Différences entre versions de « Commande ItérationListe »

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;ItérationListe[ <Fonction f>, <Valeur départ <math>x_0</math>>, <Nombre n> ]: Liste ''L'' de longueur ''n+1'' dont les éléments sont les images itératives par  ''f'' de la valeur <math>x_0</math>.   
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;ItérationListe( <Fonction f>, <Valeur départ <math>x_0</math>>, <Nombre n> ): Liste ''L'' de longueur ''n+1'' dont les éléments sont les images itératives par  ''f'' de la valeur <math>x_0</math>.   
 
 
: {{Exemple| 1=Après avoir défini <code>f(x) = x^2</code> la commande <code>ItérationListe[f, 3, 2]</code> retourne la liste ''L = {3, 9, 81}'' (=''{3,3<sup>2</sup>,(3<sup>2</sup>)<sup>2</sup>}'').}}
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: {{Exemples| 1=<br/>
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::* Après avoir défini <code>f(x) = x^2</code><br/> la commande <code>ItérationListe(f, 3, 2)</code> retourne la liste ''L = {3, 9, 81}'' (c'est-à-dire ''{3,3<sup>2</sup>,(3<sup>2</sup>)<sup>2</sup>}'').<br/>
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::* on peut utiliser cette commande pour définir une suite récurrente où ''a<sub>k+1</sub>'' dépend de ''a<sub>k</sub>'' et ''k''. À partir d'une fonction ''f'' de deux variables avec comme Valeur départ une liste de deux nombres''{s, a<sub>s</sub>}'', la liste créée sera celle des valeurs ''a<sub>s</sub>'', ''a<sub>s+1</sub>'' ,....,''a<sub>s+n</sub>'' dans laquelle pour ''k>s'' on a ''a<sub>k+1</sub>=f(k, a<sub>k</sub>)''.<br/>
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:::Après avoir défini  <code>f(k,a)=(k+1)*a</code>, qui correspond à la définition récursive de factorielle. La commande <code>ItérationListe(f, {3, 6}, 4)</code> retournera la liste ''{6, 24, 120, 720, 5040}''
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;ItérationListe( <Expression>, <Nom Variable>, ..., <Liste Valeurs départ>, <Nombre d'itérations> )
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: Construit la liste de longueur ''n+1'' dont les éléments sont les images itératives de l'expression en partant de la valeur de départ. Les variables de l' expression sont remplacées par les derniers  éléments de la liste à chaque itération. Il doit y avoir au moins autant de valeurs de départ qu'il y a de variables, sinon le résultat est <i>non défini</i>. 
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{{Exemples|1=<br/>Soit A et B deux points. Alors <code>ItérationListe(MilieuCentre(A, C), C,{B},3)</code> calcule
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*C<sub>0</sub>=B ;
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*C<sub>1</sub>=MilieuCentre(A, C<sub>0</sub>) ;
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*C<sub>2</sub>=MilieuCentre(A, C<sub>1</sub>) ;
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*C<sub>3</sub>=MilieuCentre(A, C<sub>2</sub>)
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et retourne {C<sub>0</sub>, C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub>}. <br/>Ainsi pour <code>A=(0,0)</code> et <code>B=(8,0)</code> le résultat sera {(8,0), (4,0), (2,0), (1,0)}.}}
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{{Cmd|[[Commande Itération|Itération]]}}
  
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{{Idée|1=Utilisation avec des suites numériques <br/>
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*<u>Suites arithmétiques a(n+1) = a(n) + r</u>
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avec par exemple a(0) = 1 et r = 3
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<code>ItérationListe(x+3, 1, 4)</code>  retourne ''{1, 4, 7, 10, 13}'' <br/>
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*<u>Suites géométriques g(n+1) = q x g(n)</u>
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avec par exemple g(0) = 1 et q = 3
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<code>ItérationListe(3x, 1, 4)</code>  retourne ''{1, 3, 9, 27, 81} '' <br/>
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* <u>Suite de Fibonnacci : </u>
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Soit f_0 et f_1 deux nombres. <code>ItérationListe(a+b, a,b,{f_0,f_1},5)</code> affecte aux 2 premiers éléments du résultat les deux valeurs de départ. <br/>Ensuite les valeurs sont calculées comme suit :
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*f<sub>2</sub>=f<sub>0</sub>+f<sub>1</sub> ;
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*f<sub>3</sub>=f<sub>1</sub>+f<sub>2</sub> ;
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*f<sub>4</sub>=f<sub>2</sub>+f<sub>3</sub> ;
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*f<sub>5</sub>=f<sub>3</sub>+f<sub>4</sub>.
  
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et retourne {f<sub>0</sub>, f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, f<sub>5</sub> }. <br/>Ainsi pour <code>f_0=1</code> et <code>f_1=1</code> le résultat sera {1,1,2,3,5,8}.
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*<u> Suites de Collatz ou Syracuse :</u>
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<code>ItérationListe(Si(floor(x / 2) ≟ x / 2, x / 2, 3x + 1), 14, 8)</code> retourne ''{14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13} '' les ''8'' premiers termes de cette suite de premier terme ''14''
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*<u>Suites récurrentes avec présence de ''n'' dans la formule : </u>
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🦁Soit la suite {7, 71, 712, 7123, 71234, 712345}, une interprétation : <br/>
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le premier terme, u<sub>0</sub>, est 7, <br/>
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le suivant, u<sub>1</sub>, 10 fois 7 augmenté de 1, <br/>
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le suivant du suivant, u<sub>2</sub>, 10 fois 71 augmenté de 2 .../...<br/>
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on va '''définir''' une fonction de 2 variables f(n,x) (<u>'''le ''n'' étant la 1ère'''</u>) <code>f(n, x) = 10x + n </code>et la validation de <code>ItérationListe(f, {1, 7}, 5)</code> exécutant les itérations de la fonction ''f'' à partir de'' n''='''1''' pour une valeur d'image de départ de '''7''', retournera la liste des 6 nombres présentés.
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}}
  
  
--[[Utilisateur:Noel Lambert|Noel Lambert]] ([[Discussion utilisateur:Noel Lambert|discussion]]) 28 juin 2013 à 21:52 (CEST)
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{{CASok}}

Version actuelle datée du 26 octobre 2017 à 11:10


ItérationListe( <Fonction f>, <Valeur départ x_0>, <Nombre n> )
Liste L de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives par f de la valeur x_0.
Exemples :
  • Après avoir défini f(x) = x^2
    la commande ItérationListe(f, 3, 2) retourne la liste L = {3, 9, 81} (c'est-à-dire {3,32,(32)2}).
  • on peut utiliser cette commande pour définir une suite récurrente où ak+1 dépend de ak et k. À partir d'une fonction f de deux variables avec comme Valeur départ une liste de deux nombres{s, as}, la liste créée sera celle des valeurs as, as+1 ,....,as+n dans laquelle pour k>s on a ak+1=f(k, ak).
Après avoir défini f(k,a)=(k+1)*a, qui correspond à la définition récursive de factorielle. La commande ItérationListe(f, {3, 6}, 4) retournera la liste {6, 24, 120, 720, 5040}


ItérationListe( <Expression>, <Nom Variable>, ..., <Liste Valeurs départ>, <Nombre d'itérations> )
Construit la liste de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives de l'expression en partant de la valeur de départ. Les variables de l' expression sont remplacées par les derniers éléments de la liste à chaque itération. Il doit y avoir au moins autant de valeurs de départ qu'il y a de variables, sinon le résultat est non défini.


Exemples :
Soit A et B deux points. Alors ItérationListe(MilieuCentre(A, C), C,{B},3) calcule
  • C0=B ;
  • C1=MilieuCentre(A, C0) ;
  • C2=MilieuCentre(A, C1) ;
  • C3=MilieuCentre(A, C2)
et retourne {C0, C1, C2, C3}.
Ainsi pour A=(0,0) et B=(8,0) le résultat sera {(8,0), (4,0), (2,0), (1,0)}.


Saisie : Voir aussi la commande : Itération


Note Idée : Utilisation avec des suites numériques
  • Suites arithmétiques a(n+1) = a(n) + r

avec par exemple a(0) = 1 et r = 3 ItérationListe(x+3, 1, 4) retourne {1, 4, 7, 10, 13}

  • Suites géométriques g(n+1) = q x g(n)

avec par exemple g(0) = 1 et q = 3 ItérationListe(3x, 1, 4) retourne {1, 3, 9, 27, 81}

  • Suite de Fibonnacci :

Soit f_0 et f_1 deux nombres. ItérationListe(a+b, a,b,{f_0,f_1},5) affecte aux 2 premiers éléments du résultat les deux valeurs de départ.
Ensuite les valeurs sont calculées comme suit :

  • f2=f0+f1 ;
  • f3=f1+f2 ;
  • f4=f2+f3 ;
  • f5=f3+f4.

et retourne {f0, f1, f2, f3, f4, f5 }.
Ainsi pour f_0=1 et f_1=1 le résultat sera {1,1,2,3,5,8}.

  • Suites de Collatz ou Syracuse :

ItérationListe(Si(floor(x / 2) ≟ x / 2, x / 2, 3x + 1), 14, 8) retourne {14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13} les 8 premiers termes de cette suite de premier terme 14

  • Suites récurrentes avec présence de n dans la formule :

🦁Soit la suite {7, 71, 712, 7123, 71234, 712345}, une interprétation :
le premier terme, u0, est 7,
le suivant, u1, 10 fois 7 augmenté de 1,
le suivant du suivant, u2, 10 fois 71 augmenté de 2 .../...

on va définir une fonction de 2 variables f(n,x) (le n étant la 1ère) f(n, x) = 10x + n et la validation de ItérationListe(f, {1, 7}, 5) exécutant les itérations de la fonction f à partir de n=1 pour une valeur d'image de départ de 7, retournera la liste des 6 nombres présentés.


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Menu view cas.svg Calcul formel :

Cette commande fonctionne à l'identique dans la fenêtre Calcul formel


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