Tutorial:Input algebrico Comandi base

Suggerimenti e accorgimenti

1. Assegnare un nome a un nuovo oggetto digitando nome = nella barra di inserimento, prima della relativa rappresentazione algebrica.

Esempio: P = (3, 2) crea il punto P.

2. La moltiplicazione viene indicata digitando un asterisco o uno spazio tra i fattori.

Esempio: a*x oppure a x

3. In GeoGebra c'è distinzione tra maiuscole e minuscole Quindi lettere maiuscole e minuscole non hanno lo stesso significato.

• I punti vengono sempre identificati con lettere maiuscole
  Esempio: A = (1, 2)
• I vettori vengono sempre identificati con lettere minuscole
  Esempio: v = (1, 3)
• Segmenti, rette, circonferenze, funzioni… vengono sempre identificati con lettere minuscole.
  Esempio: circonf c: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16
• La variabile x in una funzione e le variabili x e y nell'equazione di una conica devono essere sempre indicate in minuscolo.
  Esempio: f(x) = 3*x + 2

4. Per utilizzare un oggetto all'interno di un'espressione algebrica o di un comando è necessario creare l'oggetto prima di digitarne il nome nella barra di inserimento.

• y = m x + q genera una retta i cui parametri sono i valori già esistenti m e q (ad es. numeri / slider).
• Retta[A, B] crea la retta passante per i punti A e B già esistenti.

5. Confermare un'espressione digitata nella barra di inserimento premendo il tasto Invio .

6. Aprire la finestra della Guida relativa alla barra di inserimento e ai comandi facendo clic su Guida nel menu Guida (oppure premere F1).

7. Messaggi di errore: leggere sempre i messaggi – possono essere un valido aiuto per la risoluzione dei problemi

8. I comandi possono essere digitati o selezionati direttamente dall'elenco a destra della barra di inserimento.

Suggerimento: Se non si conoscono i parametri da indicare nelle parentesi di un comando, digitare interamente il nome del comando e premere il tasto F1 per aprire il GeoGebra Wiki.

9. Completamento automatico dei comandi: Dopo la digitazione delle prime due lettere di un comando nella barra di inserimento, GeoGebra esegue il completamento automatico del nome del comando.

• Se viene visualizzato il comando desiderato, premere il tasto Invio: il cursore verrà posizionato all'interno delle parentesi.
• Se il comando visualizzato non è quello desiderato, continuare la digitazione fino ad ottenere il comando corretto.

Costruire le tangenti ad una circonferenza (Parte 1)

Aprire il foglio di lavoro dinamico Tangenti a una circonferenza. Seguire le istruzioni sul foglio di lavoro, in modo da scoprire come costruire le tangenti ad una circonferenza.

Discussione

• Quali strumenti sono stati utilizzati per ricreare la costruzione?
• Sono stati utilizzati nuovi strumenti nel processo di costruzione suggerito? Se sì, come avete scoperto il funzionamento del nuovo strumento?
• Avete notato la barra degli strumenti visualizzata nell'applet a destra?
• Pensate che i vostri studenti siano in grado di lavorare con un foglio di lavoro dinamico di questo tipo, e scoprire autonomamente i processi di costruzione?

Costruire le tangenti ad una circonferenza (Parte 2)

Cosa fare se il mouse o il touchpad non funzionano?

Supponiamo che il mouse e / o il touchpad smettano di funzionare durante la preparazione dei file di GeoGebra per la lezione successiva. Come è possibile portare a termine il file della costruzione?

GeoGebra consente l'input diretto algebrico e dei comandi, oltre a disporre di strumenti puramente geometrici. Ogni strumento corrisponde a un comando, quindi può essere applicato anche senza usare il mouse.

Note: GeoGebra dispone di più comandi che strumenti geometrici. Quindi non tutti i comandi hanno un corrispondente strumento geometrico.

Prima di tutto

• Aprire una nuova finestra di GeoGebra.
• Mostrare la Vista Algebra e la barra di inserimento, oltre agli assi cartesiani (menu Visualizza)

Processo di costruzione

1	A = (0, 0)	Punto A
2	(3, 0)	Punto B Suggerimento: Se non viene specificato un nome, gli oggetti vengono nominati in ordine alfabetico.
3	c = Circonferenza[A, B]	Circonferenza di centro A, passante per B Suggerimento: La circonferenza è un oggetto dipendente

Note: GeoGebra distingue gli oggetti liberi da quelli dipendenti. Mentre gli oggetti liberi possono essere modificati utilizzando il mouse o la tastiera, gli oggetti dipendenti si adattano alle modifiche degli oggetti da cui dipendono. È dunque irrilevante la creazione di un oggetto tramite mouse o tastiera.

Suggerimento: Attivare il modo Muovi e fare doppio clic su un oggetto nella Vista Algebra in modo da poterne modificare la rappresentazione algebrica tramite la tastiera. Al termine, premere il tasto Invio.

Suggerimento: È possibile utilizzare i tasti freccia per muovere gli oggetti liberi in modo controllato. Attivare il modo Muovi e selezionare l'oggetto (ad es. un punto libero) in una delle due finestre. Premere i tasti freccia su / giù oppure sinistra / destra in modo da muovere l'oggetto nella direzione desiderata.

4	C = (5, 4)	Point C
5	s = Segment[A, C]	Segment AC
6	D = Midpoint[s]	Midpoint D of segment AC
7	d = Circle[D, C]	Circle with center D through point C
8	Intersect[c, d]	Intersection punti E and F of the two circles
9	Line[C, E]	Tangent through punti C and E
10	Line[C, F]	Tangent through punti C and F

Checking and Enhancing the Construction

• Perform the drag-test in order to check if the construction is correct.
• Change properties of objects in order to improve the construction’s appearance (ad es. colors, line thickness, auxiliary objects dashed,…)
• Save the construction.

Discussion

• Did any problems or difficulties occur during the construction steps?
• Which version of the construction (mouse or keyboard) do you prefer and why?
• Why should we use keyboard input if we could also do it using tools?
  Suggerimento: There are commands available that have no equivalent geometric tool.

• Does it matter in which way an object was created? Can it be changed in the Vista Algebra (using the keyboard) as well as in the Vista Grafica (using the mouse)?

Exploring Parameters of a Quadratic Polynomial

In this activity you will explore the impact of parameters on a quadratic polynomial. You will experience how GeoGebra could be integrated into a "traditional" teaching environment and used for active, student-centered learning.

1. Open a new GeoGebra window
2. Type in f(x) = x^2 and hit the Enter key. Which shape does the function graph have? Write down your answer on paper.
3. In Move mode, highlight the polynomial in the Vista Algebra and use the ↑ up and ↓ down arrow keys.
   • How does this impact the graph of the polynomial? Write down your observations.
   • How does this impact the equazione of the polynomial? Write down your observations.
4. Again, in Move mode, highlight the function in the Vista Algebra and use the ← left and → right arrow keys.
   • How does this impact the graph of the polynomial? Write down your observations.
   • How does this impact the equazione of the polynomial? Write down your observations.
5. In Move mode, double click the equazione of the polynomial. Use the keyboard to change the equazione to f(x) = 3 x^2. Use an asterisk * or space in order to enter a multiplication.
   • Describe how the function graph changes.
   • Repeat changing the equazione by typing in different values for the parameter (ad es. 0.5, -2, -0.8, 3). Write down your observations.

Discussion

• Did any problems or difficulties concerning the use of GeoGebra occur?
• How can a setting like this (GeoGebra in combination with instructions on paper) be integrated into a "traditional" teaching environment?
• Do you think it is possible to give such an activity as a homework problem to your students?
• In which way could the dynamic exploration of parameters of a polynomial possibly affect your students’ learning?
• Do you have ideas for other mathematical topics that could be taught in similar learning environment (paper worksheets in combination with computers)?

Using Sliders to Modify Parameters

Let’s try a more dynamic way of exploring the impact of a parameter on a polynomial f(x) = a x^2 by using a slider to modify the parameter value.

Preparation

• Open a new GeoGebra window
• Switch to Perspectives – Algebra & Graphics

Construction Steps

1	a = 1	Create the variable a
2	f(x) = a * x^2	Enter the quadratic polynomial f Suggerimento: Don’t forget to enter an asterisk * or space between a and x^2.

Representing a Number as a Slider

To display number as a slider in the Vista Grafica you need to right click (MacOS: Ctrl-click) the variable in the Vista Algebra and select Show object.

Enhancing the Construction

Let’s create another slider b that controls the constant in the polynomial’s equazione f(x) = a x^2 + b.

3		Create a slider b using the Slider Tool Suggerimento: Activate the tool and click on the Vista Grafica. Use the default settings and click Apply.
4	f(x) = a * x^2 + b	Enter the polynomial f Suggerimento: GeoGebra will overwrite the old function f with the new definition.

Tasks

• Change the parameter value a by moving the point on the slider with the mouse. How does this influence the graph of the polynomial?
• What happens to the graph when the parameter value is (a) greater than 1, (b) between 0 and 1, or (c) negative? Write down your observations.
• Change the parameter value b. How does this influence the graph of the polynomial?

Library of Functions

Apart from polynomials there are different types of functions available in GeoGebra (ad es. trigonometric functions, absolute value function, exponential function). Functions are treated as objects and can be used in combination with geometric constructions.

Task 1: Visualizing absolute values

Open a new GeoGebra window. Make sure the Vista Algebra, barra di inserimento and coordinate axes are shown.

1	f(x) = abs(x)	Enter the absolute value function f
2	g(x) = 3	Enter the constant function g
3		Intersect both functions Suggerimento: You need to intersect the functions twice in order to get both intersection punti.

Suggerimento: You might want to close the Vista Algebra and show the names and values as labels of the objects.

(a) Move the constant function with the mouse or using the arrow keys. The y-coordinate of each intersection point represents the absolute value of the x-coordinate.

(b) Move the absolute value function up and down either using the mouse or the arrow keys. In which way does the function’s equazione change?

(c) How could this construction be used in order to familiarize students with the concept of absolute value?

Suggerimento: The symmetry of the function graph indicates that there are usually two soluzioni for an absolute value problem.

Task 2: Superposition of Sine Waves

Sound waves can be mathematically represented as a combination of sine waves. Every musical tone is composed of several sine waves of the form y(t) = a sin(ω t + φ) . The amplitude a influences the volume of the tone while the angular frequency ω determines the pitch of the tone. The parameter φ is called phase and indicates if the sound wave is shifted in time. If two sine waves interfere, superposition occurs. This means that the sine waves amplify or diminish each other. We can simulate this phenomenon with GeoGebra in order to examine special cases that also occur in nature.

1	f(x) = abs(x)	Create three sliders a_1, ω_1, and φ_1 Suggerimento: a_1 produces an index. You can select the Greek letters from the menu next to the text field name in the Slider dialog window.
2	g(x)= a_1 sin(ω_1 x + φ_1)	Again, you can select the Greek letters from a menu next to the barra di inserimento.

(a) Examine the impact of the parameters on the graph of the sine functions by changing the values of the sliders.

3		Create three sliders a_2, ω_2, and φ_2 Suggerimento: Sliders can only be moved when the Slider Tool is activated.
4	h(x)= a_2 sin(ω_2 x + φ_2)	Enter another sine function h
5	sum(x) = g(x) + h(x)	Create the sum of both functions

(b) Change the color of the three functions so they are easier to identify.

(c) Set a_1 = 1, ω_1 = 1, and φ_1 = 0. For which values of a2, ω2, and φ2 does the sum have maximal amplitude?

Suggerimento: In this case the resulting tone has the maximal volume.

(d) For which values of a_2, ω_2, and φ_2 do the two functions cancel each other?

Suggerimento: In this case no tone can be heard any more.