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002 Retour
Dans le plan (P), on donne quatre points O, A, B et C et un cercle (\Gamma) de centre O. Le point M est un point quelconque variable sur le cercle (\Gamma). On lui associe l’unique point M' du plan (P) défini par l’égalité : \vec{MM'} = \alpha\vec{MA}+\beta\vec{MB}+\gamma\vec{MC} où \alpha, \beta, \gamma sont des réels donnés.
Il s’agit de déterminer, dans un cas particulier, le lieu géométrique du point M' lorsque le point M décrit le cercle (\Gamma).
Pas de problème au niveau de l'utilisation de GeoGebra, il s'agit d'un problème classique de lieu de points. On définira donc le point M' et on en activera la trace (version volatile) ; ou on en définira le lieu Lieu[M',M](version pérenne)
En déplaçant M, en traçant éventuellement la droite (MM'), on peut conjecturer l'existence d'un point "fixe" (si la somme des "masses" est différente de 0), penser alors dans ce cas au barycentre.
Si \sigma = \alpha + \beta + \gamma \neq 0
\alpha\vec{MA}+\beta\vec{MB}+\gamma\vec{MC} = \sigma \vec{MG}
\vec{MM'} = \sigma \vec{MG}
\vec{GM'} = (1-\sigma) \vec{GM}
donc le lieu cherché est l'image du cercle (\Gamma) dans l'homothétie de centre G et de rapport (1-\sigma)
Si \sigma = \alpha + \beta + \gamma = 0
alors par exemple : \vec{MM'} = \beta \vec{AB} + \gamma \vec{AC}
donc le lieu cherché est l'image du cercle (\Gamma) dans la translation de vecteur \vec{w} = \beta \vec{AB} + \gamma \vec{AC}
Déclinaison Janvier 2007
Dans le plan (P), on donne quatre points O, A, B et C et un cercle (\Gamma) de centre O. Le point M est un point quelconque variable sur le cercle (\Gamma). On lui associe l’unique point MO du plan (P) défini par l’égalité : \vec{MM'} = \vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}.
Il s’agit de déterminer le lieu géométrique (\wp) du point MO lorsque le lieu géométrique du point M est le cercle (\Gamma).
Donc le lieu cherché est l'image du cercle (\Gamma) dans l'homothétie de centre G et de rapport -3.
