Différences entre versions de « Commande ItérationListe »
(2 versions intermédiaires par le même utilisateur non affichées) | |||
Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
− | <noinclude>{{Manual Page|version= | + | <noinclude>{{Manual Page|version=6.0}}</noinclude>{{command|list|ItérationListe}} |
− | ;ItérationListe | + | ;ItérationListe( <Fonction f>, <Valeur départ <math>x_0</math>>, <Nombre n> ): Liste ''L'' de longueur ''n+1'' dont les éléments sont les images itératives par ''f'' de la valeur <math>x_0</math>. |
− | : {{ | + | : {{Exemples| 1=<br/> |
+ | ::* Après avoir défini <code>f(x) = x^2</code><br/> la commande <code>ItérationListe(f, 3, 2)</code> retourne la liste ''L = {3, 9, 81}'' (c'est-à-dire ''{3,3<sup>2</sup>,(3<sup>2</sup>)<sup>2</sup>}'').<br/> | ||
+ | ::* on peut utiliser cette commande pour définir une suite récurrente où ''a<sub>k+1</sub>'' dépend de ''a<sub>k</sub>'' et ''k''. À partir d'une fonction ''f'' de deux variables avec comme Valeur départ une liste de deux nombres''{s, a<sub>s</sub>}'', la liste créée sera celle des valeurs ''a<sub>s</sub>'', ''a<sub>s+1</sub>'' ,....,''a<sub>s+n</sub>'' dans laquelle pour ''k>s'' on a ''a<sub>k+1</sub>=f(k, a<sub>k</sub>)''.<br/> | ||
+ | :::Après avoir défini <code>f(k,a)=(k+1)*a</code>, qui correspond à la définition récursive de factorielle. La commande <code>ItérationListe(f, {3, 6}, 4)</code> retournera la liste ''{6, 24, 120, 720, 5040}'' | ||
+ | }} | ||
− | ;ItérationListe | + | |
+ | |||
+ | ;ItérationListe( <Expression>, <Nom Variable>, ..., <Liste Valeurs départ>, <Nombre d'itérations> ) | ||
: Construit la liste de longueur ''n+1'' dont les éléments sont les images itératives de l'expression en partant de la valeur de départ. Les variables de l' expression sont remplacées par les derniers éléments de la liste à chaque itération. Il doit y avoir au moins autant de valeurs de départ qu'il y a de variables, sinon le résultat est <i>non défini</i>. | : Construit la liste de longueur ''n+1'' dont les éléments sont les images itératives de l'expression en partant de la valeur de départ. Les variables de l' expression sont remplacées par les derniers éléments de la liste à chaque itération. Il doit y avoir au moins autant de valeurs de départ qu'il y a de variables, sinon le résultat est <i>non défini</i>. | ||
− | {{Exemples|1=<br/>Soit A et B deux points. Alors <code>ItérationListe | + | {{Exemples|1=<br/>Soit A et B deux points. Alors <code>ItérationListe(MilieuCentre(A, C), C,{B},3)</code> calcule |
*C<sub>0</sub>=B ; | *C<sub>0</sub>=B ; | ||
− | *C<sub>1</sub>=MilieuCentre | + | *C<sub>1</sub>=MilieuCentre(A, C<sub>0</sub>) ; |
− | *C<sub>2</sub>=MilieuCentre | + | *C<sub>2</sub>=MilieuCentre(A, C<sub>1</sub>) ; |
− | *C<sub>3</sub>=MilieuCentre | + | *C<sub>3</sub>=MilieuCentre(A, C<sub>2</sub>) |
et retourne {C<sub>0</sub>, C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub>}. <br/>Ainsi pour <code>A=(0,0)</code> et <code>B=(8,0)</code> le résultat sera {(8,0), (4,0), (2,0), (1,0)}.}} | et retourne {C<sub>0</sub>, C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub>}. <br/>Ainsi pour <code>A=(0,0)</code> et <code>B=(8,0)</code> le résultat sera {(8,0), (4,0), (2,0), (1,0)}.}} | ||
Ligne 26 : | Ligne 32 : | ||
*<u>Suites arithmétiques a(n+1) = a(n) + r</u> | *<u>Suites arithmétiques a(n+1) = a(n) + r</u> | ||
avec par exemple a(0) = 1 et r = 3 | avec par exemple a(0) = 1 et r = 3 | ||
− | <code>ItérationListe | + | <code>ItérationListe(x+3, 1, 4)</code> retourne ''{1, 4, 7, 10, 13}'' <br/> |
*<u>Suites géométriques g(n+1) = q x g(n)</u> | *<u>Suites géométriques g(n+1) = q x g(n)</u> | ||
avec par exemple g(0) = 1 et q = 3 | avec par exemple g(0) = 1 et q = 3 | ||
− | <code>ItérationListe | + | <code>ItérationListe(3x, 1, 4)</code> retourne ''{1, 3, 9, 27, 81} '' <br/> |
* <u>Suite de Fibonnacci : </u> | * <u>Suite de Fibonnacci : </u> | ||
− | Soit f_0 et f_1 deux nombres. <code>ItérationListe | + | Soit f_0 et f_1 deux nombres. <code>ItérationListe(a+b, a,b,{f_0,f_1},5)</code> affecte aux 2 premiers éléments du résultat les deux valeurs de départ. <br/>Ensuite les valeurs sont calculées comme suit : |
*f<sub>2</sub>=f<sub>0</sub>+f<sub>1</sub> ; | *f<sub>2</sub>=f<sub>0</sub>+f<sub>1</sub> ; | ||
*f<sub>3</sub>=f<sub>1</sub>+f<sub>2</sub> ; | *f<sub>3</sub>=f<sub>1</sub>+f<sub>2</sub> ; | ||
Ligne 39 : | Ligne 45 : | ||
et retourne {f<sub>0</sub>, f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, f<sub>5</sub> }. <br/>Ainsi pour <code>f_0=1</code> et <code>f_1=1</code> le résultat sera {1,1,2,3,5,8}. | et retourne {f<sub>0</sub>, f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, f<sub>5</sub> }. <br/>Ainsi pour <code>f_0=1</code> et <code>f_1=1</code> le résultat sera {1,1,2,3,5,8}. | ||
*<u> Suites de Collatz ou Syracuse :</u> | *<u> Suites de Collatz ou Syracuse :</u> | ||
− | <code>ItérationListe | + | <code>ItérationListe(Si(floor(x / 2) ≟ x / 2, x / 2, 3x + 1), 14, 8)</code> retourne ''{14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13} '' les ''8'' premiers termes de cette suite de premier terme ''14'' |
*<u>Suites récurrentes avec présence de ''n'' dans la formule : </u> | *<u>Suites récurrentes avec présence de ''n'' dans la formule : </u> | ||
− | + | 🦁Soit la suite {7, 71, 712, 7123, 71234, 712345}, une interprétation : <br/> | |
le premier terme, u<sub>0</sub>, est 7, <br/> | le premier terme, u<sub>0</sub>, est 7, <br/> | ||
le suivant, u<sub>1</sub>, 10 fois 7 augmenté de 1, <br/> | le suivant, u<sub>1</sub>, 10 fois 7 augmenté de 1, <br/> | ||
le suivant du suivant, u<sub>2</sub>, 10 fois 71 augmenté de 2 .../...<br/> | le suivant du suivant, u<sub>2</sub>, 10 fois 71 augmenté de 2 .../...<br/> | ||
− | on va '''définir''' une fonction de 2 variables f(n,x) (<u>'''le ''n'' étant la 1ère'''</u>) <code>f(n, x) = 10x + n </code>et la validation de <code>ItérationListe | + | on va '''définir''' une fonction de 2 variables f(n,x) (<u>'''le ''n'' étant la 1ère'''</u>) <code>f(n, x) = 10x + n </code>et la validation de <code>ItérationListe(f, {1, 7}, 5)</code> exécutant les itérations de la fonction ''f'' à partir de'' n''='''1''' pour une valeur d'image de départ de '''7''', retournera la liste des 6 nombres présentés. |
}} | }} | ||
{{CASok}} | {{CASok}} |
Version actuelle datée du 26 octobre 2017 à 12:10
- ItérationListe( <Fonction f>, <Valeur départ x_0>, <Nombre n> )
- Liste L de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives par f de la valeur x_0.
- Exemples :
- Après avoir défini
f(x) = x^2
la commandeItérationListe(f, 3, 2)
retourne la liste L = {3, 9, 81} (c'est-à-dire {3,32,(32)2}). - on peut utiliser cette commande pour définir une suite récurrente où ak+1 dépend de ak et k. À partir d'une fonction f de deux variables avec comme Valeur départ une liste de deux nombres{s, as}, la liste créée sera celle des valeurs as, as+1 ,....,as+n dans laquelle pour k>s on a ak+1=f(k, ak).
- Après avoir défini
f(k,a)=(k+1)*a
, qui correspond à la définition récursive de factorielle. La commandeItérationListe(f, {3, 6}, 4)
retournera la liste {6, 24, 120, 720, 5040}
- Après avoir défini
- ItérationListe( <Expression>, <Nom Variable>, ..., <Liste Valeurs départ>, <Nombre d'itérations> )
- Construit la liste de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives de l'expression en partant de la valeur de départ. Les variables de l' expression sont remplacées par les derniers éléments de la liste à chaque itération. Il doit y avoir au moins autant de valeurs de départ qu'il y a de variables, sinon le résultat est non défini.
Soit A et B deux points. Alors
ItérationListe(MilieuCentre(A, C), C,{B},3)
calcule
- C0=B ;
- C1=MilieuCentre(A, C0) ;
- C2=MilieuCentre(A, C1) ;
- C3=MilieuCentre(A, C2)
Ainsi pour
A=(0,0)
et B=(8,0)
le résultat sera {(8,0), (4,0), (2,0), (1,0)}.
Saisie : Voir aussi la commande : Itération
- Suites arithmétiques a(n+1) = a(n) + r
avec par exemple a(0) = 1 et r = 3
ItérationListe(x+3, 1, 4)
retourne {1, 4, 7, 10, 13}
- Suites géométriques g(n+1) = q x g(n)
avec par exemple g(0) = 1 et q = 3
ItérationListe(3x, 1, 4)
retourne {1, 3, 9, 27, 81}
- Suite de Fibonnacci :
Soit f_0 et f_1 deux nombres. ItérationListe(a+b, a,b,{f_0,f_1},5)
affecte aux 2 premiers éléments du résultat les deux valeurs de départ.
Ensuite les valeurs sont calculées comme suit :
- f2=f0+f1 ;
- f3=f1+f2 ;
- f4=f2+f3 ;
- f5=f3+f4.
et retourne {f0, f1, f2, f3, f4, f5 }.
Ainsi pour f_0=1
et f_1=1
le résultat sera {1,1,2,3,5,8}.
- Suites de Collatz ou Syracuse :
ItérationListe(Si(floor(x / 2) ≟ x / 2, x / 2, 3x + 1), 14, 8)
retourne {14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13} les 8 premiers termes de cette suite de premier terme 14
- Suites récurrentes avec présence de n dans la formule :
🦁Soit la suite {7, 71, 712, 7123, 71234, 712345}, une interprétation :
le premier terme, u0, est 7,
le suivant, u1, 10 fois 7 augmenté de 1,
le suivant du suivant, u2, 10 fois 71 augmenté de 2 .../...
f(n, x) = 10x + n
et la validation de ItérationListe(f, {1, 7}, 5)
exécutant les itérations de la fonction f à partir de n=1 pour une valeur d'image de départ de 7, retournera la liste des 6 nombres présentés.
____________________________________________________________
Cette commande fonctionne à l'identique dans la fenêtre Calcul formel