Visibilidad: de Condicional a Cuadrilateral

De GeoGebra Manual
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Plantilla:Tutoriales

Visibilidad Condicional y Secuencias

Saltando de la Recta Numérica al Ámbito del Producto

El desafío de esta propuesta es tender un escenario para poder operar gráficamente desde las adiciones al producto. Como se emplearán una serie de herramientas y algunos comandos, es conveniente familiarizarse con su empleo antes de empezar.

Herramientas a tener a mano

Mode slider.png Deslizador
Mode point.png Punto
Mode vector.png Vector
Mode move.png Elige y Mueve
Tool Segment between Two Points.gif Segmento
Mode text.png Texto
Tool Check Box to Show Hide Objects.gif Casilla de Control

Pasos de Construcción

1. Empezar por los ajustes iniciales:

2. Un clic derecho sobre cualquier área libre de la Menu view graphics.svg Vista Gráfica para desplegar el Menú Contextual y pasar a abrir el Cuadro de Propiedades, dirigirse a la pestaña EjeY para fijar la Distancia en 1 (otro tanto, para el EjeX) y en Básico, fijar el mínimo de EjeX en -21 y el máximo en 21.

3. Crear...

  • los deslizadores a y b (de intervalos entre -10 y 10 e incremento 1) de modo que se exponga en cada caso un rotulado de su Valor respectivo en lugar de sus nombres (acudiendo al Cuadro de Propiedades).
  • con la Mode point.png herramienta correspondiente, el punto A sobre el EjeX y ubicarlo, inicialmente en el origen de coordenadas.
  • anotándolos en la Barra de Entrada...
    • los vectores
      • u = Vector((x(A), y(A) + 1), (x(A) + a, y(A) + 1)) que tendrá longitud a
      • v = Vector((x(A) + a, y(A) + 2), (x(A) + a + b, y(A) + 2)) que tendrá longitud b
    • los segmentos:
      • Segmento(A, (x(A), y(A) + 1));
      • Segmento((x(A) + a, y(A)), (x(A) + a, y(A) + 1));
      • Segmento((x(A) + a, y(A)), (x(A) + a, y(A) + 2)),
      • Segmento((x(A) + a + b, y(A)), (x(A) + a + b, y(A) + 2)) asignándoles estilo punteado y los mismos colores de los vectores cuyos extremos señalan.
    • el punto B = A + u + v
      Note Aviso: x(A) es la abscisa del punto A e y(A). su ordenada por lo que el punto B, en que interviene vectores que se definen sumando los valores de b y/o a' a x(A) tendrá una abscisa acorde al resultado de la suma, como se puede corroborar tras el análisis correspondiente.

4. Abrir el Cuadro de Propiedades para ajustar la construcción (cambiando los colores, estilos, ancho de los deslizadores, ocultado o exponiendo rótulos, por ejemplo).

13 integer.PNG

Un toque de texto dinámico

Para realzar el escenario interactivo, se le suma, con la correspondiente herramienta Mode text.png, texto dinámico que ilustre los cálculos de sumas.

4. Calcular el resultado del cálculo de la suma: r = a + b e ilustrarlo con colores diferentes y contrastantes para lo que es preciso insertar, uno a uno con la herramienta adecuada, cada componente de la suma:

  • Seleccionándolos desde Objetos...
    • a (que devendrá texto_1), al que posteriormente, con la correspondiente herramienta, se le copiará el estilo visual de a - para asignarle el mismo color -
    • b y r que establecerán un texto independiente y a los que se los someterá a la misma maniobra que al anterior pero asociados a b y r respectivamente.
Bulbgraph.pngAtención:
Si se quisiera evitar la creación del nuevo objeto, r, es posible resolverlo sobre la misma edición del texto a insertar.

Basta con anotar en tercer lugar nuevamente el objeto a o el b y luego, ingresar con el cursor dentro del recuadro punteado que lo enmarca y a continuación de la a o antes de la b, añadir + b o a + según sea el caso.

Otra alternativa sería ingresar como objeto indicador del resultado al punto B y editarlo para que pase a ser x(B).

Si se quisiera tomar en cuenta el valor de la posición de partida en esta operación, como se verá más adelante, también habrá que anteponer x(A) +.
  • Anotándolos directamente:
    • entre el texto de a y el de b, el signo +
    • el = entre el de b y el del resultado.

5. Dar a los textos la medida de tipografía adecuada, desde la Barra de Estilo de la Menu view graphics.svg Vista Gráfica y, de ser preciso, acudir al Cuadro de Propiedades para fijar los textos y establecer que el Rotulado de cada deslizador se limite a su Valor.

13 integer2.PNG

Ajustes y Contrastes Ilustrativos

6. Ajustar algunos detalles revisando que...

  • cuando tanto a como b son negativos, el aspecto de la operación cuyo texto dinámico se expone resulta inadecuado.
    Bulbgraph.pngAtención: En tanto requiere de paréntesis en tales casos, conviene convertir el objeto a ser expuesto de numérico a textual con una maniobra como la que se ilustra a continuación.
Tablitex.PNG
  • puede ser más cómodo anotar los valores de cada operando desde casillas de entrada a crear con la herramienta Tool Insert Textfield.gif de Casilla de Entrada y asociarse a a y b, respectivamente.
    Campo de Entrada.PNG
    Bulbgraph.pngAtención: Es conveniente ajustarle a ambas cada Longitud de la Casilla de Entrada en la pestaña Estilo del Cuadro de Propiedades
Campo de Entrada Longitud.PNG
  • cuando el punto A se desplaza, el valor del resultado de la operación no concuerda con r
  • es conveniente que cada operador contraste con el color que se le puede adjudicar al fondo con una simple maniobra en la Barra de Estilo, como se expone en la figura que aparece en la sección posterior.

7. Exportar este escenario dinámico e interactivo.

Al ver... verás

¡Verás!

Es conveniente incluir un recurso de control para que sea el resultado o uno u otro de los operandos resulte visible o se oculte, acorde se tilde o no la Tool Check Box to Show Hide Objects.gif casilla a tal efecto creada con la herramienta correspondiente.

Suma 2.PNG

Condicional para Ocultar/Mostrar vía Casillas de Control

Pasos de Construcción

Para insertar una Tool Check Box to Show Hide Objects.gif Casilla de Control para Ocultar/Mostrar Objetos en la Menu view graphics.svg Vista Gráfica que permita controlar si va a mostrarse o no el resultado y los indicios o indicadores asociados, tendrá que afectar a todos los componentes:

  • el texto del resultado
  • el punto cuya abscisa corresponde al resultado
  • el segmento que ilustra el tramo asociado al resultado

Para lograrlo, basta con:

  1. Apelar a la herramienta Tool Check Box to Show Hide Objects.gif Casilla de Control para Ocultar/Mostrar Objetos, seleccionándola y señalando con un clic en la Menu view graphics.svg Vista Gráfica, la posición en que quedará ubicada
  2. Anotarle un adecuado Subtítulo, como Ver_r
  3. Seleccionar los objetos a afectar, sea en la Menu view graphics.svg Vista Gráfica. con un clic, o indicándolos en la lista desplegable que permite escogerlos.
  4. Confirmar pulsando sobre 'Aplica que se completó la maniobra
  5. Controlar, tildando la casilla y des-tildando' la casilla, que responden a la maniobra todos los objetos que deben afectarse
  6. Fijar la casilla si se lo considera preciso, desde el Cuadro de Propiedades
  7. Subsanar alguna posible omisión de alguno de los objetos que debieran afectarse, seleccionándolos y anotando el nombre - no el Subtítulo - de la casilla en el campo Condición para Exponer el Objeto de la pestaña Avanzado' del correspondiente Cuadro de Propiedades.
  8. Revisando el comportamiento adecuado.
    Tablita.PNG
  9. Añadir algunos deslizadores para asignar objetivos en desafíos por llegar, de distintos modos a tal resultado, que es un reto de mayor nivel que el de calcularlo.
  10. Concluir, exportando el boceto resultante añadiendo, acaso, otros desafíos exploratorios.
Tablitar.PNG

Variables Booleanas

El Tool Check Box to Show Hide Objects.gif casillero de control para mostrar u ocultar Objetos no es sino una representación gráfica de una variable lógica o Booleana que, como tal, puede tener dos valores de verdad:

  • cierto (true en inglés), cuando la casilla está tildada o
  • falso (false en inglés) cuando no lo está.

Cada uno de los objetos afectados por este control, mostrará en el campo Condiciones para Exponer el Objeto de la pestaña Avanzado del Cuadro de Propiedades, el nombre asignado a la casilla - no su Subtítulo - que es el de la variable Booleana.

Note Aviso: Esto implica que su visibilidad estará condicionada, en este caso, por el valor de verdad cierto de la variable Booleana en cuestión.

Si los segmentos punteados que evidencian los extremos del segmento de resultado no hubieran sido incluidos inicialmente, pueden serlo ahora, a través de la maniobra de anotar el nombre de la variable en tal campo.

Se podría hacer más compleja la condición en situaciones en que se deseara que un objeto de texto - como "Resultado Negativo" por ejemplo - quedara o no expuesto. En este caso, se anotaría algo como esto en el campo de condición de visibilidad:
x(A) + a + b < 0

El Triángulo de Sierpinski

¿Cómo agilizar la creación de un triángulo como el que se ilustra? ¿Acaso con ayuda de una herramienta propia especialmente preparada para la tarea?

Sierpinski1.PNG

Preparativos

Pasos de Construcción

1 Tool Polygon.gif Crear un triángulo cualquiera, ABC.
2 Cambiarle el color, con la maniobra adecuada en la Barra de Estilo.
3 Tool Midpoint or Center.gif Establecer el Punto Medio D del lado AB, el E del lado BC y F el de AC.
4 Mode move.png Construir el triángulo DEF.
5 Cambiarle el color a DEF, con la maniobra adecuada en la Barra de Estilo y con una opacidad del 100%.
6 Crear una nueva herramienta denominada Sierpinski.

Los objetos de salida serán los puntos D, E y F, el triángulo DEF, y sus lados

Los objetos de entrada serán los puntos A, B y C

Nombre: Sierpinski

Ayuda de la Herramienta: Clic en tres puntos

7 Aplicar la nueva herramienta sobre cada triángulo esbozado recientemente - ADF, DBE y FEC - para avanzar hacia la segunda etapa del triángulo de Sierpinski.
8 Avanzar del mismo modo, hacia la tercera etapa.

Visibilidad Condicional

Crear tres casillas de control de visibilidad para cada una de las etapas de desenvolvimiento del triángulo de Sierpinski.

Sierpins.PNG

Introducción a Secuencias

GeoGebra ofrece un comando de gran potencia para producir listas de objetos del mismo tipo, cuya cantidad y 'distanciamiento determinan sus parámetros en adecuada sintaxis:

  • Secuencia( <expresión>, <variable>, <desde>, <hasta>, <distanciamiento> ) donde...
    • <expresión>: Establece el tipo y proceso de producción de los objetos que compondrán la lista resultante en relación a la variable de evolución, dentro del rango fijado (como (i, 0) siendo la variable i).
    • <variable>: Indica el nombre de la variable en juego* <desde>, <hasta>: Establecer el intervalo empleado para el desenvolvimiento de la variable (desde 1 hasta 100, el rango es justamente, el de esa centena).
    • <distanciamiento>: Opción que determina la dimensión del paso de una unidad de la variable a la siguiente que, por omisión es 1.
Ejemplo: Para crear una lista de puntos y una de segmentos
  • Secuencia( (n, 0), n, 0, 10)
    • Crea, a lo largo del eje-x, una lista de 11 puntos de las siguientes coordenadas (0, 0), (1, 0), (2, 0), …, (10, 0).
  • Secuencia(Segmento((a, 0), (0, a)), a, 1, 10, 0.5)
    • Crea una lista de segmentos de longitud creciente, separados por 0.5 unidades de distancia.
    • Cada segmento une un punto en el eje x con uno del eje y de coordenadas recíprocas como el (1, 0) con (0, 1); (2, 0) con (0, 2)...
  • Secuencia((i, i), i, 0, s) - siendo s el valor de un deslizador que opera en el intervalo de 1 a 10 con un incremento igual a 1 -, crea una lista de s + 1 puntos - de coordenadas (0, 0), (1, 1), …, (10, 10)- cuya longitud puede variar dinámicamente cuando se arrastra s.
Secuencias.PNG

Producto Visual de Números Naturales

Preparativos

Multiplication.PNG

Pasos de Construcción

1 Mode slider.png Establecer los deslizadores numéricos - señalando Entero - de Ancho 300, que opere en el Intervalo de 1 a 10 con un Incremento igual a 1...
  • el horizontal Columnas
  • el vertical Filas
2 Mode point.png Crear el punto A, ubicándolo en el origen de coordenadas.
Note Aviso: Emplear la herramienta adecuada Tool Move Graphics View.gif para desplazar ese origen de coordenadas a la exquina inferior izquierda de la Menu view graphics.svg Vista Gráfica
3 Determinar cuatro puntos, derivados de A, anotando en la Barra de Entrada:
  • B= A + Columnas VectorUnitario(EjeX)
  • C = A + Filas VectorUnitarioPerpendicular(EjeX)
  • D = C + Columnas VectorUnitario(EjeX)
4 Mode move.png Desplazar el deslizador Columnas y el de Filas para controlar el comportamiento acorde de los puntos recién creados.
5 Tool Polygon.gif Trazar el polígono ABDC.
6 Tool Polygon.gif Crear dos listas una de segmentos verticales y otra de horizontales.
  • Secuencia(Segmento(A + k (1, 0), C+ k (1, 0)), k, 1, Columnas)
  • Secuencia(Segmento(A + k (0, 1), B + k (0, 1)), k, 1, Filas)
Nota: A + k (1, 0) especifica una serie de puntos que empiezan en A con distancia 1 entre uno y otro y C + k (1, 0), la de los que se inician en C y se distribuyen horizontalmente a la misma distancia - B + k (0, 1)] desde B y con distribución vertical -.
Segmento[A + k (1, 0), C + k (1, 0)] crea una lista de segmentos entre estos pares de puntos. De modo similar se distribuyen los segmentos determinados por la siguiente Secuencia
Note Aviso: Como los segmentos se establecen de modo directo, los puntos extremos no solo no se exponen, tampoco se crean como objetos.
7 Mode text.png Insertar los correspondientes textos, estáticos y dinámicos que ilustran y especifican los cálculos de multiplicación que tienen como factores los valores de los deslizadores Columnas y Filas:

texto1: Columnas

texto2: *

texto3: Filas

texto4: =

8 Calcular el resultado del producto de Columnas * Filas
9 Mode text.png Inserta el dinámico texto5: resultado
10 Mode showhideobject.png Ocultar los puntos A, B, C y D.
11 Ajustar y mejorar la construcción a partir de las posibilidades que ofrecen la Barra de Estilo o, de ser preciso, el Cuadro de Propiedades
Tabla M.PNG

Reto Artístico vía Curvas de Bézier

Las curvas de Bézier son una de las paramétricas que suelen emplear los utilitarios de graficación para trazar curvas o modificar vectorialmente', la medida de la tipografía. En este escenario, se creará un tendido de hilos para poder trazar curvas de Bézier con fines artístico-ornamentales.

Preparativos

Bezier.PNG

Pasos de Construcción

Se detallará la modalidad de construcción paso a paso, si bien es posible crear el diseño partiendo solo de tres puntos - A, B y C -, anotando en la Barra de Entrada el siguiente anidado' de comandos:

  • lis_B = Secuencia(Segmento(Elemento(Secuencia(A + k / n (B - A), k, 1, n), i), Elemento(Secuencia(A + k / n (C - A), k, 1, n), n - i)), i, 1, n)
1 Tool Segment between Two Points.gif Trazar...
  • Dos segmentos, a y b, con extremos en los puntos A y B y A y C respectivamente
2 Mode slider.png Crear un deslizador n numérico - Entero - de Ancho 200 con Incremento 1 e intervalo extendido de 0 a 50.
3 Establecer, desde la Barra de Entrada las secuencias...
  • Secuencia(A + i/n (B - A), i, 1, n)
  • Secuencia(A + i/n (C - A), i, 1, n)
    Note Aviso: Se crean listas de n' puntos a lo largo de cada segmento (a y b respectivamente), distanciados una eneava parte de su longitud.
4 Mode showhideobject.png Ocultar sendas listas de puntos.
5 Crear una lista de segmentos...
Note Aviso: Estos segmentos conectan el primero con el último, el segundo con el penúltimo... el último con el primero y así, entre los elementos de la lista1 con cada uno de los de la lista2
6 Ajustar y menorar el aspecto de la construcción apelando a los recursos que habilita la Barra de Estilo y/o apelando al Cuadro de Propiedades
7 Mode move.png Desplazar los puntos A, B y C para cambiar el aspecto y dorma de la curva de Bézier.
8 Mode slider.png Mode move.png Modificar el valor que, a expensas del deslizador, establece el de n para cambiar el número de segmentos que crea la curva de Bézier.
Nota: Los segmentos creados son tangentes a la curva cuadrática de Bézier.

Desafío Adicional

Acaso, podríamos plantear:

  • además de encontrar los puntos que en el trazado previo permiten un Ajuste que se acerque al trazado de las curvas que lo inspiraron...
  • ...el más abierto a crear más arte hilado empleando secuencias de puntos y segmentos con GeoGebra.
    Bezier2.PNG
Note Aviso:
Los puntos de aparente intersección que se podría creer permitirían establecerse para intentar algún tipo de ajuste (como el polinómico, no son objetos accesibles.

No lo son, dado que cada uno de los segmentos trazados no tiene entidad directa sino como elementos de una lista.

Por eso, se requiere una maniobra en que es preciso apelar al comando Elemento para hacer viable la producción de cada intersección.


Cuadrilateando

Tutorial: ¿Cómo harían para conseguir diferentes Tipos de Cuadriláteros? Diseño del Centro Babbage

A lo largo de esta propuesta, clásica de Centro Babbage, conviene ir produciendo, paso a paso, la construcción del planteo en la Ventana de GeoGebra.

1 Empleando la Herramienta de Polígono, construimos un cuadrilátero cualquiera con vértices en los puntos A, B, C y D respectivamente (recordando volver a dar clic sobre el punto inicial A para "cerrar" el polígono). Para su mejor identificación, se activa el Menú Contextual, apelando a la alternativa desde la que se lo Renombra Cua.

Rinde0.PNG

2 Con la Herramienta de Punto, creamos uno, E, sobre el segmento de lado que une los puntos A y B.

Rinde1.PNG

3 Empleando la Herramienta de Homotecia pasamos a crear otro punto en el lado opuesto al que une A y B, el tendido entre C y D, para obtener el resultado de la Homotecia(C, RazónSimple(B, A, E), D).

Rinde2.PNG

4 Otro tanto para crear la Homotecia(C, RazónSimple(B, A, E), B) sobre el lado que une A y D.

Rinde3.PNG

5 Del mismo modo para fijar la Homotecia(A, RazónSimple(B, A, E), D) en el lado que une D y A.

Rinde4.PNG

De este modo se completa el trazado de los cuatro puntos en cada lado...

Rinde5.PNG

6 Volvemos a apelar a la Herramienta de Polígono para crear el que une cada uno de los puntos recién creados sobre cada lado.

Rinde6.PNG

7 Es sencillo notar que todos los vértices del cuadrilátero A, B, C, D son libres y que al desplazarlos se modifica el tipo de cuadrilátero que acabamos de "inscribir" en Cua (el de ABCD).

Rinde7.PNG

8 Para mayor claridad a este cuadrilátero que une a los vértices EFGH, se lo Renombra Cuins y se destaca con diferente estilo a su único punto desplazable, el E. Apelando al Cuadro de Propiedades, se establece que de sendos cuadriláteros se expondrán tanto sus rótulos como sus valores de modo que se pueda apreciar rápidamente el modo en que se relacionan.

Rinde5 5.PNG

9 Podemos notar que al desplazar el punto E, los que de E dependen, ubicados sobre cada lado de ABCD, concuerdan con su movimiento para seguir ocupando la misma posición proporcional en los correspondientes lados de ABCD.. Si procuramos llevar E al punto medio entre A y B, otro tanto resultará con los vértices del "inscripto" en sus respectivos lados. Si se lo lleva hasta cerca de la novena parte de uno de los vértices del lado que ocupa, otro tanto sucederá con los demás vértices, F, G y H.

Rinde9no .PNG

Cuadrilátero Cuins cuyos vértices son puntos que ocupan la misma posición proporcional en cada lado de Cua.

10 Para identificar con mayor facilidad las propiedades del cuadrilátero Cuins, se acude a la Herramienta de Ángulo que se le aplica en una maniobra simple.

Rinde7 5.PNG

11 Para explorar con un propósito guía que conduzca las observaciones, podemos plantearnos y/o plantearles a los estudiantes, una serie de desafíos. Por ejemplo...

  • ¿Cómo harían para que el "inscripto" resulte un rombo o un cuadrado, lo primero que puedan lograr? o
  • ¿Cómo creen que podría lograrse que llegara a configurar un trapecio o a un rectángulo?.

Algunas de las maniobras podría llevar a algún logro, al menos según se lo pudiera apreciar a simple vista y, en tal caso, sería importante cuestionarse sobre cómo controlar con mayor rigor, acudiendo a la Herramienta de Relación y/o a la información complementaria que ofrece la Menu view algebra.svg Vista Algebraica.

Rinde7 8.PNG

En cada ocasión, valdría analizar las condiciones que se procuraron para cada logro para poder reproducirlo sin necesidad de volver a tanteos que, en todo caso, se facilitan poniendo a la Vista la Cuadrícula y activando la alternativa Ajusta a Cuadrícula a partir de la Opción que establece la Atracción de Punto a Cuadrícula.

12 Los interrogantes que en el camino de las exploraciones pueden reiterarse apuntan a...

  • ¿Cómo controlar que se llega a cada una de las metas propuestas? y
  • ¿Qué herramientas conviene emplear y qué relaciones verificar?
  • El método que se emplee para lograr cada uno de los cuadriláteros de distinto tipo, ¿será el único?
  • ¿Será válido en todos los casos?
  • ¿Cómo podríamos asegurarlo?
  • ¿Habrá algunas metas imposibles de lograr?
  • ¿Cómo podríamos convencernos de esta eventual imposibilidad?
Rinde8.PNG

13 Respecto, ya no de las posibles clasificaciones vinculadas a procedimientos acorde a propiedades de Cuins en relación a Cua, sino al régimen de cambio de las relaciones entre sus respectivas áreas, un planteo a indagar podría ser: ¿Cómo conseguir el máximo rendimiento de modo que al recortar el cuadrilátero inscripto Cuins se minimice el desperdicio de los "recortes" sobrantes de Cua?.

Incluso, ¿Cómo conseguir un rendimiento de un tercio del máximo posible?. Este tipo de interrogante incluye la necesidad de establecer, además, cuál es el máximo rendimiento.

Para llevar adelante esta indagación conviene establecer tanto la razón de las áreas como la de la proporción en que cada vértice de Cuins divide al correspondiente lado de Cua.

Además de recurrir a la Menu view algebra.svg Vista Algebraica para ir recabando esa información (una vez que se hizo el ingreso de los cálculos en la Barra de Entrada), es conveniente incluirla en la Menu view graphics.svg Vista Gráfica empleando la Herramienta de Texto.

Rinde8 6.PNG

14 Para indagar de modo más completo el posible régimen de relaciones y de cambios entre la RazónSimple en juego y la razón entre sendas áreas, conviene establecer un punto de definición algebraica, ingresando en la Barra de Entrada, los valores variables de sus coordenadas como (10Pro_{porción}, 10Rendimiento) siendo Pro_{porción} la RazónSimple y Rendimiento la que se establece entre las áreas de Cuins a Cua.

Rinde8 8.PNG

15 El modo preliminar de controlar cómo varía el Rendimiento en función de la Pro_{porción}, sería facilitar el registro en tanto se le Activa Rastro al punto de definición algebraica recién creado, tildando esta alternativa de su Menú Contextual, emergente cuando se lo selecciona y se pulsa el botón derecho del ratón o mouse.

Rinde9.PNG

Rastro que aparece a medida que se desplaza el punto E, vértice de Cuins, por el lado que ocupa en Cua.

16 Es más perdurable y susceptible de mejor análisis que el rastro del punto de definición algebraica a medida que se desplaza E, el lugar geométrico correspondiente.

Rinde10.PNG

Los primeros cálculos pueden operarse sobre el lugar geométrico y, a medida que se progresa en su análisis, se pueda considerar con qué tipo de cónica pudiera tal trazo coincidir, apelando a la correspondiente herramienta y/o recabando los valores del punto en juego en la Hoja de Cálculo.

Esta multiplicidad de representaciones simultáneas permite un estudio de peculiar riqueza del régimen de relaciones y del de variaciones a partir de cada posible "punto de Vista".

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