Commande ItérationListe

ItérationListe[ <Fonction f>, <Valeur départ x_0>, <Nombre n> ]

Liste L de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives par f de la valeur x_0.

Exemples :

• Après avoir défini f(x) = x^2
  la commande ItérationListe[f, 3, 2] retourne la liste L = {3, 9, 81} (c'est-à-dire {3,3²,(3²)²}).
  
• on peut utiliser cette commande pour définir une suite récurrente où a_k+1 dépend de a_k et k. À partir d'une fonction f de deux variables avec comme Valeur départ une liste de deux nombres{s, a_s}, la liste créée sera celle des valeurs a_s, a_s+1 ,....,a_s+n dans laquelle pour k>s on a a_k+1=f(k, a_k).
  

Après avoir défini f(k,a)=(k+1)*a, qui correspond à la définition récursive de factorielle. La commande ItérationListe[f, {3, 6}, 4] retournera la liste {6, 24, 120, 720, 5040}

ItérationListe[ <Expression>, <Nom Variable>, ..., <Liste Valeurs départ>, <Nombre d'itérations> ]

Construit la liste de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives de l'expression en partant de la valeur de départ. Les variables de l' expression sont remplacées par les derniers éléments de la liste à chaque itération. Il doit y avoir au moins autant de valeurs de départ qu'il y a de variables, sinon le résultat est non défini.

Exemples :
Soit A et B deux points. Alors ItérationListe[MilieuCentre[A, C], C,{B},3] calcule

• C₀=B ;
• C₁=MilieuCentre[A, C₀] ;
• C₂=MilieuCentre[A, C₁] ;
• C₃=MilieuCentre[A, C₂]

et retourne {C₀, C₁, C₂, C₃}.
Ainsi pour A=(0,0) et B=(8,0) le résultat sera {(8,0), (4,0), (2,0), (1,0)}.

Saisie : Voir aussi la commande : Itération

Idée : Utilisation avec des suites numériques

• Suites arithmétiques a(n+1) = a(n) + r

avec par exemple a(0) = 1 et r = 3 ItérationListe[x+3, 1, 4] retourne {1, 4, 7, 10, 13}

• Suites géométriques g(n+1) = q x g(n)

avec par exemple g(0) = 1 et q = 3 ItérationListe[3x, 1, 4] retourne {1, 3, 9, 27, 81}

• Suite de Fibonnacci :

Soit f_0 et f_1 deux nombres. ItérationListe[a+b, a,b,{f_0,f_1},5] affecte aux 2 premiers éléments du résultat les deux valeurs de départ.
Ensuite les valeurs sont calculées comme suit :

• f₂=f₀+f₁ ;
• f₃=f₁+f₂ ;
• f₄=f₂+f₃ ;
• f₅=f₃+f₄.

et retourne {f₀, f₁, f₂, f₃, f₄, f₅ }.
Ainsi pour f_0=1 et f_1=1 le résultat sera {1,1,2,3,5,8}.

• Suites de Collatz ou Syracuse :

ItérationListe[Si[floor(x / 2) ≟ x / 2, x / 2, 3x + 1], 14, 8] retourne {14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13} les 8 premiers termes de cette suite de premier terme 14

• Suites récurrentes avec présence de n dans la formule :

🦁Soit la suite {7, 71, 712, 7123, 71234, 712345}, une interprétation :
le premier terme, u₀, est 7,
le suivant, u₁, 10 fois 7 augmenté de 1,
le suivant du suivant, u₂, 10 fois 71 augmenté de 2 .../...

on va définir une fonction de 2 variables f(n,x) (le n étant la 1ère) f(n, x) = 10x + n et la validation de ItérationListe[f, {1, 7}, 5] exécutant les itérations de la fonction f à partir de n=1 pour une valeur d'image de départ de 7, retournera la liste des 6 nombres présentés.

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Calcul formel :

Cette commande fonctionne à l'identique dans la fenêtre Calcul formel