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==Construcción de un Cuadrado==
 
==Construcción de un Cuadrado==

Revisión del 04:26 27 abr 2018


Construcción de un Cuadrado

Para esta actividad, utilizarás las siguientes herramientas. Asegúrate de saber cómo se utiliza cada una antes de comenzar con la construcción del cuadrado en sí.

Tool Segment between Two Points.gif Segmento
Tool Perpendicular Line.gif Recta perpendicular
Tool Line through Two Points.gif Recta
Tool Circle Center Point.gif Circunferencia (centro-punto)
Tool Intersect Two Objects.gif Intersección
Tool Polygon.gif Polígono
Tool Show Hide Object.gif Mostrar / Ocultar Objeto
Tool Move.gif Elige y Mueve


Preparativos

  • Abre una nueva ventana de GeoGebra
  • Selecciona la 'Apariencia - Geometría'.
  • Establece que las etiquetas se apliquen a Solo puntos nuevos en el Menú de Opciones).
3 square.JPG

Pasos para la construcción

  1. Construye un segmento a = AB entre los puntos A y B
  2. Construye la recta perpendicular b al segmento AB que pasa por el punto B
  3. Construye una circunferencia c con centro en B pasando por A
  4. Interseca la circunferencia c con la recta perpendicular b para obtener un punto C
  5. Construye la recta perpendicular d al segmento AB que pasa por el punto A
  6. Construye una circunferencia e con centro en A pasando por B
  7. Interseca la recta perpendicular d con la circunferencia e para obtener un punto D
  8. Crea el polígono ABCD (No olvides cerrar el polígono haciendo clic nuevamente en A luego de seleccionar el punto D.)
  9. Oculta las circunferencias y las rectas
  10. Realiza la comprobación de arrastre para ver si la construcción es correcta

¿Puedes proponer otras formas de construir un cuadrado?

Construcción de un hexágno regular

En esta actividad, utilizarás las siguientes herramientas. Asegúrate de saber cómo se utiliza cada una antes de comenzar con la construcción del hexágono:

Tool Circle Center Point.gif Circunferencia (centro-punto)
Tool Intersect Two Objects.gif Intersección
Tool Polygon.gif Polígono
Tool Angle.gif Ángulo
Tool Show Hide Object.gif Mostrar / Ocultar Objeto
Tool Move.gif Elige y Mueve

Preparativos

  • Abre una nueva ventana de GeoGebra
  • Selecciona la 'Apariencia - Geometría'.
  • Establece que las etiquetas se apliquen a Solo puntos nuevos en el Menú de Opciones).
3 hexagon.PNG

Pasos para la construcción

  1. Construye una circunferencia con centro en A que pase por B
  2. Construye otra circunferencia con con centro en B que pase por A
  3. Interseca ambas circunferencias para obtener los vértices C y D del hexágono.
  4. Construye una nueva circunferencia con centro en C que pase por A.
  5. Interseca esta nueva circunferencia con la primera para obtener el vértice E.
  6. Construye otra circunferencia con centro en D que pase por A.
  7. Interseca esta última circunferencia con la primera para obtener el vértice F.
  8. Construye una última circunferencia con centro en E que pase por A.
  9. Interseca esta última circunferencia con la primera para obtener el vértice G.
  10. Traza el hexágono FGECBD.
  11. Crea los ángulos interiores del hexágono.
  12. Realiza una prueba de arrastre para verificar que la construcción sea correcta.
Note Aviso: ¿Qué radio tienen las circunferencias? ¿Por qué?


Construcción de la circunferencia circunscrita de un triángulo

En esta actividad vas a utilizar las siguientes herramientas. Asegúrate de saber cómo utilizar cada una antes de comenzar con la construcción:

Tool Polygon.gif Polígono
Tool Perpendicular Bisector.gif Mediatriz
Tool Intersect Two Objects.gif Intersección
Tool Circle Center Point.gif Circunferencia (centro-punto)
Tool Move.gif Elige y Mueve

Preparativos

  • Abre una nueva ventana de GeoGebra window.
  • Selecciona la 'Apariencia - Geometría'.
  • Establece que las etiquetas se apliquen a Solo puntos nuevos en el Menú de Opciones).
3 circle.PNG

Pasos para la constructión

  1. Crea un triángulo arbitrario ABC
  2. Construye la mediatriz de cada lado del triángulo. La herramienta Mediatriz puede aplicarse a un segmento existente.
  3. Crea el punto de intersección D Entre las mediatrices. La herramienta Intersección no puede ser aplicada a tres rectas. Puedes seleccionar dos de las tres rectas o bien, hacer clic en el punto de intersección.
  4. Construye una circunferencia con centro en D pasando por uno de los vértices del triángulo ABC
  5. Realiza la prueba de arrastre para ver si la construcción es correcta.

De regreso a la escuela

Modifica tu construcción para responder las siguientes preguntas:

  1. ¿Puede el circuncentro de un triángulo ser exterior a éste? Si la respuesta es afirmativa, ¿para qué tipo de triángulo ocurre?
  2. ¿Por qué utilizamos las mediatrices para determinar el circuncentro del triángulo?

Visualización del Teorema de Thales

De regreso a la escuela

Antes de comenzar esta construcción, observa la hoja dinámica Theorem_Thales.html para ver cómo los estudiantes pueden re-descubrir lo que el matemático y filósofo griego Thales encontró hace alrededor de 2600 años atrás. En esta actividad, utilizarás las siguientes herramientas. Asegúrate de saber cómo utilizar cada una de ellas antes de comenzar la construcción.

Tool Segment between Two Points.gif Segmento
Tool Semicircle through Two Points.gif Semicircunferencia
Tool New Point.gif Punto
Tool Polygon.gif Polígono
Tool Angle.gif Ángulo
Tool Move.gif Desplaza Vista Gráfica

Preparativos

  • Abre una nueva ventana de GeoGebra
  • Selecciona la 'Apariencia - Geometría'.
  • Establece que las etiquetas se apliquen a Solo puntos nuevos en el Menú de Opciones).

Pasos para la construcción

  1. Crea un segmento AB
  2. Construye una semicircunferencia por los puntos A y B. El orden en que seleccionas los puntos A y B determina la dirección de la semicircunferencia.
  3. Crea un nuevo punto C sobre la semicircunferencia. Comprueba que el punto C efectivamente yace sobre el arco arrastrándolo con el ratón.
  4. Crea el triángulo ABC
  5. Crea los ángulos interiores del triángulo ABC

Intenta realizar una prueba gráfica para el teorema.

Note Aviso: Crea el punto medio O del segmento AB y muestra el radio OC como un segmento.


Construcción de tangentes a una circunferencia

Discusión

  • ¿Qué herramientas utilizaste para recrear la construcción?
  • ¿Hubo nuevas herramientas incorporadas en los pasos sugeridos para la construcción? De ser así, ¿Cómo averiguaste acerca de su funcionamiento?
  • ¿Notaste alguna particularidad en relación a la barra de herramientas mostrada en el applet de la derecha?
  • ¿Crees que tus alumnos podrían trabajar con la hoja dinámica y descubrir los pasos de la construcción por sí mismos?

What if my Mouse and Touchpad wouldn’t work?

Imagine your mouse and / or touchpad stop working while you are preparing GeoGebra files for tomorrow’s lesson. How can you finish the construction file?

GeoGebra offers algebraic input and commands in addition to the geometry tools. Every tool has a matching command and therefore could be applied without even using the mouse.

Nota: GeoGebra offers more commands than geometry tools. Therefore, not every command has a corresponding geometry tool!

Task

Check out the list of commands next to the Input Bar and look for commands whose corresponding tools were already introduced in this workshop. As you saw in the last activity, the construction of tangents to a circle can be done by using geometric construction tools only. You will now recreate this construction by just using keyboard input.

Preparations

Construction Steps

1 A = (0, 0) Point A
2 (3, 0) Point B
Note Aviso: If you don’t specify a name objects are named in alphabetical order.
3 c = Circle[A, B] Circle with center A through point B
Note Aviso: Circle is a dependent object
Nota: GeoGebra distinguishes between free and dependent objects. While free objects can be directly modified either using the mouse or the keyboard, dependent objects adapt to changes of their parent objects. Thereby, it is irrelevant in which way (mouse or keyboard) an object was initially created!

Task 1

Activate Move mode and double click an object in the Algebra View in order to change its algebraic representation using the keyboard. Hit the Enter key once you are done.

Task 2

You can use the arrow keys in order to move free objects in a more controlled way. Activate Move mode and select the object (e.g. a free point) in either window. Press the up / down or left / right arrow keys in order to move the object into the desired direction.

4 C = (5, 4) Point C
5 s = Segment[A, C] Segment AC
6 D = Midpoint[s] Midpoint D of segment AC
7 d = Circle[D, C] Circle with center D through point C
8 Intersect[c, d] Intersection points E and F of the two circles
9 Line[C, E] Tangent through points C and E
10 Line[C, F] Tangent through points C and F

Checking and Enhancing the Construction

  • Perform the drag-test in order to check if the construction is correct.
  • Change properties of objects in order to improve the construction’s appearance (e.g. colors, line thickness, auxiliary objects dashed,…)
  • Save the construction.

Discussion

  • Did any problems or difficulties occur during the construction steps?
  • Which version of the construction (mouse or keyboard) do you prefer and why?
  • Why should we use keyboard input if we could also do it using tools?
    Note Aviso: There are commands available that have no equivalent geometric tool.
  • Does it matter in which way an object was created? Can it be changed in the Algebra View (using the keyboard) as well as in the Graphics View (using the mouse)?

Exploring Parameters of a Quadratic Polynomial

Back to school

In this activity you will explore the impact of parameters on a quadratic polynomial. You will experience how GeoGebra could be integrated into a "traditional" teaching environment and used for active, student-centered learning.

Preparations

  • Open a new GeoGebra window.
  • Switch to Perspectives – Algebra & Graphics.

Construction Steps

  1. Open a new GeoGebra window
  2. Type in f(x) = x^2 and hit the Enter key. Which shape does the function graph have? Write down your answer on paper.
  3. In Tool Move.gif Move mode, highlight the polynomial in the algebra view and use the ↑ up and ↓ down arrow keys.
    • How does this impact the graph of the polynomial? Write down your observations.
    • How does this impact the equation of the polynomial? Write down your observations.
  4. Again, in Move mode, highlight the function in the Algebra View and use the ← left and → right arrow keys.
    • How does this impact the graph of the polynomial? Write down your observations.
    • How does this impact the equation of the polynomial? Write down your observations.
  5. In Move mode, double click the equation of the polynomial. Use the keyboard to change the equation to f(x) = 3 x^2. Use an asterisk * or space in order to enter a multiplication.
    • Describe how the function graph changes.
    • Repeat changing the equation by typing in different values for the parameter (e.g. 0.5, -2, -0.8, 3). Write down your observations.

Discussion

  • Did any problems or difficulties concerning the use of GeoGebra occur?
  • How can a setting like this (GeoGebra in combination with instructions on paper) be integrated into a "traditional" teaching environment?
  • Do you think it is possible to give such an activity as a homework problem to your students?
  • In which way could the dynamic exploration of parameters of a polynomial possibly affect your students’ learning?
  • Do you have ideas for other mathematical topics that could be taught in similar learning environment (paper worksheets in combination with computers)?

Using Sliders to Modify Parameters

Let’s try a more dynamic way of exploring the impact of a parameter on a polynomial f(x) = a x^2 by using a slider to modify the parameter value.

Preparations

  • Open a new GeoGebra window
  • Switch to Perspectives – Algebra & Graphics

Construction Steps

1 a = 1 Create the variable a = 1
2 Display the variable a as a slider in the Graphics View.
Note Aviso: You need to right click (MacOS: Ctrl-click) the variable in the Algebra View and select Show object.
3 f(x) = a * x^2 Enter the quadratic polynomial f
Note Aviso: Don’t forget to enter an asterisk * or space between a and x^2.
4 Tool Slider.gif Create a slider b using the Slider Tool
Note Aviso: Activate the tool and click on the Graphics View. Use the default settings and click Apply.
5 f(x) = a * x^2 + b Enter the polynomial f
Note Aviso: GeoGebra will overwrite the old function f with the new definition.

Tips and Tricks

1. Name a new object by typing name = into the input bar in front of its algebraic representation.

Ejemplo: P = (3, 2) creates point P.

2. Multiplication needs to be entered using an asterisk or space between the factors.

Ejemplo: a*x or a x

3. GeoGebra is case sensitive! Thus, upper and lower case letters must not be mixed up.

  • Points are always named with upper case letters
    Ejemplo: A = (1, 2)
  • Vectors are named with lower case letters
    Ejemplo: v = (1, 3)
  • Segments, lines, circles, functions… are always named with lower case letters.
    Ejemplo: circle c: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16
  • The variable x within a function and the variables x and y in the equation of a conic section always need to be lower case.
    Ejemplo: f(x) = 3*x + 2

4. If you want to use an object within an algebraic expression or command you need to create the object prior to using its name in the input bar.

  • y = m x + b creates a line whose parameters are already existing values m and b (e.g. numbers / sliders).
  • Line[A, B] creates a line through existing points A and B.

5. Confirm an expression you entered into the input bar by pressing the Enter key.

6. Open the help window for using the input bar and commands by selecting Help from the Help Menu (or shortcut F1).

7. Error messages: Always read the messages – they could possibly help to fix the problem!

8. Commands can be typed in or selected from the list next to the Input Bar.

Note Aviso: If you don’t know which parameters are required within the brackets of a certain command, type in the full command name and press key F1 to open the GeoGebra Wiki.

9. Automatic completion of commands: After typing in the first two letters of a command into the Input Bar, GeoGebra tries to complete the command.

  • If GeoGebra suggests the desired command, hit the Enter key in order to place the cursor within the brackets.
  • If the suggested command is not the one you wanted to enter, just keep typing until the suggestion matches.

Challenge of the Day: Parameters of Polynomials

Use the file created in the last activity in order to work on the following tasks:

  • Change the parameter value a by moving the point on the slider with the mouse. How does this influence the graph of the polynomial? What happens to the graph when the parameter value is
    • greater than 1,
    • between 0 and 1, or
    • negative?

Write down your observations.

  • Change the parameter value b. How does this influence the graph of the polynomial?
  • Create a slider for a new parameter c. Enter the quadratic polynomial f(x) = a * x^2 + b x + c. Change the parameter value c and find out how this influences the graph of the polynomial.

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