Cuadrilátero EquiDiagonal

De GeoGebra Manual
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Tutorial: Cuadrilátero EquiDiagonal

Trazando Dinámicamente una Construcción Geométrica

Propuesta Inicial

La propuesta se abre en dos alternativas:

  • Crear el escenario de trabajo desde el que se van plantear, a posteriori, desafíos diversos para destinatarios que no tengan, así, necesidad de llevar adelante todas las maniobras de partida
  • Encarar los preparativos junto a los destinatarios y frente a ellos para que, mientras sigan la ilación de pasos vayan discerniendo cuáles son las relaciones entre los elementos en juego y los mecanismos operativos básicos de GeoGebra.

Sea cual fuera la modalidad adoptada, es aconsejable anticipar qué cuestión que provoca a este boceto, planteada según criterio de quien mediará la actividad que se espera desencadene. Por ejemplo:

  • Dicen algunos por allí que para que un cuadrilátero resulte paralelogramo...
    • deben ser iguales sus diagonales.
  • Otros sostienen que esta...
    • es condición necesaria pero no suficiente
  • Los que no guardan desconcertado silencio exponen su desacuerdo. Rebaten señalando que...
    • no se requiere tal igualdad. Igualdad que se registra en algunos paralelogramos (pero no en todos) así como en cuadriláteros que no son.

Para saldar con algunos datos este debate, se propone la siguiente figura de análisis que se invita a trazar y/o a explorar cuando esté lista.

Apariencia Conveniente

1 Seleccionando del Menú Apariencias la que resulte conveniente para esta construcción geométrica, se encaran a continuación los preparativos.

Preparativos

2 Conviene dejar abierta exclusivamente la Vista Gráfica y...

  • Activar la Barra de Estilo
  • Ocultar los Ejes Coordenados
  • Exponer la Cuadrícula
  • Optar por la alternativa que Ajusta a Cuadrícula los puntos o elementos durante los desplazamientos, para facilitar la precisión de ciertos ensayos.

Dibujos de Figuras... con GeoGebra

Punto a Punto

3 Se pasan a emplear las diversas herramientas geométricas básicas para operar sobre la Vista Gráfica. La siguiente tabla señala la secuencia del trazado:

Nombre Icono Definición Valor
1 Punto A Mode point.png   A = (0, 3)
2 Punto C Mode point.png   C = (3, 1)
3 Punto M Tool Midpoint or Center.gif Punto Medio de A, C M = (1.5, 2)
4 Segmento b Tool Segment between Two Points.gif Segmento [A, M] b = 1.8

Puntales del Cuadrilátero en Marcha

3 Se controla que todos los elementos básicos estén convenientemente vinculados. Hasta aquí, simplemente se crearon:

  • los puntos libres A y C, vértices opuestos de una de las diagonales del futuro cuadrilátero
Bases 1.PNG
  • el punto medio M entre A y C que permiten establecer la longitud del radio de la circunferencia cuyo diámetro - en torno al punto que será el de cruce las diagonales - fijará la distancia entre el otro par de vértices.
  • el segmento entre A y M sobre el que se desplazará el punto O de cruce con la otra diagonal del cuadrilátero en marcha.

La ilustración expone este primer conjunto de elementos.

Bases 2.PNG

Avanzando en las Condiciones del Cuadrilátero

El área en que se van a ubicar uno de los dos vértices de la otra diagonal, de la misma longitud que la primera, se establece con el Compás con centro en O y radio igual a la longitud entre A y C, como se ilustra.


Nombre Icono Definición Valor
5 Punto O Mode point.png Punto sobre b O = (0.9, 2.4)
6 Circunferencia c Tool Compasses.gif Circunferencia con centro O y radio Segmento[A, M] c: (x - 0.9)² + (y - 2.4)² = 3.25
7 Punto B Tool Point in Region.gif Punto en c B = (1.83, 3.11)
([File
Bases 3.PNG|100px|left)]

4 Se emplea la correspondiente herramienta para ubicar Tool Point in Region.gif en ese círculo - dentro de c y hasta la circunferencia que lo rodea - al punto B, como se ilustra B es uno de los extremos de la segunda diagonal en marcha.

([File
Bases 4.PNG|280px|right)]

5 Para establecer la distancia a la que se encuentra, desde B el vértice opuesto de esa segunda diagonal en marcha, se traza con el compás, la circunferencia Tool Compasses.gif con un radio cuya longitud es igual a la de la primera diagonal - distancia de A a C - y tiene centro en B.

([File
Bases 5.PNG|180px|left)]

6 La Tool Ray through Two Points.gif semirrecta con origen en B, Mode intersect.png intereseca a la circunferencia recién trazada con el compás - con centro en B y radio de longitud y igual a la distancia entre A y C- , en el punto D.

Este punto de intersección, D, será el vértice opuesto a B en esta segunda diagonal.

([File
Básico 1.PNG|180px|right)]

Punteando el Cuadrilátero Equidiagonal

7 Las últimas maniobras de trazado se completan creando el polígono ABCD con la Tool Polygon.gifcorrespondiente herramienta, pulsando punto por punto - A, B, C, D y nuevamente A para cerrarlo.

Cerrando el Cuadrilátero

En la tabla siguiente se ilustran los pasos finales de la construcción.


Nombre Icono Definición Valor
8 Circunferencia d Tool Compasses.gif Circunferencia con centro B y radio Segmento[A, C] d: (x - 1.83)² + (y - 3.11)² = 13
9 Semirrecta e Tool Ray through Two Points.gif Semirrecta que pasa por B, O e: 0.72x - 0.93y = -1.58
10 Punto D Mode intersect.png Punto de intersección de d, e D = (-1.02, 0.91)
11 Cuadrilátero cua Tool Polygon.gif Polígono A, B, C, D cua = 6.16

Ajustes en pro de Datos Ilustrativos

Sin ser necesarias para llevar adelante la construcción, es conveniente:

  • trazar también
  • Tool Distance.gif establecer las distancias entre los vértices del cuadrilátero, así como otros datos que permitan tener información sobre medidas.
  • cambiarle el nombre cuadrilátero por uno representativo y acaso más breve.

8 Desde la opción Renombra del Menú Contextual que se despliega con un clic derecho del ratón o mouse sobre el polígono, se le puede asignar un nombre más propicio que el de polígono1 que tiene de origen. Por ejemplo, cua.

Explorando el Cuadrilátero

9 Se pueden realizar ahora todas las maniobras necesarias para controlar que las diagonales del cuadrilátero sean iguales y hasta indagar qué condiciones de construcción así lo garantizan. Esto implica una justificación en términos matemáticos aunque no necesariamente rigurosa al punto de detener a los destinatarios en sus primeros intentos de argumentación.

Nota:
La reconstrucción que puede llevarse adelante con la Barra de Navegación por Pasos (habilitada desde el Menú Vista) puede ayudar a recopilar lo realizado.

Ensayos sobre el Cuadrilátero

La alternativa que se abre cuando se ha completado el trazado del polígono, es la que lleva a explorar qué condiciones deben procurarse para...

  • lograr que se convierta en cuadriláteros de distinto tipo - desde trapecios a rombos, los que no resulten ni siquiera trapecios... etc. -
  • controlar que lo que parece ser cierto tipo de cuadrilátero cumpla con las condiciones que así lo garantizan
Nota: La Tool Relation between Two Objects.gif Herramienta de Relación puede ser muy útil en esta última etapa.
Así como las Mediciones disponibles con cuya operatoria se podrá ganar familiaridad a lo largo de la actividad, a medida que surja la necesidad de emplearlas
Ajuste a Cuadrícula Facilitando Ensayos

La construcción se ideó para facilitar ciertos ensayos. Como los que requieren que uno de los topes para ubicar...

  • el punto de cruce de las diagonales sea el punto medio de la primera
  • el extremo de la segunda diagonal tenga como límite la distancia equivalente a la mitad.
    Cuadrícula para tanteos.PNG

Para establecer otras relaciones específicas entre medidas conviene apelar a la cuadrícula como guía. Por ejemplo, para que las diagonales se crucen de modo consistente con las del...

  • trapecio isósceles o
  • romboide
    Ajuste a Cuadrícula Romboide.PNG

... las maniobras se agilizan acudiendo a estas posiciones que se ajustan a la cuadrícula,

Medir para Controlar Relaciones

La Herramienta de Relación permite determinar, por ejemplo, igualdad de longitudes entre segmentos o de paralelismo entre rectas.

Bulbgraph.pngAtención:
Como la Herramienta de Relación debe aplicarse a rectas para dictaminar la existencia de paralelismo, puede ser conveniente completar la construcción trazando las correspondientes a cada lado del cuadrilátero con la Tool Line through Two Points.gif herramienta pertinente.


Con las Mediciones se puede controlar si son iguales...

  • Tool Angle.gif un par de ángulos o si alguno resulta recto.
  • Tool Distance.gif las longitudes de lados, diagonales y/o semidiagonales.

10 Una actividad pautada para guiar los ensayos puede llevar a una síntesis sobre una tabla que resuma las conclusiones a las que lleguen los participantes.

Reglas de Juego para Ensayar y Argumentar

Posiblemente, durante la mediación docente resulte necesario recordar que si bien un solo contraejemplo basta para descartar una teoría, multiplicidad de ejemplos no alcanzan para garantizarla (aunque la convicción ganada impulse a creerlo).

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