Tutorial:Bloque de Prácticas
Resoluciones Gráficas de Sistemas de (In)Ecuacions
Un sistema de ecuaciones lineales puede quedar diseñado como un escenario para la resolución gráfica de modo tal que en cada caso se ingresen los valores correspondientes y sea posible representar ágilmente una variedad de problemas de tal tipo.
Pasos de Construcción
1 Como se anotarán dos funciones de formato m x + b, es preciso ingresar en primer lugar, desde la Barra de Entrada, cada componente necesario, empezando por...
- m_1 = 1 b_1 = 3
- m_2 = 2 b_2 = 1
... para terminar por:
- m_1 x + b_1
- m_2 x + b_2
Todo esto aparecerá registrado en la Vista Algebraica
2 Los valores de cada parámetro determinará la inclinación y la posición de la recta que representa la ecuación y para que todo sea más fácil de ser identificado, conviene darles los mismos colores contrastantes a los de una y otra ecuación.
- los deslizadores a los que se les asignó orientación Vertical en la casilla correspondiente de la pestaña Deslizador de la Caja de Diálogo de Propiedades,
- el rótulo de cada ecuación de recta a la que, además, se les cambió en nombre por f_1 y f_2 respectivamente.
3 Se puede establecer, con la herramienta 
, el punto de intersección entre una y otra función graficada.
4 Con la correspondiente herramienta 
, se puede establecer el texto en el lugar adecuado de la Vista Gráfica y anotar el texto estático: Solución: x = y seleccionar el nombre del punto de intersección del listado que se despliega a indicar Objetos.
- modificar la casilla que contiene el nombre del punto de intersección, digamos A para reemplazarlo por x(A) y
- hacer nuevamente otro tanto para y(A).
5 Completar los detalles del texto dinámico y mejorar los del gráfico para que el escenario gráfico de resolución quede alistado para resolver toda una variedad de problemas.
6 Una propuesta adicional sería la de operar con inecuaciones.
El par de inecuaciones que se ingresan por Barra de Entrada y también se establece su texto dinámico representativo correspondiente, son...
- in_1: (y < m_2 x + b_2) ∧ (y > m_1 x + b_1)
- in_2: (y > m_2 x + b_2) ∧ (y < m_1 x + b_1)
7 Un desafío extra sería el de cuestionar cuál de las inecuaciones se vincula a los sectores sombreados a uno y otro lado del punto de intersección y si algún cambio en sólo uno de los deslizadores podría invertir esta correspondencia.
8 Abriendo la Vista Gráfica 2 y cambiando allí la escala para que sea posible ver ambas a la vez, se pueden sumar propuestas como las derivadas de establecer...
- un par de
puntos en la región delimitada por inecuaciones - la
pendiente de la recta que ambos determinan
... de modo tal que se pueda indagar qué valor presenta en cada caso.
Aviso: Es conveniente aumentar el tamaño de la pendiente para poder ver con claridad los cambios de valor y comportamiento.Un desafío adicional sería el de descubrír qué relaciones entre m_1 y m_2 desencadenan sucesivos inversos recíprocos de los valores de m_p (cuando el par de puntos E_x y E_X que determina la recta cuya pendiente m_p se analiza, se desplacen para ubicarse sobre las funciones que limitan la composición de inecuaciones).
9 Como puede apreciarse en el escenario en que se exponen ambas vistas gráficas, aparece sombreada con Estilo rayado verde, una franja delimitada por un par de funciones lineales paralelas que allí aparecen para dar una posterior consigna al respecto.
En ocasiones conviene incluir en un mismo escenario puntas para la profundización de ciertos tópicos vinculados a los centrales. Sobre todo, para quienes, dentro de un grupo, suelan terminar antes y, antes de dispersarse, requieren encaminarse hacia nuevos retos.
Uno de ellos, podría ser cuestionar cómo lograr que esa franja verde rayada, resulte más ancha o angosta, por ejemplo.
10 Antes de guardar el boceto del escenario creado, es conveniente dejar anotadas en un archivo de texto asociado, la serie de ejercicios y problemas a resolver empléandolo.
Desafío Adicional Cuadrático
Con la misma serie de maniobras es posible, creando otros y diversos deslizadores, operar con problemas de encuentro incluso incorporando cuadráticas.
Aviso: Una función puede anotarse en la Barra de Entrada empleando la sintaxis f(x) = … .Para que cada nueva ingresada no tape la anterior, es conveniente anotarlas con distintos nombres o subíndices - f_1(x), g(X)... -.
Se puede tambièn ingresar una ecuación de una o dos variables de cada lado del signo igual - por ejemplo, 2 x + 3 = 5 y + 1 o, de maypr grado, 3 x² = 4 + y + 2 x - para establecer cada uno de las funciones - 2x - 5y = -2 o y = 0.4x + 0.4 o X = (0, 0.4) + λ (-5, -2), según el formato escogido, en el primer caso y en el segundo 3x² - 2x - y = 4 o y = 3x² - 2x - 4 x² o x² = 0.67x + 0.33y + 1.33 -.
Translating Pictures
In this activity you are going to use the following tools and commands. Make sure you know how to use each tool and command before you begin.
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Insert Image |
| A = (1, 1) | |
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Polygon |
| Vector[O, P] | |
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Vector Between Two Points |
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Translate Object By Vector |
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Move |
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Text |
Construction Steps
1. Open a new GeoGebra window. Show the Algebra View, Input Bar, coordinate axes, and grid. In the Options Menu set the point capturing to Fixed to Grid.
2. Insert picture A_3b_Bart.png into the first quadrant.
3. Create points A = (1, 1), B = (3, 1), and D = (1, 4).
4. Set point A as the first, B as the second, and D as the fourth corner point of the picture (Properties Dialog, tab Position).
5. Create triangle ABD.
6. Create point O = (0, 0) and point P = (3, -2).
7. Create vector u = Vector[O, P]. {{hint|You could also use [[tool Vector Between Two Points.}}
8. Translate the picture by vector u using Translate Object by Vector.
Aviso: You might want to reduce the filling of the image.9. Translate the three corner points A, B, and D by vector u.
10. Create triangle A'B'D'.
11. Hide point O so it can’t be moved accidentally. Change the color and size of objects to enhance your construction.
Challenge
Insert dynamic text that shows
- the coordinates of points A, B, C, A', B', and D'.
- the coordinates of vector u.
Constructing a Slope Triangle
In this activity you are going to use the following tools and algebraic input. Make sure you know how to use each tool and the syntax for algebraic input before you begin.
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Line Through Two Points |
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Perpendicular Line |
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Intersect Two Objects |
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Polygon |
| rise = y(B) - y(A) | |
| run = x(B) - x(A) | |
| slope = rise / run | |
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Text |
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Midpoint or Center |
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Move |
Construction Steps
1. Show the Algebra View, coordinate axes and the grid. Set point capturing to Fixed to Grid and the labeling to All new objects.
2. Create line a through two points A and B.
3. Construct a perpendicular line b to the y-axis through point A.
4. Construct a perpendicular line c to the x-axis through point B.
5. Intersect perpendicular lines b and c to get intersection point C.
Aviso: You might want to hide the perpendicular lines.6. Create polygon ACB and hide the labels of the sides.
7. Calculate the rise: rise = y(B) - y(A)
Aviso: y(A) gives you the y-coordinate of point A.8. Calculate the run: run = x(B) - x(A)
Aviso: x(B) gives you the x-coordinate of point B.9. Enter the following equation into the input bar to calculate the slope of line a: slope = rise / run
10. Insert dynamic text: rise = and select rise from Objects, run = and select run from Objects, slope = and select slope from Objects
11. Change properties of objects in order to enhance your construction.
Challenge 1: Insert a dynamic text that contains a fraction
Using LaTeX formulas, text can be enhanced to display fractions, square roots, or other mathematical symbols.
- Activate tool Insert text and click on the Graphics View.
- Type slope = into the Insert text window’s input bar.
- Check LaTeX formula and select Roots and Fractions a/b from the dropdown list.
- Place the cursor within the first set of curly braces and replace a by number rise from the Objects drop-down list.
- Place the cursor within the second set of curly braces and replace b by number run from the Objects drop-down list.
- Click OK.
Challenge 2: Attach text to an object
Whenever an object changes its position, attached text adapts to the movement and follows along.
- Create midpoint D of the vertical segment using tool Midpoint or center.
- Create midpoint E of the horizontal segment.
- Open the Properties Dialog and select text1 (rise = …). Click on tab Position and select point D from the drop-down list next to Starting point.
- Select text2 (run = …) in the Properties Dialog and set point E as starting point.
- Hide the midpoints D and E.
Explorando las Pirámides
A partir de la información que se resume en la siguiente ilustración y en los sitios que tratan los temas correspondientes, es posible construir, a escala, el juego de triángulos que representa escuetamente a cada pirámide para contrastar, no ya sus alturas, las pendientes de sus caras. Basta con conocer la operatoria básica y el manejo de las siguientes herramientas:
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Insert Picture |
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Line Through Two Points |
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Slope |
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Angle |
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New Point |
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Perpendicular Line |
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Intersect Two Objects |
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Show/Hide Object |
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Segment Between Two Points |
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Move |
Determinar la pendiente de las caras de las Pirámides
1. Set point capturing off. Set the decimal places to 1. Change the labeling setting to All new objects (menu Options).
2. Insert the picture A_3d_Louvre.jpg into the first quadrant of the coordinate system. The left lower corner should match the origin.
3. Reduce the filling of the picture (about 50%) and set it as background image (Properties Dialog).
4. Create a line through two points with the first point at the base and the second point at the vertex of the pyramid.
Aviso: Change the properties of line to improve its visibility.5. Use the Slope Tool to get slope triangle of line.
Aviso: Change the properties of slope triangle to improve its visibility. The slope triangle is attached to the point created first.6. Task: Determine the slope of the pyramid’s faces in percent.
7. Create the angle between the x-axis and the line. Task: Determine the inclination angle for the pyramid’s face.
Challenge
The pyramid’s base is a square with a side length of 35 meters. Determine the height of the pyramid using similar triangles.
1. Create a new point C on the line.
2. Construct the slope triangle of the line using points C and B at the pyramid’s vertex.
Aviso: Create a line perpendicular to the y-axis through point C and a line perpendicular to the x-axis through point B at vertex of pyramid. Create the intersection point D of the two lines. Aviso: Hide the auxiliary lines.3. Use segments to connect point D with points B and C.
Aviso: Change the properties of the segments to increase their visibility. Aviso: You might want to rename the vertical segment to height and the horizontal segment to halfBase4. Move point C along the line until the horizontal segment of the triangle matches the level of the road in front of the pyramid.
5. Task: Calculate the height of the pyramid using similar triangles.
Aviso: Use the slope triangle and your new triangle. Remember that the base side length is 35 m.
Check your answer with GeoGebra
6. Show name and values of segments height and halfBase.
7. Drag point C until the horizontal segment has length 35/2 = 17.5.
Aviso: You might need to zoom out of the construction and / or move the graphics view in order to be able to do this.8. Check if the height of the pyramid matches your answer.
Comentario
Quienes quieran validar sus cálculos a escala con los datos con los que efectivamente se cuenta, acaso quieran dirigirse a los enlaces en que se encuentra la información sobre las pirámides comparadas y estudiadas.
