Diferencia entre revisiones de «Comando Centroide»
De GeoGebra Manual
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{{warning|1=No confundir con el caso general en que el centro de gravedad de un polígono o el baricentro del sistema ''discreto'' de puntos de masa queda constituido por sus vértices.}} | {{warning|1=No confundir con el caso general en que el centro de gravedad de un polígono o el baricentro del sistema ''discreto'' de puntos de masa queda constituido por sus vértices.}} | ||
:{{example|1=<div>Dados los puntos <code><nowiki>A = (1, 4)</nowiki></code>, <code><nowiki>B = (1, 1)</nowiki></code>, <code><nowiki>C = (5, 1)</nowiki></code> y <code><nowiki>D = (5, 4)</nowiki></code> los vértices de un polígono. <code><nowiki>pol := Polígono[ A, B, C, D ]</nowiki></code> [[Vista Gráfica|grafica]] y registra en la [[Vista Algebraica]] a ''pol = 12''. <code><nowiki>Centroide[ pol ]</nowiki></code> con un centroide ''O = (3, 2.5)''.</div>}} | :{{example|1=<div>Dados los puntos <code><nowiki>A = (1, 4)</nowiki></code>, <code><nowiki>B = (1, 1)</nowiki></code>, <code><nowiki>C = (5, 1)</nowiki></code> y <code><nowiki>D = (5, 4)</nowiki></code> los vértices de un polígono. <code><nowiki>pol := Polígono[ A, B, C, D ]</nowiki></code> [[Vista Gráfica|grafica]] y registra en la [[Vista Algebraica]] a ''pol = 12''. <code><nowiki>Centroide[ pol ]</nowiki></code> con un centroide ''O = (3, 2.5)''.</div>}} | ||
| + | <h3>Generalización</h3> | ||
| + | Dado un polígono convexo determinado por sus ''n'' vértices cuyas coordenadas se expresan como:<br><math>(x_{0},y_{0}), (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), . . . (x_{n-1},y_{n-1})</math> | ||
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| + | La expresión algebraica de su área estará dada por <br> | ||
| + | *<big>A</big> = <math>\frac{1}{2}</math> <!-- --> <big><math>\sum_{i=0}^{n-1}{ }</math> <math>{(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math></big> <!--\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} {}{(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math></math> | ||
| + | Cuya notación "rápida" sería:<br> | ||
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| + | La expresión algebraica de las coordenadas de su centro de gravedad <math>G </math> será:<br> | ||
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| + | *G<sub>x</sub> = <math>\frac{1}{6 A}</math> <math>\sum_{i=0}^{n-1} {(x_{i} + x_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math> | ||
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| + | *G<sub>y</sub> = <math>\frac{1}{6 A}</math> <math>\sum_{i=0}^{n-1} {(y_{i} + y_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}</math> | ||
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:{{Note|1=El boceto ilustra animadamente el cambio de posición del '''''baricentro''''' o '''''centroide''''' y del '''''baricentro baremado''''' a medida que se modifica el polígono y los pesos de cada uno de sus vértices.}}[[File:Centroid e.gif|center]] | :{{Note|1=El boceto ilustra animadamente el cambio de posición del '''''baricentro''''' o '''''centroide''''' y del '''''baricentro baremado''''' a medida que se modifica el polígono y los pesos de cada uno de sus vértices.}}[[File:Centroid e.gif|center]] | ||
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Revisión del 13:44 17 dic 2014
Alternativa a Baricentro
Centroide
Categorías de Comandos (todos)
- Centroide[ <Polígono> ]
- Establece el centroide del polígono, que se asocia a su isobaricentro e idealmente coincide con su centro de gravedad.
 Alerta: | No confundir con el caso general en que el centro de gravedad de un polígono o el baricentro del sistema discreto de puntos de masa queda constituido por sus vértices. |
- Ejemplo:Dados los puntos
A = (1, 4),B = (1, 1),C = (5, 1)yD = (5, 4)los vértices de un polígono.pol := Polígono[ A, B, C, D ]grafica y registra en la Vista Algebraica a pol = 12.Centroide[ pol ]con un centroide O = (3, 2.5).
Generalización
Dado un polígono convexo determinado por sus n vértices cuyas coordenadas se expresan como:
(x_{0},y_{0}), (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), . . . (x_{n-1},y_{n-1})
La expresión algebraica de su área estará dada por
- A = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}{ } {(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}
La expresión algebraica de las coordenadas de su centro de gravedad G será:
- Gx = \frac{1}{6 A} \sum_{i=0}^{n-1} {(x_{i} + x_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}
- Gy = \frac{1}{6 A} \sum_{i=0}^{n-1} {(y_{i} + y_{i+1})(x_{i} y_{i+1} - x_{i+1} y_{i})}
Atención: Puede consultarse al respecto el archivo geogebratube
- Nota: El boceto ilustra animadamente el cambio de posición del baricentro o centroide y del baricentro baremado a medida que se modifica el polígono y los pesos de cada uno de sus vértices.
ComputaciónAlgebraicaSimbólica
El comando no opera aún en la Vista CAS
