Diferencia entre revisiones de «Comando Centroide»
De GeoGebra Manual
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− | Dado un polígono convexo determinado por sus ''n'' vértices cuyas coordenadas se expresan como:<br><math>(x_{0},y_{0}), (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), . . . (x_{n-1},y_{n-1})</math> | + | Dado un polígono convexo determinado por sus ''n'' vértices cuyas coordenadas se expresan como:<br><math>(x_{0},y_{0}), (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), . . . (x_{n-1},y_{n-1})</math><br> |
La expresión algebraica de su área estará dada por <br> | La expresión algebraica de su área estará dada por <br> | ||
− | *<big>A</big> = <math>\frac{1}{2}</math> <!-- --> <big><math>\sum_{i=0}^{n-1}{ }</math> <math>{(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math></big> <!--\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} {}{(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math></math> | + | *<big>A</big> = <math>\frac{1}{2}</math> <!-- --> <big><math>\sum_{i=0}^{n-1}{ }</math> <math>{(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math></big> <!--\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} {}{(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math></math> --><br>Notación "rápida" en que se sobreentiende que:<br> |
− | + | **<math>(x_{n}, y_{n})</math> es <math>(x_{0}, y_{0})</math>. | |
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La expresión algebraica de las coordenadas de su centro de gravedad <math>G </math> será:<br> | La expresión algebraica de las coordenadas de su centro de gravedad <math>G </math> será:<br> | ||
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*G<sub>y</sub> = <math>\frac{1}{6 A}</math> <math>\sum_{i=0}^{n-1} {(y_{i} + y_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math> | *G<sub>y</sub> = <math>\frac{1}{6 A}</math> <math>\sum_{i=0}^{n-1} {(y_{i} + y_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math> | ||
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Revisión del 03:48 21 jul 2015
Alternativa a Baricentro
Centroide
Categorías de Comandos (todos)
- Centroide[ <Polígono> ]
- Establece el centroide del polígono, que se asocia a su isobaricentro e idealmente coincide con su centro de gravedad.
Alerta: | No confundir con el caso general en que el centro de gravedad de un polígono o el baricentro del sistema discreto de puntos de masa queda constituido por sus vértices. |
- Ejemplo:Dados los puntos
A = (1, 4)
,B = (1, 1)
,C = (5, 1)
yD = (5, 4)
los vértices de un polígono.pol := Polígono[ A, B, C, D ]
grafica y registra en la Vista Algebraica a pol = 12.Centroide[ pol ]
con un centroide O = (3, 2.5).
Generalización
Dado un polígono convexo determinado por sus n vértices cuyas coordenadas se expresan como:
(x_{0},y_{0}), (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), . . . (x_{n-1},y_{n-1})
La expresión algebraica de su área estará dada por
- A = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}{ } {(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}
Notación "rápida" en que se sobreentiende que:
- (x_{n}, y_{n}) es (x_{0}, y_{0}).
La expresión algebraica de las coordenadas de su centro de gravedad G será:
- Gx = \frac{1}{6 A} \sum_{i=0}^{n-1} {(x_{i} + x_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}
- Gy = \frac{1}{6 A} \sum_{i=0}^{n-1} {(y_{i} + y_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}
Nota: Pero hay una igualdad para los triángulos, paralelogramos, polígonos regulares.
Atención: Puede consultarse al respecto el archivo geogebratube
Nota: El boceto ilustra animadamente el cambio de posición del baricentro o centroide y del baricentro baremado a medida que se modifica el polígono y los pesos de cada uno de sus vértices.
Vista ComputaciónAlgebraicaSimbólica
El comando opera de modo análogo en la Vista CAS sin operar con literales.