Tutorial:Comandos en las Construcciones

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Tutorial: ¿Cómo sumar Comandos a la Construcción? Diseño del Centro Babbage

Chiquicientas formas de Trazar un Cuadrado

Para algunas de las posibles construcciones del cuadrado se suelen emplear herramientas como las listadas. Conviene, antes de ponerlas en juego en alguna de las variantes de trazado que se intenten, llegar a dominar su empleo:

Tool Move.gif Elige y Mueve
Tool Regular Polygon.gif Polígono Regular
Tool Show Hide Object.gif Expone / Oculta Objeto
Tool Move Graphics View.gif Desplaza Vista Gráfica

Preparativos

Cuadrados Variados con sus Variantes

Es posible construir un cuadrado de muchas y diversas maneras, empezando por...

  • la más directa (empleando la herramienta de polígono regular, indicando un 4 en la caja de diálogo que se despliega tras marcar el par de puntos que determinarán el par de vértices de uno de los lados.
    Nota: Para un hexágono, habría que ingresar 6 y así según el polígono que se desee
  • una interesante es la que apela a uno de los Teoremas de Thales y que se desarrolla en la sección correspondiente,
  • las que aparecen en otros tutoriales que se pueden recorrer, como el Cuadradeando
  • las que se pueden lograr con las herramienta de transformación (ver ejemplo en esta misma secció).

... a continuaciòn se describe una variante (La de Mileto) asociada al segundo teorema de Thales y en Cuadrileteando, una modalidad con variantes sofisticadas al punto que se incluye un campo de entrada para establecer la longitud del lado.

La de Mileto... Recuerdos ¿escolares?...

Antes de empezar, conviene recordar una propiedad asociada al segundo teorema de Thales que puede rememorarse en acto revisando la aplicación Theorem_Thales.html y/o llevando adelante la siguiente construcción, para la que vale ir alistando estas herramientas:

Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz
Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia dados dos puntos
Tool New Point.gif Nuevo Punto
Tool Polygon.gif Polígono
Tool Angle.gif Ángulo
Tool Move.gif Elige y Mueve
Tool Intersect Two Objects.gif Intersección de Dos Objetos
Tool Midpoint or Center.gif Punto Medio o Centro
Tool Reflect Object in Point.gif Refleja Objeto por Punto

Rectos Dinámicos

Rectos a la Mileto

Liliana Saidón de Cenro Babbage
Nombre Herramientas Definición
1 Punto A Tool New Point.gif  
2 Punto B Tool New Point.gif  
3 Arco c Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia a través de A y B

Esta es la primera semicricunferencia, a oculat a posteriori.

4 Recta a Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz A, B

Esta mediatriz permitirá establecer los puntos en que, además de rectángulo, el triángulo formado por el diámetro y el par de segmentos que confluyen sobre un punto de la semicricunferencia, es isósceles.

5 Punto D Tool Intersect Two Objects.gif Punto de intersección de c, a
6 Punto E Tool Midpoint or Center.gif Punto Medio de A, B
7 Punto D' Tool Midpoint or Center.gif D reflejado en E Este punto permite establecer, junto con el anterior, el par necesario para trazar otra semicircunferencia, adecuada para contar con un vértice más, el del rectángulo o cuadrado en marcha.
8 Arco d Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia a través de D y D' Semicircunferencia adicional, sobre la que se trazará el vértice del rectángulo o cuadrado en marcha, a representar.
9 Punto C Tool New Point.gif Punto sobre d
10 Punto C' Tool Reflect Object in Point.gif C reflejado en E

Este punto adicional, reflejo de C en el punto medio E, operará como el cuarto del rectángulo o cuadrado en marcha.

11 Cuadrilátero cuadri Tool Polygon.gif Polígono B, C, A, C' Este dibujo representará a un rectángulo y a un cuadrado cuando quede ubicado uno de los vértices sobre el punto en que la semicircunferencia se interseca con una mediatriz, la del diámetro (o de una de las diagonales del cuadrilátero trazado).
12 Ángulo α Tool Angle.gif Ángulo de cuadri

Estrellas Fraccionadas a Polígonos y...¿Cuadrados?

Se ofrece un escenario creado para establecer construcciones, a partir de una circunferencia en que se gira una fracción de vuelta un segmento de radio para unir los vértices.

Nota: Según el valor que se le asigme a los deslizadores -numerador y denominador - se conforma un dibujo que puede resultar, eventualmente, representativo de un polígono regular.

El desafío, tras una serie de exploraciones más o menos libres que lleven a encontrar las relaciones causales entre los valores de los deslizadores y el resultado gráfico, sería:

  • establecer los distintos valores de la fracción expuesta que permita obtener el dibujo representativo del cuadrado. Sea...
    • directamente dado que lo que se evidencia es el dibujo de una figura de cuatro lados, por lo pronto
    • indirectamente dado que lo que se evidencia es un dibujo tal que uniendo algunos de los puntos que quedan expuestos con la Herramienta de Polígono lleva a la representación de un cuadrado.

Polígonos y Estrellas Fraccionadas

En la figura pueden verse:

  • el contenido de la Vista Gráfica del escenario en cuestión para una instancia acorde a los valores asignados a los deslizadores - Numerador y Denominador - que determinanh la Fracción de giro de la vuelta para establecer cada vértice sobre la circunferencia
Vértices.PNG
Verticeando .PNG

Boceto Estrellado Dinámico

Fracciones Equivalentes y Análisis Discreto

El análisis de los resultados gráticos que se evidencian en el dibujo, relacionados a los valores que se le asignan a los deslizadores, desencadena la necesidad de establecer recursos propios de la matemática discreta que podrían abrir un temario acorde.

Circunscribir desde un Triángulo a un Cuadrilátero

Dicen que, en tanto tres puntos no alineados determinan una circunfewrencia, todo triçangulo puede quedar inscripto certeramente. También afirman que un cuadrilátero, en tanto compuesto por dos triángulos, no siempre podrá ser circunscripto y sólo será, entonces cíclico cuando se cumplan ciertas condiciones. En el caso del cuadrado, no hay dudas al respecto. Quedan en cuestión, entonces, los restantes cuadriláteros que podremos analizar. Empezando, entonces, por un triángulo, pasemos a considerar los siguientes casos.

Empezando por el Triángulo

Para trazar la circunferencia que circuncribe a un |Tool Polygon.gif||triangulo, puede usarse exclusivamente la Tool Circumcircular Arc 3Points.gif herramienta específica o el conjunto de las siguiente:

Tool Polygon.gif Polígono
Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz
Tool Intersect Two Objects.gif Intersección de Dos Objetos
Tool Circle Center Point.gif Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Tool Move.gif Elige y Mueve

Preparativos

Basta con...

  • Abrir una Nueva Ventana de GeoGebra
  • Seleccionar, en el Menú Apariencias la adecuada - por ejemplo, Geometría.
  • Activar, la Barra de Estilo de Vista Gráfica
  • Determinar, en el Menú de Opciones respecto del Rotulado, que afecte Sólo a los Nuevos Puntos.
3 circle.PNG

Pasos de Construcción

  • Trazar...
    • Un Tool Polygon.gif||triángulo cualquiera
    • La Tool Perpendicular Bisector.gif||mediatriz de cada uno de sus lados - al menos, de un par de ellos-
    • El Tool Intersect Two Objects.gif||punto de intersección de un par de mediatrices.
      Alerta Alerta: No siendo posible emplear esta herramienta para establecer la intersección de las tres mediatrices, es posible encontrar la de sólo un par de ellas o, directamente, indicar el punto que corresponde cuando el puntero se vincule a la lists de objetos que confluyen en tal posición.
    • Una Tool Circle Center Point.gif||circunferencia con centro en el punto de intersección que pase por cualquiera de los vértices del triángulo.
  • Controlar ahora la construcción...
    • Sometiendo a los elementos en juego a la prueba de arrastre, de modo tal que en tofos los casos se mantenga circunscripto adecuadamente el triángulo.

Ampliando la Circuncripción

  • Considerar...
    • sobre qué arco de la circunferencia se podría establecer un cuarto vértice de un cuadrilátero en marcha para que su diagonal resulte uno de los lados del triángulo trazado
    • hacer el intento y considerar qué tipos de cuadriláteros se pueden trazar manteniendo la condición de quedar circunscriptos por la circunferencia trazada.
Note Aviso: Indagar, recíprocamente, qué tipo de cuadriláteros resultan cíclicos en una construcción como la que aparece a continuación.

Cuadriláteros Clasificados y ¿Cíclicos?

En el escenario dinámico que se ofrece a continuación es posible explorar e indagar qué relaciones vinculan a los cuadriláteros de distinto tipo con la condición de cíclicos:

Considerando la Construcción de Tangentes a una Circunferencia

Repasando uno de los métodos para trazar el par de tangentes a una circunferencia desde un punto exterior y teniendo en cuenta que además de las herramientas disponibles se puede apelar a cualquiera de los comandos que aparecen en el listado que se despliega a la derecha de la Barra de Entrada, es posible encontrar una nueva estrategia para la construcción del cuadrado.

Pasos de Construcción

En esta ocasión, en lugar de hacer uso de las herramientas, se realizará la construcción anotando lo necesario en la Barra de Entrada como si de tratara de una situación en que, por algún motivo, no se pudiera contar con el ratón o mouse.

1 A_p = (0, 0) Punto A
Note Aviso: El subguión permite establecer a p como subíndice de A
2 (3, 0) Punto B_p
Note Aviso: Si no se especifica un nombre para el punto, se irán nominando en orden alfabético.
3 c = Cirunferencia[A_p, B_p] Circunferencia con centro en A_p que pasa por B_p
Note Aviso: La circunferencia es in objeto dependiente
Nota: GeoGebra distingue entre objetos libres y dependientes. Mientras los libres pueden modificarse directamente sea empleando el ratón o mouse o el traclado, los dependientes se adaptan a los cambios que afecten a los objetos de los que se derivan sea que se los afecte o cree a través de uno u otro medio (ratón o teclado).
Note Aviso: Los puntos que se establecen en un objeto, siendo dependientes, conservan el grado de libertad correspondiente y pueden desplazarse con el ratón o mouse o teclado a lo largo (si se tratara de una recta, curva, cónica....) y a lo ancho del ámbito (sea un polígono, región delimitada por inecuaciones, cuadrante, etc.) en que se originen.

Desafíos sobre los Objetos

Si se selecciona un objeto, sea en la Vista Gráfica o en la algebraica, con un doble clic, se puede modificar, sea su definición o sus datos usando el teclado y finalizando la operación pulsando la tecla Enter (o Intro en otros teclados).

Los objetos libres y hasta cierto punto algunos de los dependientes que conservan grados de libertad, se pueden desplazar empleando las teclas de flechas.

Ejemplo: Se pueden desplazar los puntos libres hacia arriba y abajo o a izquierda y derecha con las teclas de fecha correspondientes.
4 C_p = (5, 4) Punto C_p
5 d = Semicircunferencia[B_p, C_p] Semicircunferencia entre B_p y C_p
6 E_p = Intersecta[c, d] Punto E_p de intersección entre la circunferencia y la semicricunderencia
7 tan_1 = Semirrecta[C_p, E_p] Esta es una de las tangentes que desde el punto C_p pasa por el punto E_p de la circunferencia en juego.
8 sr = Semirrecta[C_p, A_p] Esta es la semirrrecta desde el punto exterior al centro de la circunferencia.
8 Refleja[tan_1, sr] Con esta maniobra de reflexión, queda trazada la otra tangente así como el punto de tangencia sobre la cicunferencia.

Tan 1.PNGTan 2.PNG

Construcción Controlada y Mejorada

  • Para corroborar, al menos de modo preliminar, que la construcción de sendas tangentes es válida a nivel general, conviene realizar...
    • la prueba de arrastre de cada uno de los elementos en juego para verificar que todos mantiene relaciones adecuadas
  • Para mejorar el aspecto del boceto, se puede apelar al cambio de propiedades de los objetos a fin establecer...
    • con pistas visuales cuáles son los elementos auxiliares y cuáles los que se desea destacar (reservando el punteado para los auxiliares, por ejemplo....)
    • empleando el contraste en los colores, grosores de trazo y estilo para mejorar el diseño general
  • Para evitar la superabundancia de referencias en la Vista Algebraica, establecer algunos objetos como auxiliares y conservar la opción que fija que no se expongan
  • Recurrir a comandos toda vez que esto evite la proliferación de trazados auxiliares con herramientas.
    Note Aviso: Hay opciones de comandos que no están disponibles en forma directa con herramientas o que requieren una scuencia de maniobras que pueden, en cambio, sintetizarse a través del ingreso adecuado en la Barra de Entrada.
  • Para aprovechar el mecanismo de esta construcción, basta con establecer...
    • sobre la semirrecta que pasa por el centro de la circunferencia desde el punto exterior original, uno que esté a la distancia necesaria como para que conforme, con los radios que unen el centro con los puntos de tangencia, la diagonal del cuadrado que se procura
  • Tan3.PNG
    • unir este punto con los respectivos de tangencia y el centro como secuencia de vértices del cuadrado en marcha
    • Tangente 1.PNG

Cuadrática Polinomial Deslizada

Si se ingresa en la Barra de Entrada x^2 y se pulsa Enter (o Intro en otros teclados), aparecerá en la Vista Gráfica una función cuadráfica. Si se la selecciona, al pulsar las teclas de flecha, podemos notar que se desplaza su representación y se modifica la formulación correspondiente en la Vista Algebraica. Una exploración sistemática permite esclarecer la relación entre estos intentos y sus consecuencias. Se puede registrar, por ejemplo, el efecto de pulsar:

  • El desafío es establcer cuál es el impacto de cada una de estas maniobras sobre...
    • el gráfico
    • la fórmula
  • Redefinir la función ingresada, con un doble clic sobre su registro en la Vista Gráfica o en la Algebraica, anotando ahora 3 x^2 y reintentando las maniobras previas para re-indagar su efecto.

Hacia la Polinómica Deslizada

Antes de pasar a cambiar el registro algebraico de la representación de la función, pasamos a crear tres deslizadores que harán las veces de coeficientes de la versión polinómica.

1 a =1 Crear la variable a = 1
2 Exponer la variable a como un deslizador en la Vista Gráfica.
Note Aviso: Se puede Con un clic derecho right click (en MacOS: Ctrl + clic) spbre la variable en la Vista Algebraica, se puede seleccionar Muestra Objeto en el Menú Contextual que se despliega o pulsar en el redondelito a la derecha del objeto en esa cista.
3 a x^2 Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 y pasar al tipo de registro algebraico polinómiuco.
Note Aviso: La a y la x (es decir la expresión x^2), debe estar separadas por un espacio o por el asterisco *.
4 Tool Slider.gif Crear un deslizador b con la herramienta correspondiente.{{hint|1=Una vez activada la herramienta basta con un clic en la [[Vista Gráfica] y, aceptando los valores por omisión, pulsar el botón Aplica.}}
5 a x^2 + b x Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x.
Note Aviso: GeoGebra reescribe la funcion si en lugar de redefinirla se anota la nueva dormulación, con el mismo nombre, digamos f, en la Barra de Entrada.
6 Tool Slider.gif Crear un deslizador c con la herramienta correspondiente.
Note Aviso: Esta vez, conviene pasar a la pestaña Deslizador de la Caja de Diálogo de la herramienta para establecer como orientación la Vertical en lugar de la Horizontal. Otro tanto puede hacerse con a y b además de cambiar sus colores en la caja de diálogo de propiedades de uno y otro deslizador.
7 a x^2 + b x + c Dar doble clic sobre la función para redefinirla como a x^2 + b x + c.
8 a x^2 + b x + c Arrastrar, desde la Vista Algebraica el registro de la fórmula de la función hacia la Vista Gráfica como para acomodarla bajo cada uno de los deslizadores, tal como se ilustra en la figura.
9 a x^2 + b x + c Llevar adelante las maniobras que permitan establecer las raíces reales en el gráfico (de tener raíces reales la polinómica), el vértice, la tangente en el vértice y en cuadrilátero conformado por estos puntos, tal como se ilustra en la figura.
10 a x^2 + b x + c El desafío es encontrar los valores de los coeficientes de la polinómica de modo tal que el cuadrilátero determinada sea el dibujo representativo del cuadrado.
Cuadri cuadrática.PNG

Cuadrileteando

Nombre Herramientas Definición
1 Punto A Tool New Point.gif
2 Punto B Tool New Point.gif
3 Punto Ca Tool New Point.gif Punto sobre Segmento[A, B]
4 Punto C'a Tool Rotate Object around Point by Angle.gif Ca rotado por el ángulo 90°
5 Arco arc Tool Circle Arc Center 2Points.gif ArcoCircunferencia[A, Ca, C'a]
6 Punto Darc Tool New Point.gif Punto sobre arc
7 Semirrecta e Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por Darc con dirección Vector[B, Darc]
8 Punto D Tool New Point.gif Punto sobre e
9 Punto Da Tool Midpoint or Center.gif Punto Medio de B, Darc
10 Punto A' Tool Reflect Object in Point.gif A reflejado en Da
11 Semirrecta b2 Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por A' con dirección Vector[A, B]
12 Punto C Tool New Point.gif Punto sobre b2
13 Cuadrilátero cuad Tool Polygon.gif Polígono A, B, C, D

Chiquicientos_1

Liliana Saidón de Cenro Babbage

Variante con Herramientas de Transformación

Variante de Construcción Dinámica

en:Tutorial:Geometric Constructions & Use of Commands

Nombre Herramienta Definición
1 Punto Aa Tool New Point.gif  
2 Punto Ba Tool New Point.gif  
3 Recta ra Tool Line through Two Points.gif Recta que pasa por Aa, Ba sobre la que se trazará el primer lado del cuadrilátero en marcha
4 Punto A Tool New Point.gif Punto sobre ra que será el primer vértice del cuadrilátero en marcha
5 Número lado1 Tool Slider.gif Número expuesto como deslizador que establecerá las unidades de longitud del primer lado
6 CampoDeTexto Longirud Tool Insert Textfield.gif CasillaDeEntrada[lado1] en que se puede ingresar el valor que tomará el número y determinará la longitud del primer lado,
7 Punto B Tool New Point.gif Traslada A por lado1 VectorUnitario[ra] de modo de establecer el segundo vértice del cuadrilátero en marcha al fijar una distancia desde el primero...
  • acorde a la longitud que se ingresara en el campo de la casilla de entrada...
  • entrada que da valor al número correspondiente lado1
8 Semirrecta aa Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por Traslada[A, Vector[lado1 VectorUnitarioPerpendicular[ra]]] con dirección VectorUnitarioPerpendicular[ra].

Esta semirrecta parte del punto que se traslada sobre el vector perpendicular al primer lado una distancia igual a lado1 con la dirección y orientación de tal vector. Esto permitirá colocar la semirrecta del lado opuesto al primero, a una distancia tal que permita un cuadrado o, mayor, para un rectángulo, por ejemplo.

9 Punto Ca Tool New Point.gif Punto sobre aa. Es decir, sobre la semirrecta recién trazada,
10 Arco e Tool Circle Arc Center 2Points.gif

ArcoCircunferencia[A, A + Distancia[A, Ca] VectorUnitario[ra], Ca]

Es el arco que permite colocar un punto para inclinar la semirrecta sobre la que se quiera establecer el tercer vértice del cuadrilátero en marcha.

11 Punto Da Tool New Point.gif Punto sobre e.

Este será el punto para inclinar la semirrecta en que se ubicará el tercer vértice del cuadrilátero en marcha.

12 Semirrecta ba Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por Da + lado1 con dirección VectorUnitario[ra]

Esta es la semirrecta que puede inclinarse y sobre la que puede deslizarse luego el tercer vértice del cuadrilátero en marcha.

13 Punto C Tool New Point.gif Punto sobre ba

Este es el punto que determina el tercer vértice del cuadrilátero en marcha,

14 Punto D Tool New Point.gif Punto sobre Segmento[Ca, Traslada[C, Vector[-lado1 VectorUnitario[ra]]]],

Este es el punto en el segmento sobre el que se ubica como cuarto punto vértice del cuadrilátero en marcha, de modo que...

  • en uno de los extremos establece un lado igual al opuesto, el primero, de longitud fijada por el número-deslizador acorde al valor ingresado en el campo de texto
  • en el otro, coincide y se superpone a Da.
16 Cuadrilátero cua Tool Polygon.gif Polígono A, B, C, D.

¡Este es el cuadrilatero, finalmente!

¿Cómo lograr que resulte el dibujo representativo del cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio o trapezoide, desplazando los puntos adecuados?

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