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Tutorial: Retomando desde el Bloque de PrácticasBasado en un Diseño de un Taller del Centro Babbage

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Resoluciones Gráficas de Sistemas de (In)Ecuacions

Un sistema de ecuaciones lineales puede quedar diseñado como un escenario para la resolución gráfica de modo tal que en cada caso se ingresen los valores correspondientes y sea posible representar ágilmente una variedad de problemas de tal tipo.

Pasos de Construcción

1 Como se anotarán dos funciones de formato m x + b, es preciso ingresar en primer lugar, desde la Barra de Entrada, cada componente necesario, empezando por...

• m_1 = 1 b_1 = 3
• m_2 = 2 b_2 = 1

... para terminar por:

• m_1 x + b_1
• m_2 x + b_2

Todo esto aparecerá registrado en la Vista Algebraica

Nota: Para que los valor de los parámetros de una y otra ecuación lineal aparezca representado como un deslizador en la Vista Gráfica, basta con tildar con un clic cada redondelito que lo encabeza en la Vista Algebraica.

2 Los valores de cada parámetro determinará la inclinación y la posición de la recta que representa la ecuación y para que todo sea más fácil de ser identificado, conviene darles los mismos colores contrastantes a los de una y otra ecuación.

Nota: En la figura se exponen...

• los deslizadores a los que se les asignó orientación Vertical en la casilla correspondiente de la pestaña Deslizador de la Caja de Diálogo de Propiedades,
• el rótulo de cada ecuación de recta a la que, además, se les cambió en nombre por f_1 y f_2 respectivamente.

3 Se puede establecer, con la herramienta , el punto de intersección entre una y otra función graficada.

Nota: Es conveniente activar la Barra de Estilo de la Vista Gráfica para agilizar cada una de las operaciones descriptas y, respecto del punto recién creado así como para cada ecuación, tener un modo sencillo de dejar expuesto del rótulo, específicamente el Valor o el Nombre y Valor.

4 Con la correspondiente herramienta , se puede establecer el texto en el lugar adecuado de la Vista Gráfica y anotar el texto estático: Solución: x = y seleccionar el nombre del punto de intersección del listado que se despliega a indicar Objetos.

Nota: Si se prefiriera identificar cada uno de los valores, se podría, en la caja de edición...

• modificar la casilla que contiene el nombre del punto de intersección, digamos A para reemplazarlo por x(A) y
• hacer nuevamente otro tanto para y(A).

5 Completar los detalles del texto dinámico y mejorar los del gráfico para que el escenario gráfico de resolución quede alistado para resolver toda una variedad de problemas.

Nota: Además de cuestiones casi cosméticas, es de importancia, darle a cada uno de los deslizadores un rando de valores y uno de incremento de modo que se puedan representar cada uno de los ejercicios que se destine a este encuadre de resolución gráfica.

6 Una propuesta adicional sería la de operar con inecuaciones.

Nota:

El par de inecuaciones que se ingresan por Barra de Entrada y también se establece su texto dinámico representativo correspondiente, son...

• in_1: (y < m_2 x + b_2) ∧ (y > m_1 x + b_1)
• in_2: (y > m_2 x + b_2) ∧ (y < m_1 x + b_1)

... como puede observarse en la figura, en la que además se aprecia que los sombreados respectivos son rayados con un ángulo de 0 y 90 grados.

7 Un desafío extra sería el de cuestionar cuál de las inecuaciones se vincula a los sectores sombreados a uno y otro lado del punto de intersección y si algún cambio en sólo uno de los deslizadores podría invertir esta correspondencia.

8 Abriendo la Vista Gráfica 2 y cambiando allí la escala para que sea posible ver ambas a la vez, se pueden sumar propuestas como las derivadas de establecer...

• un par de puntos en la región delimitada por inecuaciones
• la pendiente de la recta que ambos determinan

... de modo tal que se pueda indagar qué valor presenta en cada caso.

Aviso: Es conveniente aumentar el tamaño de la pendiente para poder ver con claridad los cambios de valor y comportamiento.

Nota:
Un desafío adicional sería el de descubrír qué relaciones entre m_1 y m_2 desencadenan sucesivos inversos recíprocos de los valores de m_p (cuando el par de puntos E_x y E_X que determina la recta cuya pendiente m_p se analiza, se desplacen para ubicarse sobre las funciones que limitan la composición de inecuaciones).

9 Como puede apreciarse en el escenario en que se exponen ambas vistas gráficas, aparece sombreada con Estilo rayado verde, una franja delimitada por un par de funciones lineales paralelas que allí aparecen para dar una posterior consigna al respecto.

Nota:
En ocasiones conviene incluir en un mismo escenario puntas para la profundización de ciertos tópicos vinculados a los centrales. Sobre todo, para quienes, dentro de un grupo, suelan terminar antes y, antes de dispersarse, requieren encaminarse hacia nuevos retos.

Uno de ellos, podría ser cuestionar cómo lograr que esa franja verde rayada, resulte más ancha o angosta, por ejemplo.

10 Antes de guardar el boceto del escenario creado, es conveniente dejar anotadas en un archivo de texto asociado, la serie de ejercicios y problemas a resolver empléandolo.

Desafío Adicional Cuadrático

Con la misma serie de maniobras es posible, creando otros y diversos deslizadores, operar con problemas de encuentro incluso incorporando cuadráticas.

Aviso: Una función puede anotarse en la Barra de Entrada empleando la sintaxis f(x) = … .
Para que cada nueva ingresada no tape la anterior, es conveniente anotarlas con distintos nombres o subíndices - f_1(x), g(X)... -.

Nota:
Se puede tambièn ingresar una ecuación de una o dos variables de cada lado del signo igual - por ejemplo, 2 x + 3 = 5 y + 1 o, de maypr grado, 3 x² = 4 + y + 2 x - para establecer cada uno de las funciones - 2x - 5y = -2 o y = 0.4x + 0.4 o X = (0, 0.4) + λ (-5, -2), según el formato escogido, en el primer caso y en el segundo 3x² - 2x - y = 4 o y = 3x² - 2x - 4 x² o x² = 0.67x + 0.33y + 1.33 -.

Textos asociados a Objetos

Para que el texto de la Solución (cuando la haya única, la del punto de intersección de las representaciones lineales de las ecuaciones del sistema), no se aleje de A, se puede llevar adelante esta maniobra:

1. Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del texto en cuestión y en la pestaña Posición seleccionar el punto 'A de la lista desplegable
2. Anotar Definido[A] en el campo Condición'para Exponer el Objeto de la pestaña Avanzado.

Constructing a Slope Triangle

In this activity you are going to use the following tools and algebraic input. Make sure you know how to use each tool and the syntax for algebraic input before you begin.

	Line Through Two Points
	Perpendicular Line
	Intersect Two Objects
	Polygon
	rise = y(B) - y(A)
	run = x(B) - x(A)
	slope = rise / run
	Text
	Midpoint or Center
	Move

Construction Steps

1. Show the Algebra View, coordinate axes and the grid. Set point capturing to Fixed to Grid and the labeling to All new objects.

2. Create line a through two points A and B.

3. Construct a perpendicular line b to the y-axis through point A.

4. Construct a perpendicular line c to the x-axis through point B.

5. Intersect perpendicular lines b and c to get intersection point C.

Aviso: You might want to hide the perpendicular lines.

6. Create polygon ACB and hide the labels of the sides.

7. Calculate the rise: rise = y(B) - y(A)

Aviso: y(A) gives you the y-coordinate of point A.

8. Calculate the run: run = x(B) - x(A)

Aviso: x(B) gives you the x-coordinate of point B.

9. Enter the following equation into the input bar to calculate the slope of line a: slope = rise / run

10. Insert dynamic text: rise = and select rise from Objects, run = and select run from Objects, slope = and select slope from Objects

11. Change properties of objects in order to enhance your construction.

Challenge 1: Insert a dynamic text that contains a fraction

Using LaTeX formulas, text can be enhanced to display fractions, square roots, or other mathematical symbols.

1. Activate tool Insert text and click on the Graphics View.
2. Type slope = into the Insert text window’s input bar.
3. Check LaTeX formula and select Roots and Fractions a/b from the dropdown list.
4. Place the cursor within the first set of curly braces and replace a by number rise from the Objects drop-down list.
5. Place the cursor within the second set of curly braces and replace b by number run from the Objects drop-down list.
6. Click OK.

Explorando las Pirámides

A partir de la información que se resume en la siguiente ilustración y en los sitios que tratan los temas correspondientes, es posible construir, a escala, el juego de triángulos que representa escuetamente a cada pirámide para contrastar, no ya sus alturas, las pendientes de sus caras.

Basta con conocer la operatoria básica y el manejo de las siguientes herramientas:

	Inserta Imagen
	Recta que pasa por Dos Puntos.
	Pendiente
	Ángulo
	Nuevo Punto
	Recta Perpendicular
	Intersección]]
	Expone / Oculta Objeto
	Segmento entre Dos Puntos
	Elige y Mueve

Determinar la pendiente de las caras de las Pirámides

A partir de la imagen insertada en la Vista Gráfica, se pueden:

• crear puntos en las posiviones adecuadas
• trazar cada recta que pase por los puntos indicados
• emplear la herramienta necesaria para establecer la pendiente en cada caso
• establecer el ángulo correspondiente a la inclinación de las caras de cada pirámide

Desafío Adicional: Determinar la pendiente de las caras de cada pirámide en términos de porcentaje respecto de alguna de ellas que se tome como referencia.

Nota:
Para quienes completen la propuesta y requieran un reto de profundización, se puede sugerir:

• indagar el tipo de triángulos que se establecen en la escalera NNE de la Pirámide de Kukulkán simulando el cuerpo de una serpiente durante los atardeceres equinocciales, los rayos de luz penetran por la esquina norte de los basamentos de la fachada ONO.

• estudiar el modelo que explica e ilustra este efecto serpenteante desde los siete triángulos isósceles obtudángulos en juego.

Comentario

Quienes quieran validar sus cálculos a escala con los datos con los que efectivamente se cuenta, acaso quieran dirigirse a los enlaces en que se encuentra la información sobre las pirámides comparadas y estudiadas.

• Chichén_Itzá
• Teotihuacan|Pirámide_del_Sol_(Teotihuacan)
• Pirámide_del_Sol
• Kukulkán
• Templo_de_Kukulkán
• Gran_Pirámide_de_Giza