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− | Algunos de los objetos mencionados (rectas, [[#Secciones Cónicas|secciones cónicas]], arcos, polígonos, inecuaciones de variables simples, intervalos) así como las listas de puntos o los lugares geométricos suelen designarse ''"recorridos"''.<br>Puede definirse un [[:Categoría: | + | Algunos de los objetos mencionados (rectas, [[:Categoría:Objetos_Geométricos#Secciones Cónicas|secciones cónicas]], arcos, polígonos, inecuaciones de variables simples, intervalos) así como las listas de puntos o los lugares geométricos suelen designarse ''"recorridos"''.<br>Puede definirse un [[:Categoría:Versión_Previa#Puntos|punto]] ''sobre'' un recorrido usando el comando [[Comentarios:Comando_Punto|'''Punto''']]. Cada punto en un recorrido queda asociado a un parámetro que lo vincula al trayecto con un número que va de 0 a 1. El comando [[Comentarios:Comando_ParámetroSobreRecorrido|ParámetroRecorrido]] permite acceder a tal parámetro. |
− | {{Note|1=Una [[:Categoría:Comandos de Listas#Listas|lista]] que contenga recorridos resulta, a su vez, también un recorrido por el que puede desplazarse un punto - como en el listado de dos elipses que conforma un ''circuito'' del punto '''<code>P = Punto( {Cónica(T, U, V, W, Z), Refleja( Cónica(T, U, V, W, Z), W) })</code>''' - cuyo [[ | + | {{Note|1=Una [[:Categoría:Comandos de Listas#Listas|lista]] que contenga recorridos resulta, a su vez, también un recorrido por el que puede desplazarse un punto - como en el listado de dos elipses que conforma un ''circuito'' del punto '''<code>P = Punto( {Cónica(T, U, V, W, Z), Refleja( Cónica(T, U, V, W, Z), W) })</code>''' - cuyo [[Comentarios:Comando_ParámetroSobreRecorrido|parámetro]] se puede averigar -'''<code>[[Comentarios:Comando_ParámetroSobreRecorrido|ParámetroRecorrido(P) ]]</code>'''-.}} |
===Trayectos Compuestos=== | ===Trayectos Compuestos=== | ||
Se puede ubicar un punto en un ''recorrido compuesto'' que, en tal sentido, da origen a un particular tipo de objeto, el de los '''Pasos Compuestos'''. | Se puede ubicar un punto en un ''recorrido compuesto'' que, en tal sentido, da origen a un particular tipo de objeto, el de los '''Pasos Compuestos'''. | ||
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*[[Comentarios:Comando_Punto|Punto({Segmento(D, C), Semicircunferencia(B, C), Segmento(B, A), Semicircunferencia(D, A)})]] | *[[Comentarios:Comando_Punto|Punto({Segmento(D, C), Semicircunferencia(B, C), Segmento(B, A), Semicircunferencia(D, A)})]] | ||
'''[[Archivo:Pato Paso Complejo .png|thumb|center]]''' | '''[[Archivo:Pato Paso Complejo .png|thumb|center]]''' | ||
− | *Incluso un tramo de función puede ser parte de ese trayecto como en [[Comentarios:Comando_Punto|Punto]]({ [[ | + | *Incluso un tramo de función puede ser parte de ese trayecto como en [[Comentarios:Comando_Punto|Punto]]({ [[Referencia:Herramienta de Figura a Mano Alzada|Función]]'''('''[[:Categoría:Comandos_de_Estadística#Comando_AjustePolinómico|AjustePolinómico]]({E, F, G, H}, -1 + [[Comando CuentaSi|CuentaSi]](x ≟ x, {E, F, G, H}]], x(D), x(C)), [[Comando Semicircunferencia|Semicircunferencia]](B, C),[[Comentarios:Comando Segmento|Segmento]](B, A), [[Comando Semicircunferencia|Semicircunferencia]](D, A)}) |
==Regiones== | ==Regiones== | ||
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*una ''región''. Sea el área de un polígono, de un sector asociado a un arco o delimitada por una cónica; sea la determinada por inecuaciones de dos variables | *una ''región''. Sea el área de un polígono, de un sector asociado a un arco o delimitada por una cónica; sea la determinada por inecuaciones de dos variables | ||
*un [[Comentarios:Herramientas_de_Trazados_Especiales#Lugar_Geométrico|''lugar geométrico'']] o una superficie identificable | *un [[Comentarios:Herramientas_de_Trazados_Especiales#Lugar_Geométrico|''lugar geométrico'']] o una superficie identificable | ||
− | A tal efecto, se puede recurrir al comando [[ | + | A tal efecto, se puede recurrir al comando [[Comentarios:Comando_GuiónActualiza|PuntoEn]] o a la herramienta [[Archivo:Mode pointonobject.png|link=Comentarios:Herramienta de Nuevo Punto]] [[Comentarios:Herramienta de Nuevo Punto|Punto en Objeto]]. |
{{OA|[[Image: Mode attachdetachpoint.png|link=Comentarios:Herramienta_de_Adosa_/_Libera_Punto]] [[Comentarios:Herramienta_de_Adosa_/_Libera_Punto|<small>Punto (des)vinculado</small>]]}}<hr> | {{OA|[[Image: Mode attachdetachpoint.png|link=Comentarios:Herramienta_de_Adosa_/_Libera_Punto]] [[Comentarios:Herramienta_de_Adosa_/_Libera_Punto|<small>Punto (des)vinculado</small>]]}}<hr> | ||
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===Operando y Condicionando=== | ===Operando y Condicionando=== | ||
Existen comandos para obtener, por ejemplo, la [[Comentarios:Comando Integral|integral]] y [[Comando Derivada|derivada]] de una función. | Existen comandos para obtener, por ejemplo, la [[Comentarios:Comando Integral|integral]] y [[Comando Derivada|derivada]] de una función. | ||
− | {{OJo|1=Los comandos como [[ | + | {{OJo|1=Los comandos como [[Comentarios:Comando_Si|Si]] permiten establecer [[Comentarios:Comando_Si#Funciones Condicionales|Funciones Condicionales]] o definidas por tramos.}} |
También se pueden emplear <nowiki>f'(x)</nowiki> o <nowiki>f''(x)</nowiki> para las derivadas de una función f(x) (previamente definida). | También se pueden emplear <nowiki>f'(x)</nowiki> o <nowiki>f''(x)</nowiki> para las derivadas de una función f(x) (previamente definida). | ||
{{example|1=Tras definirse la ''f'' como <code>f(x) = 3 x^3 – x^2</code>, puede ingresarse <code>g(x) = cos(f' (x + 2))</code> para obtener la función ''g''.}} | {{example|1=Tras definirse la ''f'' como <code>f(x) = 3 x^3 – x^2</code>, puede ingresarse <code>g(x) = cos(f' (x + 2))</code> para obtener la función ''g''.}} | ||
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===Transformando=== | ===Transformando=== | ||
Se pueden aplicar [[:Categoría:Comandos de Transformación|comandos de Transformación]] a una función. Pero en la mayor parte de los casos, el resultado ya no es una función sino una curva. | Se pueden aplicar [[:Categoría:Comandos de Transformación|comandos de Transformación]] a una función. Pero en la mayor parte de los casos, el resultado ya no es una función sino una curva. | ||
− | {{OJo|1=<br>Las funciones pueden ser [[Manual:Comando_Traslada|'''''trasladadas''''']] por un [[:Categoría:Comandos_de_Vectores_y_Matrices#Vectores|vector]].<br>Sea empleando el correspondiente comando - [[Manual:Comando_Traslada|Traslada]] - o, de tratarse de una función [[ | + | {{OJo|1=<br>Las funciones pueden ser [[Manual:Comando_Traslada|'''''trasladadas''''']] por un [[:Categoría:Comandos_de_Vectores_y_Matrices#Vectores|vector]].<br>Sea empleando el correspondiente comando - [[Manual:Comando_Traslada|Traslada]] - o, de tratarse de una función [[:Categoría:Modalidad_del_Objeto|libre]], directamente desplazándola con el ''mouse'' o ratón con la [[Desplazamientos|herramienta]] [[Image:Mode move.svg|link=Comentarios:Herramienta_de_Elige_y_Mueve|32px]] [[Comentarios:Herramienta_de_Elige_y_Mueve|Elige y Mueve]].}} |
==Función Limitada a un Intervalo== | ==Función Limitada a un Intervalo== | ||
− | Se limita una función a un intervalo [a, b], con el comando [[ | + | Se limita una función a un intervalo [a, b], con el comando [[Comentarios:Comando_Si|'''Si''']]. |
{{example|1=<br><code>Si(x≥3 ∧ x≤5,x^2)</code> definiría una restricción de <math> f : x \mapsto x^2</math> al intervalo [3,5].<br>}} | {{example|1=<br><code>Si(x≥3 ∧ x≤5,x^2)</code> definiría una restricción de <math> f : x \mapsto x^2</math> al intervalo [3,5].<br>}} | ||
{{OJo|1=<br><code>Función(x^2,3,5)</code> define a la función ''x<sup>2</sup>'' en todo el rango de valores de ''x'' pero solo la expone en el intervalo [3, 5] mientras <code>Si(3<=x<=5, x^2)</code> directamente la restringe a tal intervalo dado que queda definida solo en el tramo [3, 5]<br>}} | {{OJo|1=<br><code>Función(x^2,3,5)</code> define a la función ''x<sup>2</sup>'' en todo el rango de valores de ''x'' pero solo la expone en el intervalo [3, 5] mientras <code>Si(3<=x<=5, x^2)</code> directamente la restringe a tal intervalo dado que queda definida solo en el tramo [3, 5]<br>}} | ||
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===Rectamente=== | ===Rectamente=== | ||
Una recta se ingresa como una ecuación lineal en ''x'' e ''y'' o en forma paramétrica en la [[Manual:Barra de Entrada|Barra de Entrada]]. En ambos casos, se pueden emplear en tal ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores). | Una recta se ingresa como una ecuación lineal en ''x'' e ''y'' o en forma paramétrica en la [[Manual:Barra de Entrada|Barra de Entrada]]. En ambos casos, se pueden emplear en tal ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores). | ||
− | {{Note|1=El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada seguidos por {{KeyCode|<code>''':'''</code>}} | + | {{Note|1=El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada seguidos por {{KeyCode|<code>''':'''</code>}} (los dos puntos).}} |
{{Examples|1=<br> | {{Examples|1=<br> | ||
*Puede definirse una recta ''g'' ingresando '''<code>g: 3x + 4y = 2</code>''' como ecuación lineal. | *Puede definirse una recta ''g'' ingresando '''<code>g: 3x + 4y = 2</code>''' como ecuación lineal. |
Revisión actual del 21:31 12 ago 2020
Objetos Geométricos de cada Tipo
GeoGebra trabaja con diversos tipos de objetos geométricos:
- Puntos y Vectores
- Líneas y Ejes
- Cónicas y Arcos
- Lugares Geométricos (locus)
- Funciones
- Curvas
- Desigualdades e Inecuaciones
- Intervalos
Recorridos
Algunos de los objetos mencionados (rectas, secciones cónicas, arcos, polígonos, inecuaciones de variables simples, intervalos) así como las listas de puntos o los lugares geométricos suelen designarse "recorridos".
Puede definirse un punto sobre un recorrido usando el comando Punto. Cada punto en un recorrido queda asociado a un parámetro que lo vincula al trayecto con un número que va de 0 a 1. El comando ParámetroRecorrido permite acceder a tal parámetro.
P = Punto( {Cónica(T, U, V, W, Z), Refleja( Cónica(T, U, V, W, Z), W) })
- cuyo parámetro se puede averigar -ParámetroRecorrido(P)
-.Trayectos Compuestos
Se puede ubicar un punto en un recorrido compuesto que, en tal sentido, da origen a un particular tipo de objeto, el de los Pasos Compuestos. Algunos casos de un punto en ese tipo de objeto serían, por ejemplo...
- Punto({Segmento(B, A), Segmento(B, C), Segmento(B, D), (1,1), Circunferencia(A,B), x y = 1}) o
- Punto({Segmento(D, C), Semicircunferencia(B, C), Segmento(B, A), Semicircunferencia(D, A)})
- Incluso un tramo de función puede ser parte de ese trayecto como en Punto({ Función(AjustePolinómico({E, F, G, H}, -1 + CuentaSi(x ≟ x, {E, F, G, H}]], x(D), x(C)), Semicircunferencia(B, C),Segmento(B, A), Semicircunferencia(D, A)})
Regiones
Se puede restringir un punto a...
- una región. Sea el área de un polígono, de un sector asociado a un arco o delimitada por una cónica; sea la determinada por inecuaciones de dos variables
- un lugar geométrico o una superficie identificable
A tal efecto, se puede recurrir al comando PuntoEn o a la herramienta Punto en Objeto.
Funciones
Para ingresar una función se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores) y otras funciones.
- Función f:
f(x) = 3 x^3 – x^2
- Función g:
g(x) = tan(f(x))
- Función sin nombre:
sin(3 x) + tan(x)
- Función de exponente racional (siendo el conjunto de definición IR ):
h(x) = x^(1/5)
- Función de exponente real (el conjunto de definición, más restringido respecto al previo, será el de R+ :
p(x) = x^(0.2)
sin()
, cos()
, tan()
- y otras trigonométricas.Un breve video tutorial relativo a funciones de exponentes racionales y reales, se presenta en italiano |
Funciones Trascendentales
Es posible operar con las más usuales funciones trascendentales: las exponenciales y las logarítmicas.
f(x) = ex (exponencial)
f(x) = log x
Operando y Condicionando
Existen comandos para obtener, por ejemplo, la integral y derivada de una función.
También se pueden emplear f'(x) o f''(x) para las derivadas de una función f(x) (previamente definida).
f(x) = 3 x^3 – x^2
, puede ingresarse g(x) = cos(f' (x + 2))
para obtener la función g.Transformando
Se pueden aplicar comandos de Transformación a una función. Pero en la mayor parte de los casos, el resultado ya no es una función sino una curva.
Las funciones pueden ser trasladadas por un vector.
Sea empleando el correspondiente comando - Traslada - o, de tratarse de una función libre, directamente desplazándola con el mouse o ratón con la herramienta Elige y Mueve.
Función Limitada a un Intervalo
Se limita una función a un intervalo [a, b], con el comando Si.
Si(x≥3 ∧ x≤5,x^2)
definiría una restricción de f : x \mapsto x^2 al intervalo [3,5].Función(x^2,3,5)
define a la función x2 en todo el rango de valores de x pero solo la expone en el intervalo [3, 5] mientras Si(3<=x<=5, x^2)
directamente la restringe a tal intervalo dado que queda definida solo en el tramo [3, 5]En italiano, este breve video tutorial trata sobre la restricción del dominio de las funciones y las definidas por tramos. |
Ajustes que llevan a Funciones desde Datos "empíricos"
Desde un conjunto de puntos, con el comando de Ajuste adecuado, se llega a un función que puede resultar más o menos pertinente en cada caso.
El boceto al pie ilustra animadamente la función resultante del ajuste vinculado a la lista de puntos que conforman cada tope del sucesivo perfil de escalón de una peculiar escalera.
Escalera en que lo que se mantiene es el área de cada perfil de sus escalones al valor que fija el deslizador. De este modo, cuando aumenta la altura disminuye la base y viceversa. Como las bases van disminuyendo con un delta de x unitario, las alturas de cada escalón se establece de forma tal que la condición se mantenga.
Puede apreciarse que el cociente incremental en esta función resultante depende inversa, cuadrática e intensamente de la base de cada escalón. De modo que cuando el área es, por ejemplo, 18 unidades, al pasar de tres unidades de longitud a dos, se incrementa en un 50% (de 6 a 9) la de la altura y al pasar a una, se duplica (de 9 a 18). Es mucho menos dramática la razón de cambio en zonas de base mayores.
En el boceto se evidencia, además, que cuando pueden seleccionarse cinco de los puntos en juego, también es posible trazar la sección cónica correspondiente a la hipérbola correspondiente.
La secciones cónicas son objetos geométricos no susceptibles al mismo tratamiento de las funciones aunque, como en este caso, coincida el trazado de sus curvas.
Líneas y Ejes
Rectas
Rectamente
Una recta se ingresa como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica en la Barra de Entrada. En ambos casos, se pueden emplear en tal ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores).
- Puede definirse una recta g ingresando
g: 3x + 4y = 2
como ecuación lineal. - Debe establecerse un parámetro t (como t = 3) antes de ingresar la recta g en formato paramétrico
g: X = (-5, 5) + t (4, -3)
- En primer lugar, debe darse valor a los parámetros m y b - m = 2 y b = -1 en este caso - antes de ingresar la ecuación
g: y = m x + b
para obtener una recta g según tal formato de tal ecuación.
Reciprocidad
Dada una recta cuya ecuación toma la forma d: ax + by + c = 0 es posible obtener los coeficientes con la siguiente sintaxis x(d), y(d) y z(d).
d: 3x + 2y - 2 = 0
:
x(d)
da 3 :y(d)
da 2 yz(d)
da -2.
Ejes
A sendos ejes de coordenadas se accede con los términos correspondientes a través de EjeX y EjeY respectivamente.
EjeX / EjeY --- Abscisas y Ordenadas de un Punto
Para mencionar a uno u otro de los ejes, deben emplearse cada uno de los correspondientes términos:
EjeX
Corresponde a las abscisas.
EjeY
Corresponde a las ordenadas.
Sobre los Ejes
Se hace referencia a los ejes y a las coordenadas con diversos propósitos: asociados al recorrido en tanto ámbito en el que ubicar puntos, como ilustran los primeros dos ejemplos a continuación, o para vincularlos a la creación de otros objetos, como se aprecia en los siguientes.
A = Punto(EjeX)
B = Punto(EjeY)
Perpendicular(A, EjeX)
construye la recta perpendicular al eje x que pasa por el punto A.Perpendicular(B, EjeY)
construye la recta perpendicular al eje y que pasa por el punto BPara referir a la abscisa u ordenada de un punto, se requieren las funciones x() y y(), incluidos en los siguientes ejemplos.
C = (x(A), y(B) )
P_i = (x(Interseca( Recta(A, B) , EjeY) ), y(B) )
crea el punto P_i con las coordenadas indicadas.Valores de los Parámetros de una Recta
A partir de ka recta a: 2.2 x + 3.3 y = 4.4
se puede obtener el valor de cada parámetro según se lista:
x(a)
brinda el valor 2.2y(a)
brinda el valor 3.3z(a)
brinda el valor -4.4 (porque GeoGebra almacena la ecuación de la recta como2.2 x + 3.3 y - 4.4 = 0
)
Curvas
GeoGebra, para la representación gráfica, opera con distinto tipo de curvas: paramétricas o implícitas o polares.
Curvas Paramétricas
De formulación a(t) = (f(t), g(t)) siendo t el parámetro real dentro de cierto rango, pueden crearse usando el comando Curva.
- Estas curvas pueden...
- vincularse a comandos como Tangente o Punto y, desde GeoGebra 4.2, a IntersecaNota: También pueden emplearse ciertos comandos de funciones y de cálculo, como, entre otros: Derivada, Longitud, Curvatura, VectorCurvatura y CírculoOsculador.
- complementarse con empleo de herramientas como Punto o la que traza tangentes por un punto de la curva, entre otras
- asociarse a expresiones aritméticas o funciones predefinidas.
Por ejemplo,c(3)
brinda el punto de posición paramétrica 3 en la curva c. - definirse a partir de valores variables como los de los deslizadores. Como, por ejemplo, al tratar con:
Curva( <Expresión>, <Expresión>, <Parámetro>, <Valorinicial>, <Valorfinal> )
... tanto el valor inicial como el final pueden estar determinados por deslizadores o por variables dinámicas como la abscisa de un punto deslizable (como x(A), por ejemplo).
- Nota: El boceto al pie ilustra animadamente el modo en que se emplea un deslizador para determinar la curva desplegada según se aprecia.
Como no siempre es posible idear qué curvas paramétricas pasarían por ciertos puntos dados para establecerlas, es conveniente y mejor en esos casos, recurrir a otras estrategias como...:
- intentar un comando de ajuste polinómico o exponencial u otros
- operar para encontrar la función que los contenga con tanteos dinámicos.
Curvas Implícitas
Se pueden ingresar, directamente desde la Barra de Entrada, a partir de polinómicas en sendas variables, x e y.
x^4 + y^3 = 2x*y
- CurvaImplícita
- en algunos casos, como ilustran sus ejemplos, EcuaciónLugar
- Apelando a la herramienta Punto o al comando Punto, puede ubicarse uno en la curva y desplazarlo con el ratón o mouse.
Alerta: En algunos casos, sin embargo, el punto puede no resultar dependiente de la curva y operará, curiosamente, como si fuera libre.
- Ver también el comando CurvaImplícita
GeoGebra también admite el tipo de curvas Polares.
Curvas Polares
Para representar este tipo de curvas, se admiten diversos tipos de sintaxis tal como ilustran los ejemplos a continuación.
ρ=sin(2 θ)
, o f(t)=(sin(2*t); t)
, o (sin(2*t); t)
, o f(t)=(sin(2*t); t), 0< t < 2 pi
, o (sin(2*t); t), 0 < t < 2 pi
, o Curva((sin(2*t); t), t, 0, 2pi)
.Cabe recordar que las curvas paramétricas también pueden ingresarse directamente desde la entrada . Por ejemplo,
(t^2,t^3)
Secciones Cónicas
Sobre Cónicas
Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y. Se pueden emplear en la ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores).
Tipos de ecuaciones
En general, para todas: a x² + b x y +c y² + d x + e y = f
En particular:
- Para una parábola :
- y² = ou x² =
- y=a(x-x0)² +y0
- 4p(y - y0) = (x - x0)²
- Para una elipse o una hipérbole:
- (x-m)²/a² ± (y-n)²/b²=1
En ciertos casos, es posible mantener el formato empleado para crear la cónica, desde la Entrada, a partir de la Vista Algebraica, en el Campo de Ecuación.
Ejemplos
Sección Cónica | Entrada |
---|---|
Elipse eli | el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 |
Hipérbola hip | hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 |
Parábola par | par: y^2 = 4 x |
Circunferencia k1 | k1: x^2 + y^2 = 25 |
Circunferencia k2 | k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25 |
eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2
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