o {{KeyCode|Intro}} en otros teclados), aparecerá en la {{vista|graf}} una función cuadrática. |
Si se la selecciona, al pulsar las teclas de flecha, podemos notar que se desplaza su representación y se modifica la formulación correspondiente en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]]. | Si se la selecciona, al pulsar las teclas de flecha, podemos notar que se desplaza su representación y se modifica la formulación correspondiente en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]]. | ||
Una exploración sistemática permite esclarecer la relación entre estos intentos y sus consecuencias. Se puede registrar, por ejemplo, el efecto de pulsar: | Una exploración sistemática permite esclarecer la relación entre estos intentos y sus consecuencias. Se puede registrar, por ejemplo, el efecto de pulsar: | ||
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**el gráfico | **el gráfico | ||
**la fórmula | **la fórmula | ||
− | *Redefinir la función ingresada, con un doble ''clic'' sobre su registro en la | + | *Redefinir la función ingresada, con un doble ''clic'' sobre su registro en la {{vista|graf}} o en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Algebraica]], anotando ahora '''3 x^2''' y reintentando las maniobras previas para re-indagar su efecto. |
====Hacia la Polinómica Deslizada==== | ====Hacia la Polinómica Deslizada==== | ||
Antes de pasar a cambiar el registro algebraico de la representación de la función, pasamos a crear tres deslizadores que harán las veces de coeficientes de la versión polinómica.<center> | Antes de pasar a cambiar el registro algebraico de la representación de la función, pasamos a crear tres deslizadores que harán las veces de coeficientes de la versión polinómica.<center> | ||
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|1||a =1||Crear la variable a = 1 | |1||a =1||Crear la variable a = 1 | ||
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− | |2||||Exponer la variable '''a''' como un deslizador en la | + | |2||||Exponer la variable '''a''' como un deslizador en la {{vista|graf}}. {{hint|1=Se puede Con un ''clic'' derecho (en MacOS: {{KeyCode|Ctrl}} + ''clic'') sobre la variable en la [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|Vista Algebraica]], se puede seleccionar '''Muestra Objeto''' en el [[Comentarios:Componentes Principales#Menú Contextual|Menú Contextual]] que se despliega o pulsar en el redondelito a la derecha del objeto en esa [[Comentarios:Vista_Algebraica_CAS|vista]].}} |
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|3||<small><small>a x^2</small></small>||Dar doble ''clic'' sobre la función para redefinirla como '''a x^2''' y pasar al tipo de registro algebraico polinómico. {{hint|La '''a''' y la '''x''' (es decir la expresión '''x^2'''), debe estar separadas por un espacio o por el asterisco '''*'''.}} | |3||<small><small>a x^2</small></small>||Dar doble ''clic'' sobre la función para redefinirla como '''a x^2''' y pasar al tipo de registro algebraico polinómico. {{hint|La '''a''' y la '''x''' (es decir la expresión '''x^2'''), debe estar separadas por un espacio o por el asterisco '''*'''.}} | ||
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− | |4||[[Image:Mode slider.png]]||Crear un [[Archivo:Mode slider.png|deslizador]] '''b''' con la [[Herramienta de Deslizador|herramienta correspondiente]].{{hint|1=Una vez activada la herramienta basta con un ''clic'' en la | + | |4||[[Image:Mode slider.png]]||Crear un [[Archivo:Mode slider.png|deslizador]] '''b''' con la [[Herramienta de Deslizador|herramienta correspondiente]].{{hint|1=Una vez activada la herramienta basta con un ''clic'' en la {{vista|graf}} y, aceptando los valores por omisión, pulsar el botón ''Aplica''.}} |
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|5||<small><small>a x^2 + b x </small></small>||Dar doble ''clic'' sobre la función para redefinirla como '''a x^2 + b x'''. {{hint|GeoGebra reescribe la función si en lugar de redefinirla se anota la nueva formulación, con el mismo nombre, digamos '''''f''''', en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]].}} | |5||<small><small>a x^2 + b x </small></small>||Dar doble ''clic'' sobre la función para redefinirla como '''a x^2 + b x'''. {{hint|GeoGebra reescribe la función si en lugar de redefinirla se anota la nueva formulación, con el mismo nombre, digamos '''''f''''', en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]].}} | ||
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|7||<small><small>a x^2 + b x + c</small></small>||Dar doble ''clic'' sobre la función para redefinirla como '''a x^2 + b x + c'''. | |7||<small><small>a x^2 + b x + c</small></small>||Dar doble ''clic'' sobre la función para redefinirla como '''a x^2 + b x + c'''. | ||
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− | |8||<small><small>a x^2 + b x + c</small></small>||Arrastrar, desde la | + | |8||<small><small>a x^2 + b x + c</small></small>||Arrastrar, desde la {{vista|alg}} el registro de la fórmula de la función hacia la {{vista|graf}} como para acomodarla bajo cada uno de los deslizadores, tal como se ilustra en la figura. |
|- | |- | ||
|9||<small><small>a x^2 + b x + c</small></small>||Llevar adelante las maniobras que permitan establecer las raíces reales en el gráfico (de tener raíces reales la polinómica), el vértice, la tangente en el vértice y en cuadrilátero conformado por estos puntos, tal como se ilustra en la figura. | |9||<small><small>a x^2 + b x + c</small></small>||Llevar adelante las maniobras que permitan establecer las raíces reales en el gráfico (de tener raíces reales la polinómica), el vértice, la tangente en el vértice y en cuadrilátero conformado por estos puntos, tal como se ilustra en la figura. |
Revisión del 06:23 3 may 2020
Dando Entrada a Objetos de Definición Algebraica
1 . Se les da Nombre a Nuevos Objetos, simplemente anteponiendo a su definición, nombre = en la Barra de Entrada algebraica.
Con más sofisticación...
2 . Un Producto se establece con un asterisco o espacio entre los factores.
3 . ¡GeoGebra es sensible a las minúsculas diferencias!... lo que implica que identifica como distintos los nombres de variables en que solo una mayúscula o un tilde distingue una de otra. Por eso es preciso controlar estas cuestiones tanto al otorgar un nombre como al referirlo.
- Los nombres que otorga GeoGebra, espontáneamente a los objetos creados - sea a partir de una herramienta como desde un comando - presentan ciertas distinciones y así, los de los...
- Puntos son letras mayúsculas. Ejemplo: A = (1, 2) o, en coordenadas polares, B = (2; pi)
- Vectores son letras minúsculas Ejemplo: v = (1, 3)Atención: Si se asignara la misma definición de valores a objetos anotados con minúsculas - como a o b -, GeoGebra los establecería como vectores posición de puntos de coordenadas (1, 2) o (2; pi) respectivamente.
- Puntos son letras mayúsculas.
- Llevan minúsculas también las...
- Circunferencias (así como los arcos y las cónicas), rectas (así como los segmentos y semirrectas), funciones y otros elementos asociados Ejemplo: circunferencia c: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16
- Circunferencias (así como los arcos y las cónicas), rectas (así como los segmentos y semirrectas), funciones y otros elementos asociados
- Deben anotarse y referirse en minúsculas los nombres de las variables como...
- la independiente x de una función o
- x e yen cualquier expresión - ecuación de una sección cónica, de una inecuación, etc. -. Ejemplo: f(x) = 3*x + 2
4 . Para incluir un objeto en una anotación en la Barra de Entrada, es preciso crearlo antes y referirlo por el nombre que lo identifica, recordando distinguirlo con todos los detalles correspondientes (mayúsculas, minúsculas, tildes...). Esto vale tanto para las expresiones algebraicas como para los comandos...
- y = m x + b o y = m f(-b) x + f(b) crea una recta en tanto m como b sean ya:
- números que harán las veces de parámetros (recordar que todo número establecido como tal involucra un deslizador cuyo valor puede modificarse en tanto se lo torne visible en la Vista Gráfica activa.
- Recta(A, B) o Recta(A + b Vector(A, B), B) crea una recta en tanto exista el punto A y el B y/o el número b.
5 . Cada expresión ingresada en la Barra de Entrada se debe confirmar' pulsando la tecla Enter (o Intro como aparece en algunos teclados).
6 . Tanto la tecla de atajo (F1) como la opción de Ayuda del Menú o el Manual, permiten abrir la ventana pertinente para averiguar el modo de empleo de un comando en la Barra de Entrada.
7 . Si al ingresar un comando en la Barra de Entrada aparece un error, conviene leer detenidamente el correspondiente mensaje para tener mayores recursos para subsanarlo.
8 . Los comandos se pueden anotar o seleccionar desde la lista próxima a la Barra de Entrada.
9 . Tras anotar las dos primeras letras de cualquier comando en la Barra de Entrada, emergen alternativas para su Completado Automático tentativo que permite...
- Seleccionar el adecuado pulsando Enter ( Intro en algunos teclados) para ubicar el cursor entre los corchetes.
- Proseguir anotando las siguientes letras hasta que se despliegue el deseado.
Construyendo Circunferencias Suponiendo sus Tangentes
¿Por qué no realizar el trayecto de regreso desde las construcciones convencionales imaginando un desafío inverso en que se pueda tantear dinámicamente como medio legítimo para dar con conjeturas a controlar y validar? Imaginemos que la consigna fuese la siguiente:
- Dicen que había una circunferencia a la que se le trazaron las tangentes desde los puntos A y B - que es todo lo que ha perdurado de esa antiquísima construcción ya desvaída - y algunos creen recordar que esas cuatro tangentes conformaban un específico cuadrilátero. El desafío es establecer qué tipo de cuadrilátero podría haber sido, más allá de las que nos proponen los rumores de los que se consideran dignos memoriosos, así como descartar los que no tendrían chance alguna de haber sido.
Desafío guiando el Tutorial
Escenario tomado de un Taller de Centro Babbage
Rastros para una Construcción Retrospectiva
Tutorial y Propuesta de Dir del Instituto GG de Argentina - LMS
Especulaciones hacia y desde la Figura de Análisis
Consideraciones Iniciales
- Algunos aseguran que sin necesidad de reconstruir lo que ese diagrama podría haber configurado, pueden descartarse algunos cuadriláteros desde ya y señalan, por ejemplo, la imposibilidad de...
- todo trapecio
- los rectángulo en general
- los rombos en particular
- Otros sostienen que no es dable descartar ninguno de entrada y que es conveniente comenzar por una figura de análisis retrospectivo para empezar. Valdría cuestionarse si...
- ¿Se puede justificar una u otra posición?
Reconsiderando sobre la Figura de Análisis
- En la construcción, los puntos A y B establecen los datos dados y deben permanecer fijos.
- Sobre la construcción realizada siguiendo el tutorial, se puede modificar la posición del centro de la presunta circunferencia y la del punto que, sobre la semicircunferencia entre A y B, establece la dirección de la primera de las tangentes.
- Este interjuego de resultados de los desplazamientos de esos dos puntos deslizables ofrece un banco de pruebas dinámico.
- La exploración se limita a desplazar el punto C_m (que opera como centro de la presunta circunferencia que se intenta reconstruir) y el P_{sc} que, sobre la semicircunferencia desde A a B, determina el sentido de la primera tangente.
- A partir de los ensayos, se podría reconsiderar si...
- El tanteo sistemático, ¿permite distinguir lo que efectivamente se pudiera descartar de entrada de lo que no puede determinarse a menos que se brinden más datos?
- ¿Qué herramientas podrían emplearse alternativamente para recrear la construcción?
- ¿Con qué medios puede controlarse si el cuadrilátero delimitado por las cuatro presuntas tangentes constituyen uno de algún tipo específico?
- ¿Se evidencian relaciones entre los elementos que se distinguen como propiedades exclusivas de un tipo de cuadrilátero?
- Si el punto que opera como presunto centro de la circunferencia reconstruida se desplaza convenientemente, ¿se obtienen distintos cuadriláteros sin necesidad de modificar la posición del que se emplea para tantear la dirección de la primera de las tangentes?
- ¿Es posible establecer el tipo de cuadriláteros imposibles de configurar dadas las condiciones o es la construcción seleccionada la que restringe y aparenta la inviabilidad de lo que en otra podrían lograrse?
- Si se partiera de otro tipo de construcción, ¿será posible dar con otro tipo de cuadriláteros que en la planteada no parecen ser viables?
Comandando la Construcción
Definiciones en el Protocolo de Construcción
Si bien el tutorial parece estar basado exclusivamente en las herramientas disponibles, podría haber sido desarrollado sin siquiera apelar al ratón o mouse y / o cualquier dispositivo de contacto dado que se podrían preparar todos los archivos de GeoGebra ingresando los datos respecto de los objetos y anotando los correspondientes comandos en la Barra de Entrada.
El ingreso de datos algebraicos y de comandos supera y amplia el empleo de las herramientas geométricas.
Pruebas y Preparativos
- Abrir una nueva ventana de GeoGebra.
- Exponer la Vista Algebraica y la Barra de Entrada así como la cuadrícula (sea desde el Menú Vista o apelando a los íconos de cada Barra de Estilo según corresponda).
- Seguir paso a paso las indicaciones del Protocolo de Construcción intentando intercalar el empleo de herramientas y el ingreso de los comandos correspondientes en la Barra de Entrada.
Para modificar la definición de un objeto, basta con seleccionarlo con la herramienta correspondiente y, con un doble clic, sea en la Vista Gráfica o en la Algebraica, acceder a su representación algebraica y teclear los cambios. Al terminar, es preciso pulsar la tecla Enter (Intro en algunos teclados). |
Basta con seleccionarlo con la herramienta que elige y mueve, en cualquiera de las dos ventanas y pulsar las teclas ascendente / descendente o izquierda / derecha para desplazarlo en la dirección deseada.
Controlar y Explorar la Construcción
- Controlar que los únicos puntos que se pueden desplazar (además de A y B que son datos dados y no debieran moverse como no sea para cambiar las condiciones iniciales), sean los que determinan el centro de la presunta circunferencia y el que, sobre la semicircunferencia, fija el sentido de la primera tangente tentativa.
- Someter la construcción a la prueba de arrastre para verificar que si bien se modifica, las relaciones que se establecieron no se alteran y el rol de los elementos en juego perdura correctamente.
- Cambiar las propiedades de los objetos para ilustrar mejor las relaciones y distinguir los elementos claves así como para mejorar la apariencia de la construcción (por ejemplo, seleccionando los colores armoniosamente, distinguiendo con trazos punteados los elementos auxiliares ,…)
- Guardar la construcción que lleva a la resolución del desafío con un nombre adecuado.
Explorando Relaciones entre Coeficientes y Gráficas en Cuadráticas
En esta propuesta se procurará vincular en sentido directo e inverso, las relaciones entre los coeficientes de una expresión cuadrática y su comportamiento gráfico.
Desafío Reconstructivo
Dados cinco puntos distribuidos al azar, ¿cómo se podría deslizar la gráfica de y = x^2 usando las teclas flecha ascendentes / descendentes y las laterales a izquierda y derecha para que la gráfica cruce por la mayor cantidad de tales puntos?
Preparativos
1 Ingresar en la Barra de Entrada, cinco veces esta anotación para dar con puntos al azar: (-5 + round(10random()), -4 + round(10random()))
Recordar que con las teclas Alt + Arriba / Alt + Abajo se puede navegar por la historia de comandos ingresados.
Por lo tanto, basta con realizar la anotación una única vez y luego recuperar lo ingresado y volver a pulsar Enter (Intro en algunos teclados) para marcar los siguientes puntos.
- darle a cada uno vistoso y diverso formato y color
- pulsar las teclas Ctrl + R para que el recálculo de los valores aleatorios provoque una reubicación de los puntos en caso de no estar en una posición adecuada.
2 Ingresar en la Barra de Entrada la siguiente expresión: y = x^2
3 Seleccionar la expresión y...
- pulsar las teclas Arriba / Abajo u las Izquierda / Derecha
- registrar el efecto que estas maniobras tienen sobre el gráfico y la expresión correspondiente.
4 Establecer alguna estrategia para lograr que la cuadrática cruce por la mayor cantidad posible de puntos.
Sencillamente, se ingresa sucesivamente en la Barra de Entrada:
- los valores de partida para a, b y c - a = 1 - b=0 - c = 0 - y luego la expresión:
a x^2 + b x + c
- - a la que se le puede otorgar un color y estilo que la distinga de la previamente ingresaday = x^2
-
Se pasa a dar visibilidad a los números a, b y c con un clic en cada redondelito que aparece a la izquierda de cada uno de ellos en la Vista Algebraica. Es notorio, entonces que...
- cuando los números a, b y c se hacen visibles en la Vista Gráfica, quedan asociados a deslizadores
Tales deslizadores así originados, adoptan el rango de valores e incremento que tienen por omisión (de -5 a 5 con un incremento de 0.1) y el valor que se les otorgara al crearlos.
Pueden llevarse adelante algunos ensayos para corroborar que...
- la gráfica de la expresión ingresada - a x^2 + b x + c - reacciona a los cambios en los valores de los deslizadores.
En cambio...
- mantiene su carácter de objeto libre la que fuera originalmente anotada como y = x^2" y cambia su representación gráfica y expresión cuando se la selecciona y se opera con las teclas de flecha.
Planteando Alternativas
Incluso para problemas aparentemente sencillos, es interesante desplegar el planteo empleando las diversas vistas y alternativas que ofrece GeoGebra.
El siguiente es un desafío que se analiza tanto en la Vista Gráfica como en la Vista Algebraica, en la Vista CAS y en la Hoja de Cálculo:
Se establece el planteo, el análisis y la graficación empleando cada uno de los posibles registros, tal como se ilustra a continuación:
Escenarios de Análisis
Límpidos Escenarios de Análisis
Algunos efectos y detalles escasamente se reflejan en el Protocolo de Construcción. Como se aprecia en la siguiente aplicación de examen fluido de las funciones por tramos solicitada por la profesora del segundo año del CET 18 (Escuela Técnica de Villa Regina en la Provincia de Río Negro de la Argentina), con la expectativa de motivar su análisis con un recurso interactivo en que obrara una retroalimentación visual con el empleo de los colores dinámicos.
Justamente porque esa era la modalidad requerida, las relaciones que debían establecerse quedarían integradas al diseño sin dejar evidencias en el Protocolo.
Esto implicó que la indagación del boceto se hiciera con un estilo de estudio de caja negra en que el surgimiento de rastros permitiera correlacionar entradas y salidas con características de la función y su régimen de variación.
Rastros en lugar de enunciaciones para devolver la tarea de puesta en palabra a los intérpretes de esos coloridos Indicadores que, surgidos en cada ensayo, pudieran borrarse tras cada intento, pulsando el botón Limpia Rastros. Así diseñado, este escenario dejó la responsabilidad de encontrar vínculos a los exploradores de segundo año que se hicieron cargo de la tarea con sorprendente ahínco.
Algunos Detalles
La llave representada por el Deslizador, permite pasar de una función por tramos a otra y el boceto está preparado para incorporar, en la lista correspondiente, funciones adicionales.
El botón que LimpiaRastros es particularmente útil cuando se quiere empezar de nuevo, desde el principio y/o para revisar una zona específica.
Es importante primero, limpiar lo previo para que no resulte confusa la superposición con los restos de rastros anteriores. |
.
Los anuncios en los cartelitos emergentes respecto de la cuesta, incluyendo el de "Amesetando la Cuesta", hacen referencia a la índole creciente, decreciente o de inflexión y se corresponden con los colores sobre la curva.
Sobre la curva se ilustra y distingue en azul o rojo el signo de la curvatura, reservando el verde para las zonas que los cartelitos anuncian como de amesetamiento. |
Los colores sobre el eje x se corresponden con imagen positiva o negativa en una codificación colorida en relación al signo de la imagen y controla si la función está efectivamente definida o no.
Se podría cuestionar si la codificación respecto de la concavidad de la curva podría quedar habilitada o no añadiendo una casilla de control para que sea posible ir centrando la atención en una cuestión por vez.
Acaso se podría decidir colocar una casilla de control para exponer o no cada evidencia y sus rastros como, por ejemplo: Punteado sobre EjeY Punteado sobre EjeX Punteado sobre la Curva |
Aparecen diversos detalles que vale descubrir explorando para, además, ir reencontrando su utilidad al ahondar en las indagaciones. Como, por ejemplo, la necesidad de emplear el botón LimpiaRastros entre uno y otro emprendimiento. Sea el de cambiar de sector de análisis, de función o de reinicio.
- Atención: La clave de este escenario es que permite...
- una interpretación de indicios evitando las enunciaciones
- enunciaciones que podrían implicar sobre-simbolizaciones
- sobre-simbolizaciones que pueden, además, omitir la necesidad de explorar y/o remitir a quienes lo recorren a una posición de recepción y hasta acatamiento en lugar de la de responsables de desentrañar el funcionamiento de la caja negra
- desentrañar con otros, durante la actividad que desencadena la situación que se propone con este diseño.
- una interpretación de indicios evitando las enunciaciones
Descripciones Vívidas
Acaso la mejor manera de describir este boceto sea a través del relato de la profesora Susana, que solicitó este boceto a Centro Babbage, trabajó en clase con sus estudiantes de media y que tuvo la gentileza de ir registrando que...
(...) las preguntas surgieron sobre la marcha, en la misma clase, quizá porque un primer intento guiado por un instructivo, podría haber circunscripto las reacciones.
Reacciones que, concluyó, desencadenaba una práctica intensa de un ritmo no alcanzado con la multiplicación de ejemplos en la pizarra muy demandantes de tiempo. Práctica que, en este caso, privilegiaba distinguir dado que...
Boceto que estaban explorando en un tácito análisis colorido de la función.
Así, con un boceto preliminar (continuo a trazos en el que no quedaba señalada la ordenada en el eje Y)...
Lo rescatable para la profesora parecía centrarse en que asumían ese quehacer matemático mejorando durante el desenvolvimiento, las estrategias para ir identificando indicios, y compartiéndolas con sus compañeros.
En tal sentido, la profesora distinguió algunas ventajas respecto de este medio diseñado para que el análisis surgiera sin los requerimientos de saberes previos que demanda la herramienta de Inspección de funciones con la que se planteaba trabajar en un segundo momento. Por ejemplo...
Sus conclusiones avanzan más allá de los contenidos en juego, para darle entidad al cambio del contrato pedagógico durante la actividad propuesta...
un dato no menor
Enfatiza en lo que rescata cómo quedan identificadas las cuestiones más rápidamente y sin errores así como que se ahorra el tiempo, porque generalmente se tienen que presentar muchos ejemplos gráficos para que incorporen la lectura correcta de gráficos y, sobre todo, la dinámica a partir de la que los conceptos quedan claros aunque no sean formalmente enunciados. Es más fácil trabajar sobre el boceto y luego, acaso en una institucionalización compartida, formalizar los conceptos.
Las intervenciones que registra incluyen, más que las explicaciones, las preguntas
Añade, en una puesta en acto de lo que suele enunciarse como propio de la dialéctica herramienta-objeto que, sin depositar exclusivamente las expectativas en lo experimental...
Análisis a Posteriori
En un análisis a posteriori en el que se virtualmente dialoga con sus eventuales colegas, se detiene para hacer algunas consideraciones...
Deja también alguna atendible sugerencia para quienes diseñamos el boceto:
(...) Con respecto al boceto en sí, creo que no es necesario que se vaya marcando sobre el eje y la imagen de la función (que es lo que pedí para el segundo boceto y que no tenía el preliminar que me prepararon). Más que nada, porque queda marcado como un punto y puede confundir (la coordenada es un punto lo cual no es rigurosamente correcto). Aunque en mi experiencia, mis alumnos no tuvieron problema al respecto.
.
Esto, por una cuestión de consistencia, explica, ya que...
la indicación de moverse de izquierda a derecha, si se quisiera analizar todo el dominio de un dominio infinito a la izquierda, debiera obviarse porque haría necesario volver para atrás, lo que contradice la indicación del boceto.
Nos aclara que lo puntualiza...
Así, más allá de la gentileza de la solicitud, demuestra la profundidad de la reflexión sobre la práctica.
Reflexión en la que integra el diseño del medio y su articulación con la acción que espera se desencadene, observando la coherencia entre la organización disciplinar, didáctica e instrumental.
Este diseño mancomunado en que desde el sur del sur propicia la profesora Susana, involucra recorridos en los que el diálogo va configurando medios con un desenvolvimiento que esperamos seguir recorriendo con entusiasmo colaborativo. |
Desde el Cuadrado
Chiquicientas formas de Trazar un Cuadrado
Para algunas de las posibles construcciones del cuadrado (que resista las pruebas de tironeo) se suelen emplear herramientas como las listadas. Conviene, antes de ponerlas en juego en alguna de las variantes de trazado que se intenten, llegar a dominar su empleo:
Elige y Mueve | |
Polígono regular | |
Objeto (in)visible | |
Desplaza Vista Gráfica |
Preparativos
- Abrir una Nueva Ventana desde el Menú Archivo
- Establecer, en el Menú Apariencias, la de Geometría.
- Establecer que el Rotulado se aplique a Solo puntos nuevos en el Menú de Opciones).
Cuadrados Variados con sus Variantes
Es posible construir un cuadrado de muchas y diversas maneras, empezando por...
- la más directa (empleando la herramienta de Polígono regular, indicando un 4 en la caja de diálogo que se despliega tras marcar el par de puntos que determinarán el par de vértices de uno de los lados. Nota: Para un hexágono, habría que ingresar 6 y así según el polígono que se desee
- una interesante es la que apela a uno de los Teoremas de Thales y que se desarrolla en la sección correspondiente,
- las que aparecen en otros tutoriales que se pueden recorrer, como el Cuadradeando
- las que se pueden lograr con las herramienta de transformación (ver ejemplo en esta misma sección).
... a continuación se describe una variante (La de Mileto) asociada al segundo teorema de Thales y en Cuadrileteando, una modalidad con variantes sofisticadas al punto que se incluye un campo de entrada para establecer la longitud del lado.
La de Mileto... Recuerdos ¿escolares?...
Antes de empezar, conviene recordar una propiedad asociada al segundo teorema de Thales que puede rememorarse en acto revisando la aplicación Theorem_Thales.html y/o llevando adelante la siguiente construcción, para la que vale ir alistando estas herramientas:
Mediatriz | |
Semicircunferencia | |
Punto | |
Polígono | |
Ángulo | |
Elige y Mueve | |
Intersección | |
Medio o Centro | |
Simetría Central |
Rectos Dinámicos
Rectos a la Mileto
LMS de Centro BabbageDe Estrella a Cuadrado
Estrellas Fraccionadas a Polígonos y...¿Cuadrados?
Se ofrece un escenario creado para establecer construcciones, a partir de una circunferencia en que se gira una fracción de vuelta un segmento de radio para unir los vértices.
El desafío, tras una serie de exploraciones más o menos libres que lleven a encontrar las relaciones causales entre los valores de los deslizadores y el resultado gráfico, sería:
- establecer los distintos valores de la fracción expuesta que permita obtener el dibujo representativo del cuadrado. Sea...
- directamente dado que lo que se evidencia es el dibujo de una figura de cuatro lados, por lo pronto
- indirectamente dado que lo que se evidencia es un dibujo tal que uniendo algunos de los puntos que quedan expuestos con la Herramienta de Polígono lleva a la representación de un cuadrado.
Ver también los Tutoriales Diagonales Cuadradas; Preparaciones Espiraladas y Resolver Problemas Ilustrándolos (de Diseño de Centro Babbage))
Polígonos y Estrellas Fraccionadas
En la figura pueden verse:
- el contenido de la Vista Gráfica del escenario en cuestión para una instancia acorde a los valores asignados a los deslizadores - Numerador y Denominador - que determinan la Fracción de giro de la vuelta para establecer cada vértice sobre la circunferencia
- el resumen del Protocolo de Construcción del escenario creado.
Boceto Estrellado Dinámico
Fracciones Equivalentes y Análisis Discreto
El análisis de los resultados gráficos que se evidencian en el dibujo, relacionados a los valores que se le asignan a los deslizadores, desencadena la necesidad de establecer recursos propios de la matemática discreta que podrían abrir un temario acorde.
Circulando de inscriptos a circunscriptos
Circunscribir desde un Triángulo a un Cuadrilátero
Dicen que, en tanto tres puntos no alineados determinan una circunferencia, todo triángulo puede quedar inscripto certeramente. También afirman que un cuadrilátero, en tanto compuesto por dos triángulos, no siempre podrá ser circunscripto y solo será, entonces cíclico cuando se cumplan ciertas condiciones. En el caso del cuadrado, no hay dudas al respecto. Quedan en cuestión, entonces, los restantes cuadriláteros que podremos analizar. Empezando, entonces, por un triángulo, pasemos a considerar los siguientes casos.
Empezando por el Triángulo
Para trazar la circunferencia que circuncribe a un triangulo, puede usarse exclusivamente la herramienta específica o el conjunto de las siguiente:
Polígono | |
Mediatriz | |
Intersección | |
Circunferencia (centro-punto) | |
Elige y Mueve |
Preparativos
Basta con...
- Abrir una Nueva Ventana de GeoGebra
- Seleccionar, en el Menú Apariencias la adecuada - por ejemplo, Geometría.
- Activar, la Barra de Estilo de Vista Gráfica
- Determinar, en el Menú de Opciones respecto del Rotulado, que afecte Solo a los Nuevos Puntos.
Pasos de Construcción
- Trazar...
- un triángulo cualquiera
- la mediatriz de cada uno de sus lados - al menos, de un par de ellos-
- sl punto de intersección de un par de mediatrices.Atención: No siendo posible emplear esta herramienta para establecer la intersección de las tres mediatrices, es posible encontrar la de solo un par de ellas o, directamente, indicar el punto que corresponde cuando el puntero se vincule a la lista de objetos que confluyen en tal posición.
- una circunferencia con centro en el punto de intersección que pase por cualquiera de los vértices del triángulo.
- Controlar ahora la construcción...
- Sometiendo a los elementos en juego a la prueba de arrastre, de modo tal que en tofos los casos se mantenga circunscripto adecuadamente el triángulo.
Ampliando la Circuncripción
- Considerar...
- sobre qué arco de la circunferencia se podría establecer un cuarto vértice de un cuadrilátero en marcha para que su diagonal resulte uno de los lados del triángulo trazado
- hacer el intento y considerar qué tipos de cuadriláteros se pueden trazar manteniendo la condición de quedar circunscriptos por la circunferencia trazada.
Cuadriláteros Clasificados y ¿Cíclicos?
En el escenario dinámico que se ofrece a continuación es posible explorar e indagar qué relaciones vinculan a los cuadriláteros de distinto tipo con la condición de cíclicos:
Ciclando en Lógicas Implicaciones
En el recíproco escenario dinámico, desarrollado para otro de los talleres de Centro Babbage, se controla recíprocamente, a partir de la condición de cíclico del cuadrado, qué otras variantes de cuadriláteros cumplen condiciones que pueden encontrarse lógicamente vinculadas:
Considerando la Construcción de Tangentes a una Circunferencia
Repasando uno de los métodos para trazar el par de tangentes a una circunferencia desde un punto exterior y teniendo en cuenta que además de las herramientas disponibles se puede apelar a cualquiera de los comandos que aparecen en el listado que se despliega a la derecha de la Barra de Entrada, es posible encontrar una nueva estrategia para la construcción del cuadrado.
Pasos de Construcción
En esta ocasión, en lugar de hacer uso de las herramientas, se realizará la construcción anotando lo necesario en la Barra de Entrada como si de tratara de una situación en que, por algún motivo, no se pudiera contar con el ratón o mouse.
1 | A_p = (0, 0) | Punto A Aviso: El subguión permite establecer a p como subíndice de A
|
2 | (3, 0) | Punto B_p Aviso: Si no se especifica un nombre para el punto, se irán nominando en orden alfabético.
|
3 | c = Circunferencia(A_p, B_p) | Circunferencia con centro en A_p que pasa por B_p Aviso: La circunferencia es in objeto dependiente
|
Desafíos sobre los Objetos
Si se selecciona un objeto, sea en la Vista Gráfica o en la algebraica, con un doble clic, se puede modificar, sea su definición o sus datos usando el teclado y finalizando la operación pulsando la tecla Enter (o Intro en otros teclados).
Los objetos libres y hasta cierto punto algunos de los dependientes que conservan grados de libertad, se pueden desplazar empleando las teclas de flechas.
4 | C_p = (5, 4) | Punto C_p |
5 | d = Semicircunferencia(B_p, C_p) | Semicircunferencia entre B_p y C_p |
6 | E_p = Interseca(c, d) | Punto E_p de intersección entre la circunferencia y la semicircunferencia |
7 | tan_1 = Semirrecta(C_p, E_p) | Esta es una de las tangentes que desde el punto C_p pasa por el punto E_p de la circunferencia en juego. |
8 | sr = Semirrecta(C_p, A_p) | Esta es la semirrrecta desde el punto exterior al centro de la circunferencia. |
8 | Refleja(tan_1, sr) | Con esta maniobra de reflexión, queda trazada la otra tangente así como el punto de tangencia sobre la circunferencia. |
Construcción Controlada y Mejorada
- Para corroborar, al menos de modo preliminar, que la construcción de sendas tangentes es válida a nivel general, conviene realizar...
- la prueba de arrastre de cada uno de los elementos en juego para verificar que todos mantiene relaciones adecuadas
- Para mejorar el aspecto del boceto, se puede apelar al cambio de propiedades de los objetos a fin establecer...
- con pistas visuales cuáles son los elementos auxiliares y cuáles los que se desea destacar (reservando el punteado para los auxiliares, por ejemplo....)
- empleando el contraste en los colores, grosores de trazo y estilo para mejorar el diseño general
- Para evitar la superabundancia de referencias en la Vista Algebraica, establecer algunos objetos como auxiliares y conservar la opción que fija que no se expongan
- Recurrir a comandos toda vez que esto evite la proliferación de trazados auxiliares con herramientas. Aviso: Hay opciones de comandos que no están disponibles en forma directa con herramientas o que requieren una secuencia de maniobras que pueden, en cambio, sintetizarse a través del ingreso adecuado en la Barra de Entrada.
- Para aprovechar el mecanismo de esta construcción, basta con establecer...
- sobre la semirrecta que pasa por el centro de la circunferencia desde el punto exterior original, uno que esté a la distancia necesaria como para que conforme, con los radios que unen el centro con los puntos de tangencia, la diagonal del cuadrado que se procura
- unir este punto con los respectivos de tangencia y el centro como secuencia de vértices del cuadrado en marcha
- sobre la semirrecta que pasa por el centro de la circunferencia desde el punto exterior original, uno que esté a la distancia necesaria como para que conforme, con los radios que unen el centro con los puntos de tangencia, la diagonal del cuadrado que se procura
Cuadrática Polinomial Deslizada
Si se ingresa en la Barra de Entrada x^2 y se pulsa Enter (o Intro en otros teclados), aparecerá en la Vista Gráfica una función cuadrática. Si se la selecciona, al pulsar las teclas de flecha, podemos notar que se desplaza su representación y se modifica la formulación correspondiente en la Vista Algebraica. Una exploración sistemática permite esclarecer la relación entre estos intentos y sus consecuencias. Se puede registrar, por ejemplo, el efecto de pulsar:
- ↑
- ↓
- ←
- →
- El desafío es establecer cuál es el impacto de cada una de estas maniobras sobre...
- el gráfico
- la fórmula
- Redefinir la función ingresada, con un doble clic sobre su registro en la Vista Gráfica o en la Algebraica, anotando ahora 3 x^2 y reintentando las maniobras previas para re-indagar su efecto.
Hacia la Polinómica Deslizada
Antes de pasar a cambiar el registro algebraico de la representación de la función, pasamos a crear tres deslizadores que harán las veces de coeficientes de la versión polinómica.
1 | a =1 | Crear la variable a = 1 |
2 | Exponer la variable a como un deslizador en la Vista Gráfica. Aviso: Se puede Con un clic derecho (en MacOS: Ctrl + clic) sobre la variable en la Vista Algebraica, se puede seleccionar Muestra Objeto en el Menú Contextual que se despliega o pulsar en el redondelito a la derecha del objeto en esa vista.
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3 | a x^2 | Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 y pasar al tipo de registro algebraico polinómico. Aviso: La a y la x (es decir la expresión x^2), debe estar separadas por un espacio o por el asterisco *.
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4 | Crear un b con la herramienta correspondiente. Aviso: Una vez activada la herramienta basta con un clic en la Vista Gráfica y, aceptando los valores por omisión, pulsar el botón Aplica.
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5 | a x^2 + b x | Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x. Aviso: GeoGebra reescribe la función si en lugar de redefinirla se anota la nueva formulación, con el mismo nombre, digamos f, en la Barra de Entrada.
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6 | Crear un c con la herramienta correspondiente. Aviso: Esta vez, conviene pasar a la pestaña Deslizador de la Caja de Diálogo de la herramienta para establecer como orientación la Vertical en lugar de la Horizontal. Otro tanto puede hacerse con a y b además de cambiar sus colores en el caja de diálogo de propiedades de uno y otro deslizador.
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7 | a x^2 + b x + c | Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x + c. |
8 | a x^2 + b x + c | Arrastrar, desde la Vista Algebraica el registro de la fórmula de la función hacia la Vista Gráfica como para acomodarla bajo cada uno de los deslizadores, tal como se ilustra en la figura. |
9 | a x^2 + b x + c | Llevar adelante las maniobras que permitan establecer las raíces reales en el gráfico (de tener raíces reales la polinómica), el vértice, la tangente en el vértice y en cuadrilátero conformado por estos puntos, tal como se ilustra en la figura. |
10 | a x^2 + b x + c | El desafío es encontrar los valores de los coeficientes de la polinómica de modo tal que el cuadrilátero determinada sea el dibujo representativo del cuadrado. |
Cuadrileteando
Chiquicientos_1
LMS de Centro Babbage
Variante con Transformaciones
Variante de Construcción Dinámica