Tutorial:Hacia el Algebra desde la Barra
Dando Entrada a Objetos de Definición Algebraica
1. Se les da Nombre a Nuevos Objetos, simplemente anteponiendo su nombre = en la Barra de Entrada a su definiciòn algebraica.
2. Un Producto se establece con un asterisco o espacio entre los factores.
3. ¡GeoGebra es sensible a las minúsculas diferencias!... lo que implica que identifica como distintos los nombres de variables en que sólo una mayúscula o un tilde distingue una de otra. Por eso es preciso controlar estas cuestiones tanto al otorgar un nombre como al referirlo.
- Los nombres que otorga GeoGebra, espontáneamente a los objetos creados - sea a partir de una herramienta como desde un comando - presentan ciertas distinciones y así, los de los...
- Puntos son letras mayúsculas. Ejemplo: A = (1, 2) o, en coordenadas polares, B = (2; pi)
- Vectores son letras minúsculas Ejemplo: v = (1, 3)Aviso: Si se asignara la misma definición de valores a objetos anotados con minúsculas - como a o b -, GeoGebra los establecería como vectores posición de puntos de coordenadas (1, 2) o (2; pi) respectivamente.
- Puntos son letras mayúsculas.
- Llevan minúsculas también las...
- Circunferencias (así como los arcos y las cónicas), rectas (así como los segmentos y semirrectas), funciones y otros elementos asociados Ejemplo: circunferencia c: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16
- Circunferencias (así como los arcos y las cónicas), rectas (así como los segmentos y semirrectas), funciones y otros elementos asociados
- Deben anotarse y referirse en minúsculas los nombres de las variables como...
- la independiente x de una función o
- x e yen cualquier expresión - ecuación de una sección cónica, de una inecuación, etc. -. Ejemplo: f(x) = 3*x + 2
4. Para incluir un objeto en una anotación en la Barra de Entrada, es preciso crearlo antes y referirlo por el nombre que lo identifica, recordando distinguirlo con todos los detalles correspondientes (mayúsculas, minúsculas, tildes...). Esto vale tanto para las expresiones algebraicas como para los comandos...
- y = m x + b o y = m f(-b) x + f(b) crea una recta en tanto m como b sean ya:
- números que harán las veces de parámetros (recordar que todo número establecido como tal involucra un deslizador cuyo valor puede modificarse en tanto se lo torne visible en la Vista Gráfica activa.
- Recta[A, B] o [[Comando Recta|Recta[A + b Vector[A, B], B] ]]crea una recta en tanto exista el punto A y el B y/o el número b.
5. Cada expresión ingresada en la Barra de Entrada se debe confirmar' pulsando la tecla Enter (o Intro como aparece en algunos teclados).
6. Tanto las teclas de atajo (F1) como la opción del Menú de Ayuda, permiten abrir la ventana pertinente para averiguar el modo de empleo de un comando en la Barra de Entrada.
7. Si al ingresar un comando en la Barra de Entrada aparece un error, conviene leer detenidamente el correspondiente mensaje para tener mayores recursos para subsanarlo.
8. Los Comandos se pueden anotados o seleccionados desde la lista próxima a la Barra de Entrada.
9. Tras anotar las dos primeras letras de cualquier comando en la Barra de Entrada, emergen alternativas para su Completado Automático tentativo que permite...
- Seleccionar el adecuado pulsando Enter ( Intro en algunos teclados) para ubicar el cursor entre los corchetes.
- Proseguir anotando las siguientes letras hasta que se despliegue el deseado.
Construyendo Circunferencias Suponiendo sus Tangentes
¿Por qué no realizar el trayecto de regreso desde las construcciones convencionales imaginando un desafío inverso en que se pueda tantear dinámicamente como medio legítimo para dar con conjeturas a controlar y validar? Imaginemos que la consigna fuese la siguiente:
- Dicen que había una circunferencia a la que se le trazaron las tangentes desde los puntos A y B - que es todo lo que ha perdurado de esa antiquísima construcción ya desvaída - y algunos creen recordar que esas cuatro tangentes conformaban un específico cuadrilátero. El desafío es establecer qué tipo de cuadrilátero podría haber sido, más allá de las que nos proponen los rumores de los que se consideran dignos memoriosos, así como descartar los que no tendrían chance alguna de haber sido.
Desafío guiando el Tutorial
Escenario tomado de un Taller de Centro Babbage
Rastros para una Construcción Retrospectiva
Tutorial y Propuesta de Dir del Instituto GeoGebra de Argentina - Liliana Saidon
Especulaciones hacia y desde la Figura de Análisis
Consideraciones Iniciales
- Algunos aseguran que sin necesidad de reconstruir lo que ese diagrama podría haber configurado, pueden descartarse algunos cuadriláteros desde ya y señalan, por ejemplo, la imposibilidad de...
- todo trapecio
- los rectángulo en general
- los rombos en particular
- Otros sostienen que no es dable descartar ninguno de entrada y que es conveniente comenzar por una figura de análisis retrospectivo para empezar. Valdría cuestionarse si...
- ¿Se puede justificar una u otra posición?
Reconsiderando sobre la Figura de Análisis
- En la construcción, los puntos A y B establecen los datos dados y deben permanecer fijos.
- Sobre la construcción realizada siguiendo el tutorial, se puede modificar la posición del centro de la presunta circunferencia y la del punto que, sobre la semicircunferencia entre A y B, establece la dirección de la primera de las tangentes.
- Este interjuego de resultados de los desplazamientos de esos dos puntos deslizables ofrece un banco de pruebas dinámico.
- La exploración se limita a desplazar el punto C_m (que opera como centro de la presunta circunferencia que se intenta reconstruir) y el P_{sc} que, sobre la semicircunferencia desde A a B, determina el sentido de la primera tangente.
- A partir de los ensayos, se podría reconsiderar si...
- El tanteo sistemático, ¿permite distinguir lo que efectivamente se pudiera descartar de entrada de lo que no puede determinarse a menos que se brinden más datos?
- ¿Qué herramientas podrían emplearse alternativamente para recrear la construcción?
- ¿Con qué medios puede controlarse si el cuadrilátero delimitado por las cuatro presuntas tangentes constituyen uno de algún tipo específico?
- ¿Se evidencian relaciones entre los elementos que se distinguen como propiedades exclusivas de un tipo de cuadrilátero?
- Si el punto que opera como presunto centro de la circunferencia reconstruida se desplaza convenientemente, ¿se obtienen distintos cuadriláteros sin necesidad de modificar la posición del que se emplea para tantear la dirección de la primera de las tangentes?
- ¿Es posible establecer el tipo de cuadriláteros imposibles de configurar dadas las condiciones o es la construcción seleccionada la que restringe y aparenta la inviabilidad de lo que en otra podrían lograrse?
- Si se partiera de otro tipo de construcción, ¿será posible dar con otro tipo de cuadriláteros que en la planteada no parecen ser viables?
Comandando la Construcción
Definiciones en el Protocolo de Construcción
Si bien el tutorial parece estar basado exclusivamente en las herramientas disponibles, podría haber sido desarrollado sin siquiera apelar al ratón o mouse y / o cualquier dispositivo de contacto dado que se podrían preparar todos los archivos de GeoGebra ingresando los datos respecto de los objetos y anotando los correspondientes comandos en la Barra de Entrada.
El ingreso de datos algebraicos y de comandos supera y amplia el empleo de las herramientas geométricas.
Pruebas y Preparativos
- Abrir una nueva ventana de GeoGebra.
- Exponer la Vista Algebraica y la Barra de Entrada así como la cuadrícula (sea desde el Menú Vista o apelando a los íconos de cada Barra de Estilo según corresponda).
- Seguir paso a paso las indicaciones del Protocolo de Construcción intentando intercalar el empleo de herramientas y el ingreso de los comandos correspondientes en la Barra de Entrada.
Controlar y Explorar la Construcción
- Controlar que los únicos puntos que se pueden desplazar (además de A y B que son datos dados y no debieran moverse como no sea para cambiar las condiciones iniciales), sean los que determinan el centro de la presunta circunferencia y el que, sobre la semicircunferencia, fija el sentido de la primera tangente tentativa.
- Someter la construcción a la prueba de arrastre para verificar que si bien se modifica, las relaciones que se establecieron no se alteran y el rol de los elementos en juego perdura correctamente.
- Cambiar las propiedades de los objetos para ilustrar mejor las relaciones y distinguir los elementos claves así como para mejorar la apariencia de la construcción (por ejemplo, seleccionando los colores armoniosamente, distinguiendo con trazos punteados los elementos auxiliares ,…)
- Guardar la construcción que lleva a la resolución del desafío con un nombre adecuado.
Explorando Relaciones entre Coeficientes y Gráficas en Cuadráticas
En esta propuesta se procurará vincular en sentido directo e inverso, las relaciones entre los coeficientes de una expresión cuadrática y su comportamiento gráfico.
Desafío Reconstructivo
Dados cinco puntos distribuidos al azar, ¿cómo se podría deslizar la gráfica de y = x^2 usando las teclas flecha ascendentes / descendentes y las laterales a izquierda y derecha para que la gráfica cruce por la mayor cantidad de tales puntos?
Preparativos
1 Ingresar en la Barra de Entrada, cinco veces esta anotación para dar con puntos al azar:
- (-5 + round(10random()), -4 + round(10random()))
- darle a cada uno vistoso y diverso formato y color
- pulsar las teclas Ctrl + R para que el recálculo de los valores aleatorios provoque una reubicación de los puntos en caso de no estar en una posición adecuada.
2 Ingresar en la Barra de Entrada la siguiente expresión:
- y = x^2
3 Seleccionar la expresión y...
- pulsar las teclas Arriba / Abajo u las Izquierda / Derecha
- registrar el efecto que estas maniobras tienen sobre el gráfico y la expresión correspondiente.
4 Establecer alguna estrategia para lograr que la cuadrática cruce por la mayor cantidad posible de puntos.
- los valores de partida para a, b y c - a = 1 - b=0 - c = 0 - y luego la expresión:
- a x^2 + b x + c - - a la que se le puede otorgar un color y estilo que la distinga de la previamente ingresada y = x^2 -
- cuando los números a, b y c se hacen visibles en la Vista Gráfica, quedan asociados a deslizadores
- la gráfica de la expresión ingresada - a x^2 + b x + c - reacciona a los cambios en los valores de los deslizadores
- mantiene su carácter de objeto libre la que fuera originalmente anotada como y = x^2" y cambia su representación gráfia y expresión cuando se la selecciona y se opera con las teclas de flecha.
Con una y/u otra gráfica se puede procurar una vía sistemática para lograr que cruce por la mayor cantidad de puntos en juego.
Library of Functions
Apart from polynomials there are different types of functions available in GeoGebra (e.g. trigonometric functions, absolute value function, exponential function). Functions are treated as objects and can be used in combination with geometric constructions.
Task 1: Visualizing absolute values
Open a new GeoGebra window. Make sure the Algebra View, Input Bar and coordinate axes are shown.
1 | f(x) = abs(x) | Enter the absolute value function f |
2 | g(x) = 3 | Enter the constant function g |
3 | Intersect both functions Aviso: You need to intersect the functions twice in order to get both intersection points.
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(a) Move the constant function with the mouse or using the arrow keys. The y-coordinate of each intersection point represents the absolute value of the x-coordinate.
(b) Move the absolute value function up and down either using the mouse or the arrow keys. In which way does the function’s equation change?
(c) How could this construction be used in order to familiarize students with the concept of absolute value?
Task 2: Superposition of Sine Waves
Sound waves can be mathematically represented as a combination of sine waves. Every musical tone is composed of several sine waves of the form y(t) = a sin(ω t + φ) . The amplitude a influences the volume of the tone while the angular frequency ω determines the pitch of the tone. The parameter φ is called phase and indicates if the sound wave is shifted in time. If two sine waves interfere, superposition occurs. This means that the sine waves amplify or diminish each other. We can simulate this phenomenon with GeoGebra in order to examine special cases that also occur in nature.
1 | f(x) = abs(x) | Create three sliders a_1, ω_1, and φ_1 Aviso: a_1 produces an index. You can select the Greek letters from the menu next to the text field name in the Slider dialog window.
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2 | g(x)= a_1 sin(ω_1 x + φ_1) | Again, you can select the Greek letters from a menu next to the Input Bar. |
(a) Examine the impact of the parameters on the graph of the sine functions by changing the values of the sliders.
3 | Create three sliders a_2, ω_2, and φ_2 Aviso: Sliders can only be moved when the Slider Tool is activated.
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4 | h(x)= a_2 sin(ω_2 x + φ_2) | Enter another sine function h |
5 | sum(x) = g(x) + h(x) | Create the sum of both functions |
(b) Change the color of the three functions so they are easier to identify.
(c) Set a_1 = 1, ω_1 = 1, and φ_1 = 0. For which values of a_2, ω_2, and φ_2 does the sum have maximal amplitude?
(d) For which values of a_2, ω_2, and φ_2 do the two functions cancel each other?