Diferencia entre revisiones de «Tutorial:Hacia el Algebra desde la Barra»

De GeoGebra Manual
Saltar a: navegación, buscar
m (link)
m (link)
Línea 298: Línea 298:
  
 
===Preparativos===
 
===Preparativos===
*Abrir una '''Nueva Ventana''' desde el [[Menú Archivo]]
+
*Abrir una '''Nueva Ventana''' desde el [[Comentarios:Menúes|Menú Archivo]]
 
*Establecer, en el [[Referencia:Versión_3.2#Interfaz GG|Menú Apariencias]], la de '''''Geometría'''''.
 
*Establecer, en el [[Referencia:Versión_3.2#Interfaz GG|Menú Apariencias]], la de '''''Geometría'''''.
 
*Establecer que el '''Rotulado''' se aplique a '''Solo puntos nuevos''' en el [[Comentarios:Comando_Relleno|Menú de Opciones]]).
 
*Establecer que el '''Rotulado''' se aplique a '''Solo puntos nuevos''' en el [[Comentarios:Comando_Relleno|Menú de Opciones]]).

Revisión del 07:55 27 mar 2020

Tutorial: Hacia el Álgebra desde la Barra de Entrada Versión de un Taller LMS

Dando Entrada a Objetos de Definición Algebraica

1 . Se les da Nombre a Nuevos Objetos, simplemente anteponiendo a su definición, nombre = en la Barra de Entrada algebraica.
Ejemplo: P = (3, 2) crea el punto P.
Con más sofisticación...
Ejemplo: P_1 = (round(10 random()), round(10 random())) crea el punto P_1 con coordenadas aleatorias.
2 . Un Producto se establece con un asterisco o espacio entre los factores.
Ejemplo: x(P_1) * x o x(P:1) x

3 . ¡GeoGebra es sensible a las minúsculas diferencias!... lo que implica que identifica como distintos los nombres de variables en que solo una mayúscula o un tilde distingue una de otra. Por eso es preciso controlar estas cuestiones tanto al otorgar un nombre como al referirlo.

  • Los nombres que otorga GeoGebra, espontáneamente a los objetos creados - sea a partir de una herramienta como desde un comando - presentan ciertas distinciones y así, los de los...
    • Puntos son letras mayúsculas.
      Ejemplo: A = (1, 2) o, en coordenadas polares, B = (2; pi)
    • Vectores son letras minúsculas
      Ejemplo: v = (1, 3)
      Bulbgraph.pngAtención: Si se asignara la misma definición de valores a objetos anotados con minúsculas - como a o b -, GeoGebra los establecería como vectores posición de puntos de coordenadas (1, 2) o (2; pi) respectivamente.
  • Llevan minúsculas también las...
    • Circunferencias (así como los arcos y las cónicas), rectas (así como los segmentos y semirrectas), funciones y otros elementos asociados
      Ejemplo: circunferencia c: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16
  • Deben anotarse y referirse en minúsculas los nombres de las variables como...
    • la independiente x de una función o
    • x e yen cualquier expresión - ecuación de una sección cónica, de una inecuación, etc. -.
      Ejemplo: f(x) = 3*x + 2

4 . Para incluir un objeto en una anotación en la Barra de Entrada, es preciso crearlo antes y referirlo por el nombre que lo identifica, recordando distinguirlo con todos los detalles correspondientes (mayúsculas, minúsculas, tildes...). Esto vale tanto para las expresiones algebraicas como para los comandos...

  • y = m x + b o y = m f(-b) x + f(b) crea una recta en tanto m como b sean ya:
    • números que harán las veces de parámetros (recordar que todo número establecido como tal involucra un deslizador cuyo valor puede modificarse en tanto se lo torne visible en la Vista Gráfica activa.
    • Recta(A, B) o Recta(A + b Vector(A, B), B) crea una recta en tanto exista el punto A y el B y/o el número b.

5 . Cada expresión ingresada en la Barra de Entrada se debe confirmar' pulsando la tecla Enter (o Intro como aparece en algunos teclados).

6 . Tanto la tecla de atajo (F1) como la opción de Ayuda del Menú o el Manual, permiten abrir la ventana pertinente para averiguar el modo de empleo de un comando en la Barra de Entrada.

7 . Si al ingresar un comando en la Barra de Entrada aparece un error, conviene leer detenidamente el correspondiente mensaje para tener mayores recursos para subsanarlo.

8 . Los Comandos se pueden anotar o seleccionar desde la lista próxima a la Barra de Entrada.
Note Aviso: Para averiguar qué parámetros se requieren entre los corchetes de cada comando, basta ingresar su nombre completo y pulsar la tecla F1 para abrir la sección pertinente de GeoGebra Wiki.


9 . Tras anotar las dos primeras letras de cualquier comando en la Barra de Entrada, emergen alternativas para su Completado Automático tentativo que permite...

  • Seleccionar el adecuado pulsando Enter ( Intro en algunos teclados) para ubicar el cursor entre los corchetes.
  • Proseguir anotando las siguientes letras hasta que se despliegue el deseado.

Construyendo Circunferencias Suponiendo sus Tangentes

¿Por qué no realizar el trayecto de regreso desde las construcciones convencionales imaginando un desafío inverso en que se pueda tantear dinámicamente como medio legítimo para dar con conjeturas a controlar y validar? Imaginemos que la consigna fuese la siguiente:

  • Dicen que había una circunferencia a la que se le trazaron las tangentes desde los puntos A y B - que es todo lo que ha perdurado de esa antiquísima construcción ya desvaída - y algunos creen recordar que esas cuatro tangentes conformaban un específico cuadrilátero. El desafío es establecer qué tipo de cuadrilátero podría haber sido, más allá de las que nos proponen los rumores de los que se consideran dignos memoriosos, así como descartar los que no tendrían chance alguna de haber sido.

Desafío guiando el Tutorial

Escenario tomado de un Taller de Centro Babbage

Rastros para una Construcción Retrospectiva

Tutorial y Propuesta de Dir del Instituto GG de Argentina - LMS

Tangenteando.PNG

Nombre Icono Definición Comando Valor
1 Punto A Mode point.png     A = (-1, 2)
2 Punto B Mode point.png     B = (5, 0)
3 Arco sc Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia a través de B y A Semicircunferencia(B, A) sc = 9.93
4 Segmento i Tool Segment between Two Points.gif Segmento (A, B) Segmento(A, B) i = 6.32
5 Punto Psc Mode point.png Punto sobre sc Punto(sc) Psc = (1, -2)
7 Punto Cm Mode point.png Punto sobre Segmento(B, A) Punto(Segmento(B, A)) Cm = (2.92, 0.69)
8 Circunferencia ci Tool Circle Center Radius.gif Circunferencia con centro Cm y radio Distancia(Cm, Semirrecta(B, Psc)) Circunferencia(Cm, Distancia(Cm, Semirrecta(B, Psc))) ci: (x - 2.92)² + (y - 0.69)² = 2.4
9 Recta e Tool Tangents.gif Tangente a ci pasando por A Tangente(A, ci) e: -0.24x + 3.82y = 7.88
10 Recta h Tool Tangents.gif Tangente a ci pasando por B Tangente(B, ci) h: 0.69x - 1.39y = 3.47
11 Recta a Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz A, B Mediatriz(A, B) a: -3x + y = -5
Tangeteando II.PNG

Especulaciones hacia y desde la Figura de Análisis

Consideraciones Iniciales

  • Algunos aseguran que sin necesidad de reconstruir lo que ese diagrama podría haber configurado, pueden descartarse algunos cuadriláteros desde ya y señalan, por ejemplo, la imposibilidad de...
    • todo trapecio
    • los rectángulo en general
    • los rombos en particular
  • Otros sostienen que no es dable descartar ninguno de entrada y que es conveniente comenzar por una figura de análisis retrospectivo para empezar. Valdría cuestionarse si...
    • ¿Se puede justificar una u otra posición?

Tangeteando III.PNG

Reconsiderando sobre la Figura de Análisis

  • En la construcción, los puntos A y B establecen los datos dados y deben permanecer fijos.
  • Sobre la construcción realizada siguiendo el tutorial, se puede modificar la posición del centro de la presunta circunferencia y la del punto que, sobre la semicircunferencia entre A y B, establece la dirección de la primera de las tangentes.
  • Este interjuego de resultados de los desplazamientos de esos dos puntos deslizables ofrece un banco de pruebas dinámico.
  • La exploración se limita a desplazar el punto C_m (que opera como centro de la presunta circunferencia que se intenta reconstruir) y el P_{sc} que, sobre la semicircunferencia desde A a B, determina el sentido de la primera tangente.
  • A partir de los ensayos, se podría reconsiderar si...
    • El tanteo sistemático, ¿permite distinguir lo que efectivamente se pudiera descartar de entrada de lo que no puede determinarse a menos que se brinden más datos?
    • ¿Qué herramientas podrían emplearse alternativamente para recrear la construcción?
    • ¿Con qué medios puede controlarse si el cuadrilátero delimitado por las cuatro presuntas tangentes constituyen uno de algún tipo específico?
    • ¿Se evidencian relaciones entre los elementos que se distinguen como propiedades exclusivas de un tipo de cuadrilátero?
    • Si el punto que opera como presunto centro de la circunferencia reconstruida se desplaza convenientemente, ¿se obtienen distintos cuadriláteros sin necesidad de modificar la posición del que se emplea para tantear la dirección de la primera de las tangentes?
    • ¿Es posible establecer el tipo de cuadriláteros imposibles de configurar dadas las condiciones o es la construcción seleccionada la que restringe y aparenta la inviabilidad de lo que en otra podrían lograrse?
    • Si se partiera de otro tipo de construcción, ¿será posible dar con otro tipo de cuadriláteros que en la planteada no parecen ser viables?

Tangeteando IV.PNG

Comandando la Construcción

Definiciones en el Protocolo de Construcción

Si bien el tutorial parece estar basado exclusivamente en las herramientas disponibles, podría haber sido desarrollado sin siquiera apelar al ratón o mouse y / o cualquier dispositivo de contacto dado que se podrían preparar todos los archivos de GeoGebra ingresando los datos respecto de los objetos y anotando los correspondientes comandos en la Barra de Entrada.

El ingreso de datos algebraicos y de comandos supera y amplia el empleo de las herramientas geométricas.
Nota: GeoGebra provee de un repertorio de comandos que supera el de herramientas. Así, si bien cada a cada herramienta le corresponde un comando, la versatilidad de los comandos los coloca por encima de lo que pueden habilitar las herramientas.

Pruebas y Preparativos

Nota: GeoGebra distingue los objetos según sean libres o dependientes y así aparecen categorizados en la Vista Algebraica según dependan de otros objetos o no, diferencia respecto de la cual resulta irrelevante el modo en que fueran creados (a partir de herramientas activadas con el ratón o mouse o apelando al teclado para ingresar el comando adecuado).
Bulbgraph.pngAtención: Pueden emplearse las teclas flecha para mover los objetos libres (o los que tienen algún grado de desplazamiento, al menos dentro de cierto trayecto o región) de modo más controlado.
Basta con seleccionarlo con la herramienta Mode move.png que elige y mueve, en cualquiera de las dos ventanas y pulsar las teclas ascendente / descendente o izquierda / derecha para desplazarlo en la dirección deseada.

Controlar y Explorar la Construcción

  • Controlar que los únicos puntos que se pueden desplazar (además de A y B que son datos dados y no debieran moverse como no sea para cambiar las condiciones iniciales), sean los que determinan el centro de la presunta circunferencia y el que, sobre la semicircunferencia, fija el sentido de la primera tangente tentativa.
  • Someter la construcción a la prueba de arrastre para verificar que si bien se modifica, las relaciones que se establecieron no se alteran y el rol de los elementos en juego perdura correctamente.
  • Cambiar las propiedades de los objetos para ilustrar mejor las relaciones y distinguir los elementos claves así como para mejorar la apariencia de la construcción (por ejemplo, seleccionando los colores armoniosamente, distinguiendo con trazos punteados los elementos auxiliares ,…)
  • Guardar la construcción que lleva a la resolución del desafío con un nombre adecuado.

Explorando Relaciones entre Coeficientes y Gráficas en Cuadráticas

En esta propuesta se procurará vincular en sentido directo e inverso, las relaciones entre los coeficientes de una expresión cuadrática y su comportamiento gráfico.

Desafío Reconstructivo

Dados cinco puntos distribuidos al azar, ¿cómo se podría deslizar la gráfica de y = x^2 usando las teclas flecha ascendentes / descendentes y las laterales a izquierda y derecha para que la gráfica cruce por la mayor cantidad de tales puntos?

Preparativos

1 Ingresar en la Barra de Entrada, cinco veces esta anotación para dar con puntos al azar: (-5 + round(10random()), -4 + round(10random()))

Nota:
Recordar que con las teclas Alt + Arriba / Alt + Abajo se puede navegar por la historia de comandos ingresados.
Por lo tanto, basta con realizar la anotación una única vez y luego recuperar lo ingresado y volver a pulsar Enter (Intro en algunos teclados) para marcar los siguientes puntos.
  • darle a cada uno vistoso y diverso formato y color
  • pulsar las teclas Ctrl + R para que el recálculo de los valores aleatorios provoque una reubicación de los puntos en caso de no estar en una posición adecuada.

2 Ingresar en la Barra de Entrada la siguiente expresión: y = x^2
3 Seleccionar la expresión y...

  • pulsar las teclas Arriba / Abajo u las Izquierda / Derecha
  • registrar el efecto que estas maniobras tienen sobre el gráfico y la expresión correspondiente.

4 Establecer alguna estrategia para lograr que la cuadrática cruce por la mayor cantidad posible de puntos.

Nota: Una forma más precisa de cambiar coeficientes y comportamiento de una gráfica cuadrática es anotarla de modo que quede asociada a tres Mode slider.png deslizadores - a, b y c - para poder desplazarla a través de los cambios que se introduzcan en cada uno de ellos.

Sencillamente, se ingresa sucesivamente en la Barra de Entrada:

  • los valores de partida para a, b y c - a = 1 - b=0 - c = 0 - y luego la expresión:
    a x^2 + b x + c - - a la que se le puede otorgar un color y estilo que la distinga de la previamente ingresada y = x^2 -

Se pasa a dar visibilidad a los números a, b y c con un clic en cada redondelito que aparece a la izquierda de cada uno de ellos en la Vista Algebraica. Es notorio, entonces que...

  • cuando los números a, b y c se hacen visibles en la Vista Gráfica, quedan asociados a deslizadores

Tales deslizadores así originados, adoptan el rango de valores e incremento que tienen por omisión (de -5 a 5 con un incremento de 0.1) y el valor que se les otorgara al crearlos.

Pueden llevarse adelante algunos ensayos para corroborar que...

  • la gráfica de la expresión ingresada - a x^2 + b x + c - reacciona a los cambios en los valores de los deslizadores.

En cambio...

  • mantiene su carácter de objeto libre la que fuera originalmente anotada como y = x^2" y cambia su representación gráfica y expresión cuando se la selecciona y se opera con las teclas de flecha.
Con una y/u otra gráfica se puede procurar una vía sistemática para lograr que cruce por la mayor cantidad de puntos en juego.


Planteando Alternativas

Incluso para problemas aparentemente sencillos, es interesante desplegar el planteo empleando las diversas vistas y alternativas que ofrece GeoGebra.
El siguiente es un desafío que se analiza tanto en la Vista Gráfica como en la Vista Algebraica, en la Vista CAS y en la Hoja de Cálculo:

CBC 5.PNG


Se establece el planteo, el análisis y la graficación empleando cada uno de los posibles registros, tal como se ilustra a continuación:
Cbc 5 pre .PNG

Escenarios de Análisis

Límpidos Escenarios de Análisis

Algunos efectos y detalles escasamente se reflejan en el Protocolo de Construcción. Como se aprecia en la siguiente aplicación de examen fluido de las funciones por tramos solicitada por la profesora del segundo año del CET 18 (Escuela Técnica de Villa Regina en la Provincia de Río Negro de la Argentina), con la expectativa de motivar su análisis con un recurso interactivo en que obrara una retroalimentación visual con el empleo de los colores dinámicos.
Justamente porque esa era la modalidad requerida, las relaciones que debían establecerse quedarían integradas al diseño sin dejar evidencias en el Protocolo.
Esto implicó que la indagación del boceto se hiciera con un estilo de estudio de caja negra en que el surgimiento de rastros permitiera correlacionar entradas y salidas con características de la función y su régimen de variación.
Rastros en lugar de enunciaciones para devolver la tarea de puesta en palabra a los intérpretes de esos coloridos Indicadores que, surgidos en cada ensayo, pudieran borrarse tras cada intento, pulsando el botón Limpia Rastros. Así diseñado, este escenario dejó la responsabilidad de encontrar vínculos a los exploradores de segundo año que se hicieron cargo de la tarea con sorprendente ahínco.

Algunos Detalles

La llave representada por el Mode slider.png Deslizador, permite pasar de una función por tramos a otra y el boceto está preparado para incorporar, en la lista correspondiente, funciones adicionales.

El botón que LimpiaRastros es particularmente útil cuando se quiere empezar de nuevo, desde el principio y/o para revisar una zona específica.

.

Los anuncios en los cartelitos emergentes respecto de la cuesta, incluyendo el de "Amesetando la Cuesta", hacen referencia a la índole creciente, decreciente o de inflexión y se corresponden con los colores sobre la curva.

Los colores sobre el eje x se corresponden con imagen positiva o negativa en una codificación colorida en relación al signo de la imagen y controla si la función está efectivamente definida o no.

Se podría cuestionar si la codificación respecto de la concavidad de la curva podría quedar habilitada o no añadiendo una Tool Check Box to Show Hide Objects.gif casilla de control para que sea posible ir centrando la atención en una cuestión por vez.

Aparecen diversos detalles que vale descubrir explorando para, además, ir reencontrando su utilidad al ahondar en las indagaciones. Como, por ejemplo, la necesidad de emplear el botón LimpiaRastros entre uno y otro emprendimiento. Sea el de cambiar de sector de análisis, de función o de reinicio.

Bulbgraph.pngAtención: La clave de este escenario es que permite...
  • una interpretación de indicios evitando las enunciaciones
    • enunciaciones que podrían implicar sobre-simbolizaciones
    • sobre-simbolizaciones que pueden, además, omitir la necesidad de explorar y/o remitir a quienes lo recorren a una posición de recepción y hasta acatamiento en lugar de la de responsables de desentrañar el funcionamiento de la caja negra
  • desentrañar con otros, durante la actividad que desencadena la situación que se propone con este diseño.


Descripciones Vívidas

Acaso la mejor manera de describir este boceto sea a través del relato de la profesora Susana, que solicitó este boceto a Centro Babbage, trabajó en clase con sus estudiantes de media y que tuvo la gentileza de ir registrando que...

(...) las preguntas surgieron sobre la marcha, en la misma clase, quizá porque un primer intento guiado por un instructivo, podría haber circunscripto las reacciones.


Reacciones que, concluyó, desencadenaba una práctica intensa de un ritmo no alcanzado con la multiplicación de ejemplos en la pizarra muy demandantes de tiempo. Práctica que, en este caso, privilegiaba distinguir dado que...
(...) más allá de enseñar a usar los bocetos, se fue evidenciando que los alumnos movieron el punto sobre el eje X y empezaron a comentar por sí solos sin que se les preguntara sobre el comportamiento dinámico del boceto.

Boceto que estaban explorando en un tácito análisis colorido de la función.
Así, con un boceto preliminar (continuo a trazos en el que no quedaba señalada la ordenada en el eje Y)...
(...) enseguida explicaron que "cambiaba de color según subía o bajaba la gráfica de la función" e inmediatamente supieron leer el crecimiento de izquierda a derecha (sin indicarles nada). También notaron que el color entre la curva y el eje X dependía del signo de “y”, lo que... más allá de lo espontáneo, se subrayaba por otros motivos.

Lo rescatable para la profesora parecía centrarse en que asumían ese quehacer matemático mejorando durante el desenvolvimiento, las estrategias para ir identificando indicios, y compartiéndolas con sus compañeros.

En tal sentido, la profesora distinguió algunas ventajas respecto de este medio diseñado para que el análisis surgiera sin los requerimientos de saberes previos que demanda la herramienta de Mode functioninspector.svg Inspección de funciones con la que se planteaba trabajar en un segundo momento. Por ejemplo...
(...) que no hubo que repetir que el análisis gráfico de una función se hace de izquierda a derecha, lo que la llevó a interpretar que... descubrían sin confundirse los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Sus conclusiones avanzan más allá de los contenidos en juego, para darle entidad al cambio del contrato pedagógico durante la actividad propuesta...

(...) en la clase tradicional hay que repetir varias veces la lectura de izquierda a derecha y por eso, cuando ven una gráfica, dicen que es creciente en secciones donde es decreciente (porque lo miran al revés)...
un dato no menor
Enfatiza en lo que rescata cómo quedan identificadas las cuestiones más rápidamente y sin errores así como que se ahorra el tiempo, porque generalmente se tienen que presentar muchos ejemplos gráficos para que incorporen la lectura correcta de gráficos y, sobre todo, la dinámica a partir de la que los conceptos quedan claros aunque no sean formalmente enunciados. Es más fácil trabajar sobre el boceto y luego, acaso en una institucionalización compartida, formalizar los conceptos.

Las intervenciones que registra incluyen, más que las explicaciones, las preguntas
(...) Cuando analizamos el crecimiento les pregunté entre qué valores de x la función subía, bajaba o amesetaba la cuesta (sin hablar de intervalo, ni tipo de crecimiento) y lo resolvieron enseguida.
Añade, en una puesta en acto de lo que suele enunciarse como propio de la dialéctica herramienta-objeto que, sin depositar exclusivamente las expectativas en lo experimental...
"Luego se formalizó''

Análisis a Posteriori

En un análisis a posteriori en el que se virtualmente dialoga con sus eventuales colegas, se detiene para hacer algunas consideraciones...
(...) Recomendaría preparar una serie de preguntas, por una cuestión de orden y para que no se escape ningún detalle.(...) Además... le recomendaría al docente que cuando le dé el boceto al alumno, tenga la precaución de guardarlo con el punto ubicado a la izquierda del inicio del dominio (para que cuando lo abra, lo encuentro listo para trabajar).

Deja también alguna atendible sugerencia para quienes diseñamos el boceto:

(...) Con respecto al boceto en sí, creo que no es necesario que se vaya marcando sobre el eje y la imagen de la función (que es lo que pedí para el segundo boceto y que no tenía el preliminar que me prepararon). Más que nada, porque queda marcado como un punto y puede confundir (la coordenada es un punto lo cual no es rigurosamente correcto). Aunque en mi experiencia, mis alumnos no tuvieron problema al respecto.

(...) el boceto para compartir en la wiki, debería tener dominio acotado a la izquierda e infinito a la derecha, de tal manera que se pueda recorrer todo el dominio desde el principio. (...)
.
Esto, por una cuestión de consistencia, explica, ya que...
la indicación de moverse de izquierda a derecha, si se quisiera analizar todo el dominio de un dominio infinito a la izquierda, debiera obviarse porque haría necesario volver para atrás, lo que contradice la indicación del boceto.

Nos aclara que lo puntualiza...
Pero es un detalle

Así, más allá de la gentileza de la solicitud, demuestra la profundidad de la reflexión sobre la práctica.
Reflexión en la que integra el diseño del medio y su articulación con la acción que espera se desencadene, observando la coherencia entre la organización disciplinar, didáctica e instrumental.




Tutorial: ¿Cómo sumar Comandos a la Construcción? Diseño de Taller LMS

Desde el Cuadrado

Chiquicientas formas de Trazar un Cuadrado

Para algunas de las posibles construcciones del cuadrado (que resista las pruebas de tironeo) se suelen emplear herramientas como las listadas. Conviene, antes de ponerlas en juego en alguna de las variantes de trazado que se intenten, llegar a dominar su empleo:

Mode move.png Elige y Mueve
Tool Regular Polygon.gif Polígono regular
Mode showhideobject.png Objeto (in)visible
Tool Move Graphics View.gif Desplaza Vista Gráfica

Preparativos

Cuadrados Variados con sus Variantes

Es posible construir un cuadrado de muchas y diversas maneras, empezando por...

  • la más directa (empleando la herramienta de Polígono regular, indicando un 4 en la caja de diálogo que se despliega tras marcar el par de puntos que determinarán el par de vértices de uno de los lados.
    Nota: Para un hexágono, habría que ingresar 6 y así según el polígono que se desee
  • una interesante es la que apela a uno de los Teoremas de Thales y que se desarrolla en la sección correspondiente,
  • las que aparecen en otros tutoriales que se pueden recorrer, como el Cuadradeando
  • las que se pueden lograr con las herramienta de transformación (ver ejemplo en esta misma sección).

... a continuación se describe una variante (La de Mileto) asociada al segundo teorema de Thales y en Cuadrileteando, una modalidad con variantes sofisticadas al punto que se incluye un campo de entrada para establecer la longitud del lado.

La de Mileto... Recuerdos ¿escolares?...

Antes de empezar, conviene recordar una propiedad asociada al segundo teorema de Thales que puede rememorarse en acto revisando la aplicación Theorem_Thales.html y/o llevando adelante la siguiente construcción, para la que vale ir alistando estas herramientas:

Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz
Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia
Mode point.png Punto
Tool Polygon.gif Polígono
Tool Angle.gif Ángulo
Mode move.png Elige y Mueve
Tool Intersect Two Objects.gif Intersección
Tool Midpoint or Center.gif Medio o Centro
Tool Reflect Object in Point.gif Simetría Central

Rectos Dinámicos

Rectos a la Mileto

LMS de Centro Babbage
Nombre Herramientas Definición
1 Punto A Mode point.png  
2 Punto B Mode point.png  
3 Arco c Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia a través de A y B

Esta es la primera semicircunferencia, a oculta a posteriori.

4 Recta a Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz A, B

Esta mediatriz permitirá establecer los puntos en que, además de rectángulo, el triángulo formado por el diámetro y el par de segmentos que confluyen sobre un punto de la semicircunferencia, es isósceles.

5 Punto D Tool Intersect Two Objects.gif Punto de intersección de c, a
6 Punto E Tool Midpoint or Center.gif Punto Medio de A, B
7 Punto D' Tool Midpoint or Center.gif D reflejado en E Este punto permite establecer, junto con el anterior, el par necesario para trazar otra semicircunferencia, adecuada para contar con un vértice más, el del rectángulo o cuadrado en marcha.
8 Arco d Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia a través de D y D' Semicircunferencia adicional, sobre la que se trazará el vértice del rectángulo o cuadrado en marcha, a representar.
9 Punto C Mode point.png Punto sobre d
10 Punto C' Tool Reflect Object in Point.gif C reflejado en E

Este punto adicional, reflejo de C en el punto medio E, operará como el cuarto del rectángulo o cuadrado en marcha.

11 Cuadrilátero cuadri Tool Polygon.gif Polígono B, C, A, C' Este dibujo representará a un rectángulo y a un cuadrado cuando quede ubicado uno de los vértices sobre el punto en que la semicircunferencia se interseca con una mediatriz, la del diámetro (o de una de las diagonales del cuadrilátero trazado).
12 Ángulo α Tool Angle.gif Ángulo de cuadri

De Estrella a Cuadrado

Estrellas Fraccionadas a Polígonos y...¿Cuadrados?

Se ofrece un escenario creado para establecer construcciones, a partir de una circunferencia en que se gira una fracción de vuelta un segmento de radio para unir los vértices.

Nota: Según el valor que se le asigne a los deslizadores -numerador y denominador - se conforma un dibujo que puede resultar, eventualmente, representativo de un Polígono regular.

El desafío, tras una serie de exploraciones más o menos libres que lleven a encontrar las relaciones causales entre los valores de los deslizadores y el resultado gráfico, sería:

  • establecer los distintos valores de la fracción expuesta que permita obtener el dibujo representativo del cuadrado. Sea...
    • directamente dado que lo que se evidencia es el dibujo de una figura de cuatro lados, por lo pronto
    • indirectamente dado que lo que se evidencia es un dibujo tal que uniendo algunos de los puntos que quedan expuestos con la Herramienta de Polígono lleva a la representación de un cuadrado.
Nota:
Ver también los Tutoriales Diagonales Cuadradas; Preparaciones Espiraladas y Resolver Problemas Ilustrándolos (de Diseño de Centro Babbage))

Polígonos y Estrellas Fraccionadas

En la figura pueden verse:

  • el contenido de la Vista Gráfica del escenario en cuestión para una instancia acorde a los valores asignados a los deslizadores - Numerador y Denominador - que determinan la Fracción de giro de la vuelta para establecer cada vértice sobre la circunferencia
Vértices.PNG

Boceto Estrellado Dinámico

Fracciones Equivalentes y Análisis Discreto

El análisis de los resultados gráficos que se evidencian en el dibujo, relacionados a los valores que se le asignan a los deslizadores, desencadena la necesidad de establecer recursos propios de la matemática discreta que podrían abrir un temario acorde.

Circulando de inscriptos a circunscriptos

Circunscribir desde un Triángulo a un Cuadrilátero

Dicen que, en tanto tres puntos no alineados determinan una circunferencia, todo triángulo puede quedar inscripto certeramente. También afirman que un cuadrilátero, en tanto compuesto por dos triángulos, no siempre podrá ser circunscripto y solo será, entonces cíclico cuando se cumplan ciertas condiciones. En el caso del cuadrado, no hay dudas al respecto. Quedan en cuestión, entonces, los restantes cuadriláteros que podremos analizar. Empezando, entonces, por un triángulo, pasemos a considerar los siguientes casos.

Empezando por el Triángulo

Para trazar la circunferencia que circuncribe a un Tool Polygon.giftriangulo, puede usarse exclusivamente la Tool Circumcircular Arc 3Points.gif herramienta específica o el conjunto de las siguiente:

Tool Polygon.gif Polígono
Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz
Tool Intersect Two Objects.gif Intersección
Tool Circle Center Point.gif Circunferencia (centro-punto)
Mode move.png Elige y Mueve

Preparativos

Basta con...

  • Abrir una Nueva Ventana de GeoGebra
  • Seleccionar, en el Menú Apariencias la adecuada - por ejemplo, Geometría.
  • Activar, la Barra de Estilo de Vista Gráfica
  • Determinar, en el Menú de Opciones respecto del Rotulado, que afecte Solo a los Nuevos Puntos.
3 circle.PNG

Pasos de Construcción

  • Trazar...
    • un Tool Polygon.gif triángulo cualquiera
    • la Tool Perpendicular Bisector.gif mediatriz de cada uno de sus lados - al menos, de un par de ellos-
    • sl Tool Intersect Two Objects.gif punto de intersección de un par de mediatrices.
      Bulbgraph.pngAtención: No siendo posible emplear esta herramienta para establecer la intersección de las tres mediatrices, es posible encontrar la de solo un par de ellas o, directamente, indicar el punto que corresponde cuando el puntero se vincule a la lista de objetos que confluyen en tal posición.
  • una Tool Circle Center Point.gif circunferencia con centro en el punto de intersección que pase por cualquiera de los vértices del triángulo.
  • Controlar ahora la construcción...
    • Sometiendo a los elementos en juego a la prueba de arrastre, de modo tal que en tofos los casos se mantenga circunscripto adecuadamente el triángulo.

Ampliando la Circuncripción

  • Considerar...
    • sobre qué arco de la circunferencia se podría establecer un cuarto vértice de un cuadrilátero en marcha para que su diagonal resulte uno de los lados del triángulo trazado
    • hacer el intento y considerar qué tipos de cuadriláteros se pueden trazar manteniendo la condición de quedar circunscriptos por la circunferencia trazada.
Bulbgraph.pngAtención: Indagar, recíprocamente, qué tipo de cuadriláteros resultan cíclicos en una construcción como la que aparece a continuación.

Cuadriláteros Clasificados y ¿Cíclicos?

En el escenario dinámico que se ofrece a continuación es posible explorar e indagar qué relaciones vinculan a los cuadriláteros de distinto tipo con la condición de cíclicos:

Ciclando en Lógicas Implicaciones

En el recíproco escenario dinámico, desarrollado para otro de los talleres de Centro Babbage, se controla recíprocamente, a partir de la condición de cíclico del cuadrado, qué otras variantes de cuadriláteros cumplen condiciones que pueden encontrarse lógicamente vinculadas:

Considerando la Construcción de Tangentes a una Circunferencia

Repasando uno de los métodos para trazar el par de tangentes a una circunferencia desde un punto exterior y teniendo en cuenta que además de las herramientas disponibles se puede apelar a cualquiera de los comandos que aparecen en el listado que se despliega a la derecha de la Barra de Entrada, es posible encontrar una nueva estrategia para la construcción del cuadrado.

Pasos de Construcción

En esta ocasión, en lugar de hacer uso de las herramientas, se realizará la construcción anotando lo necesario en la Barra de Entrada como si de tratara de una situación en que, por algún motivo, no se pudiera contar con el ratón o mouse.

1 A_p = (0, 0) Punto A
Note Aviso: El subguión permite establecer a p como subíndice de A
2 (3, 0) Punto B_p
Note Aviso: Si no se especifica un nombre para el punto, se irán nominando en orden alfabético.
3 c = Circunferencia(A_p, B_p) Circunferencia con centro en A_p que pasa por B_p
Note Aviso: La circunferencia es in objeto dependiente
Nota: GeoGebra distingue entre objetos libres y dependientes. Mientras los libres pueden modificarse directamente sea empleando el ratón o mouse o el teclado, los dependientes se adaptan a los cambios que afecten a los objetos de los que se derivan sea que se los afecte o cree a través de uno u otro medio (ratón o teclado).
Bulbgraph.pngAtención: Los puntos que se establecen en un objeto, siendo dependientes, conservan el grado de libertad correspondiente y pueden desplazarse con el ratón o mouse o teclado a lo largo (si se tratara de una recta, curva, cónica....) y a lo ancho del ámbito (sea un polígono, región delimitada por inecuaciones, cuadrante, etc.) en que se originen.

Desafíos sobre los Objetos

Si se selecciona un objeto, sea en la Vista Gráfica o en la algebraica, con un doble clic, se puede modificar, sea su definición o sus datos usando el teclado y finalizando la operación pulsando la tecla Enter (o Intro en otros teclados).

Los objetos libres y hasta cierto punto algunos de los dependientes que conservan grados de libertad, se pueden desplazar empleando las teclas de flechas.
Ejemplo: Se pueden desplazar los puntos libres hacia arriba y abajo o a izquierda y derecha con las teclas de fecha correspondientes.
4 C_p = (5, 4) Punto C_p
5 d = Semicircunferencia(B_p, C_p) Semicircunferencia entre B_p y C_p
6 E_p = Interseca(c, d) Punto E_p de intersección entre la circunferencia y la semicircunferencia
7 tan_1 = Semirrecta(C_p, E_p) Esta es una de las tangentes que desde el punto C_p pasa por el punto E_p de la circunferencia en juego.
8 sr = Semirrecta(C_p, A_p) Esta es la semirrrecta desde el punto exterior al centro de la circunferencia.
8 Refleja(tan_1, sr) Con esta maniobra de reflexión, queda trazada la otra tangente así como el punto de tangencia sobre la circunferencia.

Tan 1.PNGTan 2.PNG

Construcción Controlada y Mejorada

  • Para corroborar, al menos de modo preliminar, que la construcción de sendas tangentes es válida a nivel general, conviene realizar...
    • la prueba de arrastre de cada uno de los elementos en juego para verificar que todos mantiene relaciones adecuadas
  • Para mejorar el aspecto del boceto, se puede apelar al cambio de propiedades de los objetos a fin establecer...
    • con pistas visuales cuáles son los elementos auxiliares y cuáles los que se desea destacar (reservando el punteado para los auxiliares, por ejemplo....)
    • empleando el contraste en los colores, grosores de trazo y estilo para mejorar el diseño general
  • Para evitar la superabundancia de referencias en la Vista Algebraica, establecer algunos objetos como auxiliares y conservar la opción que fija que no se expongan
  • Recurrir a comandos toda vez que esto evite la proliferación de trazados auxiliares con herramientas.
    Note Aviso: Hay opciones de comandos que no están disponibles en forma directa con herramientas o que requieren una secuencia de maniobras que pueden, en cambio, sintetizarse a través del ingreso adecuado en la Barra de Entrada.
  • Para aprovechar el mecanismo de esta construcción, basta con establecer...
    • sobre la semirrecta que pasa por el centro de la circunferencia desde el punto exterior original, uno que esté a la distancia necesaria como para que conforme, con los radios que unen el centro con los puntos de tangencia, la diagonal del cuadrado que se procura
      Tan3.PNG
    • unir este punto con los respectivos de tangencia y el centro como secuencia de vértices del cuadrado en marcha
      Tangente 1.PNG

Cuadrática Polinomial Deslizada

Si se ingresa en la Barra de Entrada x^2 y se pulsa Enter (o Intro en otros teclados), aparecerá en la Vista Gráfica una función cuadrática. Si se la selecciona, al pulsar las teclas de flecha, podemos notar que se desplaza su representación y se modifica la formulación correspondiente en la Vista Algebraica. Una exploración sistemática permite esclarecer la relación entre estos intentos y sus consecuencias. Se puede registrar, por ejemplo, el efecto de pulsar:

  • El desafío es establecer cuál es el impacto de cada una de estas maniobras sobre...
    • el gráfico
    • la fórmula
  • Redefinir la función ingresada, con un doble clic sobre su registro en la Vista Gráfica o en la Algebraica, anotando ahora 3 x^2 y reintentando las maniobras previas para re-indagar su efecto.

Hacia la Polinómica Deslizada

Antes de pasar a cambiar el registro algebraico de la representación de la función, pasamos a crear tres deslizadores que harán las veces de coeficientes de la versión polinómica.
1 a =1 Crear la variable a = 1
2 Exponer la variable a como un deslizador en la Vista Gráfica.
Note Aviso: Se puede Con un clic derecho (en MacOS: Ctrl + clic) sobre la variable en la Vista Algebraica, se puede seleccionar Muestra Objeto en el Menú Contextual que se despliega o pulsar en el redondelito a la derecha del objeto en esa cista.
3 a x^2 Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 y pasar al tipo de registro algebraico polinómico.
Note Aviso: La a y la x (es decir la expresión x^2), debe estar separadas por un espacio o por el asterisco *.
4 Mode slider.png Crear un deslizador b con la herramienta correspondiente.
Note Aviso: Una vez activada la herramienta basta con un clic en la Vista Gráfica y, aceptando los valores por omisión, pulsar el botón Aplica.
5 a x^2 + b x Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x.
Note Aviso: GeoGebra reescribe la función si en lugar de redefinirla se anota la nueva formulación, con el mismo nombre, digamos f, en la Barra de Entrada.
6 Mode slider.png Crear un deslizador c con la herramienta correspondiente.
Note Aviso: Esta vez, conviene pasar a la pestaña Deslizador de la Caja de Diálogo de la herramienta para establecer como orientación la Vertical en lugar de la Horizontal. Otro tanto puede hacerse con a y b además de cambiar sus colores en el caja de diálogo de propiedades de uno y otro deslizador.
7 a x^2 + b x + c Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x + c.
8 a x^2 + b x + c Arrastrar, desde la Vista Algebraica el registro de la fórmula de la función hacia la Vista Gráfica como para acomodarla bajo cada uno de los deslizadores, tal como se ilustra en la figura.
9 a x^2 + b x + c Llevar adelante las maniobras que permitan establecer las raíces reales en el gráfico (de tener raíces reales la polinómica), el vértice, la tangente en el vértice y en cuadrilátero conformado por estos puntos, tal como se ilustra en la figura.
10 a x^2 + b x + c El desafío es encontrar los valores de los coeficientes de la polinómica de modo tal que el cuadrilátero determinada sea el dibujo representativo del cuadrado.
Cuadri cuadrática.PNG

Cuadrileteando

Nombre Herramientas Definición
1 Punto A Mode point.png
2 Punto B Mode point.png
3 Punto Ca Mode point.png Punto sobre Segmento(A, B)
4 Punto C'a Tool Rotate Object around Point by Angle.gif Ca rotado por el ángulo 90°
5 Arco arc Tool Circle Arc Center 2Points.gif ArcoCircunferencia(A, Ca, C'a)
6 Punto Darc Mode point.png Punto sobre arc
7 Semirrecta e Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por Darc con dirección Vector[B, Darc]
8 Punto D Mode point.png Punto sobre e
9 Punto Da Tool Midpoint or Center.gif Punto Medio de B, Darc
10 Punto A' Tool Reflect Object in Point.gif A reflejado en Da
11 Semirrecta b2 Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por A' con dirección Vector[A, B]
12 Punto C Mode point.png Punto sobre b2
13 Cuadrilátero cuad Tool Polygon.gif Polígono A, B, C, D

Chiquicientos_1

LMS de Centro Babbage

Variante con Transformaciones

Variante de Construcción Dinámica

Nombre Herramienta Definición
1 Punto Aa Mode point.png  
2 Punto Ba Mode point.png  
3 Recta ra Tool Line through Two Points.gif Recta que pasa por Aa, Ba sobre la que se trazará el primer lado del cuadrilátero en marcha
4 Punto A Mode point.png Punto sobre ra que será el primer vértice del cuadrilátero en marcha
5 Número lado1 Mode slider.png Número expuesto como deslizador que establecerá las unidades de longitud del primer lado
6 CajaDeEntrada Longirud Tool Insert Textfield.gif CasillaEntrada(lado1) en que se puede ingresar el valor que tomará el número y determinará la longitud del primer lado,
7 Punto B Mode point.png Traslada A por lado1 VectorUnitario(ra) de modo de establecer el segundo vértice del cuadrilátero en marcha al fijar una distancia desde el primero...
  • acorde a la longitud que se ingresara en el campo de la casilla de entrada...
  • entrada que da valor al número correspondiente lado1
8 Semirrecta aa Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por Traslada(A, Vector(lado1 VectorUnitarioPerpendicular(ra))) con dirección VectorUnitarioPerpendicular(ra).

Esta semirrecta parte del punto que se traslada sobre el vector perpendicular al primer lado una distancia igual a lado1 con la dirección y orientación de tal vector. Esto permitirá colocar la semirrecta del lado opuesto al primero, a una distancia tal que permita un cuadrado o, mayor, para un rectángulo, por ejemplo.

9 Punto Ca Mode point.png Punto sobre aa. Es decir, sobre la semirrecta recién trazada,
10 Arco e Tool Circle Arc Center 2Points.gif

ArcoCircunferencia(A, A + Distancia(A, Ca) VectorUnitario(ra), Ca)

Es el arco que permite colocar un punto para inclinar la semirrecta sobre la que se quiera establecer el tercer vértice del cuadrilátero en marcha.

11 Punto Da Mode point.png Punto sobre e.

Este será el punto para inclinar la semirrecta en que se ubicará el tercer vértice del cuadrilátero en marcha.

12 Semirrecta ba Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por Da + lado1 con dirección VectorUnitario(ra)

Esta es la semirrecta que puede inclinarse y sobre la que puede deslizarse luego el tercer vértice del cuadrilátero en marcha.

13 Punto C Mode point.png Punto sobre ba

Este es el punto que determina el tercer vértice del cuadrilátero en marcha,

14 Punto D Mode point.png Punto sobre Segmento(Ca, Traslada(C, Vector(-lado1 VectorUnitario(ra)))),

Este es el punto en el segmento sobre el que se ubica como cuarto punto vértice del cuadrilátero en marcha, de modo que...

  • en uno de los extremos establece un lado igual al opuesto, el primero, de longitud fijada por el número-deslizador acorde al valor ingresado en el campo de texto
  • en el otro, coincide y se superpone a Da.
16 Cuadrilátero cua Tool Polygon.gif Polígono A, B, C, D.

¡Este es el cuadrilátero, finalmente!

¿Cómo lograr que resulte cuadrado...

.... el dibujo representativo? ¿o rectángulo, o rombo, o trapecio o trapezoide, desplazando los puntos adecuados?

© 2020 International GeoGebra Institute