Tutorial:Comandos en las Construcciones
Chiquicientas formas de Trazar un Cuadrado
Para algunas de las posibles construcciones del cuadrado se suelen emplear herramientas como las listadas. Conviene, antes de ponerlas en juego en alguna de las variantes de trazado que se intenten, llegar a dominar su empleo:
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Elige y Mueve |
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Polígono regular |
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Expone / Oculta Objeto |
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Desplaza Vista Gráfica |
Preparativos
- Abrir una Nueva Ventana desde el Menú Archivo
- Establecer, en el Menú Apariencias, la de Geometría.
- Establecer que el Rotulado se aplique a Sólo los Nuevos Puntos en el Menú de Opciones).
Cuadrados Variados con sus Variantes
Es posible construir un cuadrado de muchas y diversas maneras, empezando por...
- la más directa (empleando la herramienta de Polígono regular, indicando un 4 en la caja de diálogo que se despliega tras marcar el par de puntos que determinarán el par de vértices de uno de los lados. Nota: Para un hexágono, habría que ingresar 6 y así según el polígono que se desee
- una interesante es la que apela a uno de los Teoremas de Thales y que se desarrolla en la sección correspondiente,
- las que aparecen en otros tutoriales que se pueden recorrer, como el Cuadradeando
- las que se pueden lograr con las herramienta de transformación (ver ejemplo en esta misma sección).
... a continuación se describe una variante (La de Mileto) asociada al segundo teorema de Thales y en Cuadrileteando, una modalidad con variantes sofisticadas al punto que se incluye un campo de entrada para establecer la longitud del lado.
La de Mileto... Recuerdos ¿escolares?...
Antes de empezar, conviene recordar una propiedad asociada al segundo teorema de Thales que puede rememorarse en acto revisando la aplicación Theorem_Thales.html y/o llevando adelante la siguiente construcción, para la que vale ir alistando estas herramientas:
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Mediatriz |
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Semicircunferencia |
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Punto |
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Polígono |
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Ángulo |
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Elige y Mueve |
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Intersección |
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Punto Medio o Centro |
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Simetría Central |
Rectos Dinámicos
Rectos a la Mileto
Liliana Saidón de Cenro BabbageEstrellas Fraccionadas a Polígonos y...¿Cuadrados?
Se ofrece un escenario creado para establecer construcciones, a partir de una circunferencia en que se gira una fracción de vuelta un segmento de radio para unir los vértices.
El desafío, tras una serie de exploraciones más o menos libres que lleven a encontrar las relaciones causales entre los valores de los deslizadores y el resultado gráfico, sería:
- establecer los distintos valores de la fracción expuesta que permita obtener el dibujo representativo del cuadrado. Sea...
- directamente dado que lo que se evidencia es el dibujo de una figura de cuatro lados, por lo pronto
- indirectamente dado que lo que se evidencia es un dibujo tal que uniendo algunos de los puntos que quedan expuestos con la Herramienta de Polígono lleva a la representación de un cuadrado.
Ver también los Tutoriales Diagonales Cuadradas; Preparaciones Espiraladas y Resolver Problemas Ilustrándolos (de Diseño de Centro Babbage))
Polígonos y Estrellas Fraccionadas
En la figura pueden verse:
- el contenido de la Vista Gráfica del escenario en cuestión para una instancia acorde a los valores asignados a los deslizadores - Numerador y Denominador - que determinan la Fracción de giro de la vuelta para establecer cada vértice sobre la circunferencia
- el resumen del Protocolo de Construcción del escenario creado.
Boceto Estrellado Dinámico
Fracciones Equivalentes y Análisis Discreto
El análisis de los resultados gráficos que se evidencian en el dibujo, relacionados a los valores que se le asignan a los deslizadores, desencadena la necesidad de establecer recursos propios de la matemática discreta que podrían abrir un temario acorde.
Circunscribir desde un Triángulo a un Cuadrilátero
Dicen que, en tanto tres puntos no alineados determinan una circunferencia, todo triángulo puede quedar inscripto certeramente. También afirman que un cuadrilátero, en tanto compuesto por dos triángulos, no siempre podrá ser circunscripto y sólo será, entonces cíclico cuando se cumplan ciertas condiciones. En el caso del cuadrado, no hay dudas al respecto. Quedan en cuestión, entonces, los restantes cuadriláteros que podremos analizar. Empezando, entonces, por un triángulo, pasemos a considerar los siguientes casos.
Empezando por el Triángulo
Para trazar la circunferencia que circuncribe a un |||triangulo, puede usarse exclusivamente la
herramienta específica o el conjunto de las siguiente:
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Polígono |
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Mediatriz |
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Intersección |
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Circunferencia (centro-punto) |
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Elige y Mueve |
Preparativos
Basta con...
- Abrir una Nueva Ventana de GeoGebra
- Seleccionar, en el Menú Apariencias la adecuada - por ejemplo, Geometría.
- Activar, la Barra de Estilo de Vista Gráfica
- Determinar, en el Menú de Opciones respecto del Rotulado, que afecte Sólo a los Nuevos Puntos.
Pasos de Construcción
- Trazar...
- Un
||triángulo cualquiera
- La
||mediatriz de cada uno de sus lados - al menos, de un par de ellos-
- El
||punto de intersección de un par de mediatrices.
Alerta:
No siendo posible emplear esta herramienta para establecer la intersección de las tres mediatrices, es posible encontrar la de sólo un par de ellas o, directamente, indicar el punto que corresponde cuando el puntero se vincule a la lista de objetos que confluyen en tal posición.
- Un
- Una
||circunferencia con centro en el punto de intersección que pase por cualquiera de los vértices del triángulo.
- Una
- Controlar ahora la construcción...
- Sometiendo a los elementos en juego a la prueba de arrastre, de modo tal que en tofos los casos se mantenga circunscripto adecuadamente el triángulo.
Ampliando la Circuncripción
- Considerar...
- sobre qué arco de la circunferencia se podría establecer un cuarto vértice de un cuadrilátero en marcha para que su diagonal resulte uno de los lados del triángulo trazado
- hacer el intento y considerar qué tipos de cuadriláteros se pueden trazar manteniendo la condición de quedar circunscriptos por la circunferencia trazada.
![Bulbgraph.png](/uploads/thumb/6/60/Bulbgraph.png/18px-Bulbgraph.png)
Cuadriláteros Clasificados y ¿Cíclicos?
En el escenario dinámico que se ofrece a continuación es posible explorar e indagar qué relaciones vinculan a los cuadriláteros de distinto tipo con la condición de cíclicos:
Ciclando en Lógicas Implicaciones
En el recíproco escenario dinámico, desarrollado para otro de los talleres de Centro Babbage, se controla recíprocamente, a partir de la condición de cíclico del cuadrado, qué otras variantes de cuadriláteros cumplen condiciones que pueden encontrarse lógicamente vinculadas:
Considerando la Construcción de Tangentes a una Circunferencia
Repasando uno de los métodos para trazar el par de tangentes a una circunferencia desde un punto exterior y teniendo en cuenta que además de las herramientas disponibles se puede apelar a cualquiera de los comandos que aparecen en el listado que se despliega a la derecha de la Barra de Entrada, es posible encontrar una nueva estrategia para la construcción del cuadrado.
Pasos de Construcción
En esta ocasión, en lugar de hacer uso de las herramientas, se realizará la construcción anotando lo necesario en la Barra de Entrada como si de tratara de una situación en que, por algún motivo, no se pudiera contar con el ratón o mouse.
1 | A_p = (0, 0) | Punto A ![]() |
2 | (3, 0) | Punto B_p ![]() |
3 | c = Circunferencia[A_p, B_p] | Circunferencia con centro en A_p que pasa por B_p ![]() |
![Bulbgraph.png](/uploads/thumb/6/60/Bulbgraph.png/18px-Bulbgraph.png)
Desafíos sobre los Objetos
Si se selecciona un objeto, sea en la Vista Gráfica o en la algebraica, con un doble clic, se puede modificar, sea su definición o sus datos usando el teclado y finalizando la operación pulsando la tecla Enter (o Intro en otros teclados).
Los objetos libres y hasta cierto punto algunos de los dependientes que conservan grados de libertad, se pueden desplazar empleando las teclas de flechas.
4 | C_p = (5, 4) | Punto C_p |
5 | d = Semicircunferencia[B_p, C_p] | Semicircunferencia entre B_p y C_p |
6 | E_p = Intersecta[c, d] | Punto E_p de intersección entre la circunferencia y la semicircunferencia |
7 | tan_1 = Semirrecta[C_p, E_p] | Esta es una de las tangentes que desde el punto C_p pasa por el punto E_p de la circunferencia en juego. |
8 | sr = Semirrecta[C_p, A_p] | Esta es la semirrrecta desde el punto exterior al centro de la circunferencia. |
8 | Refleja[tan_1, sr] | Con esta maniobra de reflexión, queda trazada la otra tangente así como el punto de tangencia sobre la circunferencia. |
Construcción Controlada y Mejorada
- Para corroborar, al menos de modo preliminar, que la construcción de sendas tangentes es válida a nivel general, conviene realizar...
- la prueba de arrastre de cada uno de los elementos en juego para verificar que todos mantiene relaciones adecuadas
- Para mejorar el aspecto del boceto, se puede apelar al cambio de propiedades de los objetos a fin establecer...
- con pistas visuales cuáles son los elementos auxiliares y cuáles los que se desea destacar (reservando el punteado para los auxiliares, por ejemplo....)
- empleando el contraste en los colores, grosores de trazo y estilo para mejorar el diseño general
- Para evitar la superabundancia de referencias en la Vista Algebraica, establecer algunos objetos como auxiliares y conservar la opción que fija que no se expongan
- Recurrir a comandos toda vez que esto evite la proliferación de trazados auxiliares con herramientas.
Aviso: Hay opciones de comandos que no están disponibles en forma directa con herramientas o que requieren una secuencia de maniobras que pueden, en cambio, sintetizarse a través del ingreso adecuado en la Barra de Entrada.
- Para aprovechar el mecanismo de esta construcción, basta con establecer...
- sobre la semirrecta que pasa por el centro de la circunferencia desde el punto exterior original, uno que esté a la distancia necesaria como para que conforme, con los radios que unen el centro con los puntos de tangencia, la diagonal del cuadrado que se procura
-
- unir este punto con los respectivos de tangencia y el centro como secuencia de vértices del cuadrado en marcha
Cuadrática Polinomial Deslizada
Si se ingresa en la Barra de Entrada x^2 y se pulsa Enter (o Intro en otros teclados), aparecerá en la Vista Gráfica una función cuadrática. Si se la selecciona, al pulsar las teclas de flecha, podemos notar que se desplaza su representación y se modifica la formulación correspondiente en la Vista Algebraica. Una exploración sistemática permite esclarecer la relación entre estos intentos y sus consecuencias. Se puede registrar, por ejemplo, el efecto de pulsar:
- ↑
- ↓
- ←
- →
- El desafío es establecer cuál es el impacto de cada una de estas maniobras sobre...
- el gráfico
- la fórmula
- Redefinir la función ingresada, con un doble clic sobre su registro en la Vista Gráfica o en la Algebraica, anotando ahora 3 x^2 y reintentando las maniobras previas para re-indagar su efecto.
Hacia la Polinómica Deslizada
Antes de pasar a cambiar el registro algebraico de la representación de la función, pasamos a crear tres deslizadores que harán las veces de coeficientes de la versión polinómica.
1 | a =1 | Crear la variable a = 1 |
2 | Exponer la variable a como un deslizador en la Vista Gráfica. ![]() | |
3 | a x^2 | Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 y pasar al tipo de registro algebraico polinómico. ![]() |
4 | ![]() |
Crear un ![]() |
5 | a x^2 + b x | Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x. ![]() |
6 | ![]() |
Crear un ![]() ![]() |
7 | a x^2 + b x + c | Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x + c. |
8 | a x^2 + b x + c | Arrastrar, desde la Vista Algebraica el registro de la fórmula de la función hacia la Vista Gráfica como para acomodarla bajo cada uno de los deslizadores, tal como se ilustra en la figura. |
9 | a x^2 + b x + c | Llevar adelante las maniobras que permitan establecer las raíces reales en el gráfico (de tener raíces reales la polinómica), el vértice, la tangente en el vértice y en cuadrilátero conformado por estos puntos, tal como se ilustra en la figura. |
10 | a x^2 + b x + c | El desafío es encontrar los valores de los coeficientes de la polinómica de modo tal que el cuadrilátero determinada sea el dibujo representativo del cuadrado. |
Cuadrileteando
Chiquicientos_1
Liliana Saidón de Cenro Babbage
Variante con Transformaciones
Variante de Construcción Dinámica
en:Tutorial:Geometric Constructions & Use of Commands