Comando Ángulo

Ángulo

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• Vector y Matriz

Ángulo[ <Objeto> ]

• Cónica: Da por resultado el ángulo de inclinación del eje mayor de la cónica (Ver también el comando Ejes).

Ejemplo: Ángulo[x²/4+y²/9=1] da por resultado 90° o 1.57 si se tiene los ángulos configurados en radianes.

Nota: No es posibl cambiar la unidad a Radianes en las versiones de GeoGebra 5.0 Web y Tablet.

• Vector: Da por resultado el ángulo entre el eje x y el vector dado.

Ejemplo: Ángulo[Vector[(1, 1)]] da por resultado 45° o el valor correspondiente en radianes.

• Punto: Da por resultado el ángulo entre el eje x y el vector posición del punto dado.

Ejemplo: Ángulo[(1, 1)]da por resultado 45° o el valor correspondiente en radianes.

• Número: Convierte el número en un ángulo en el intervalo [0,360°] o [0,2π] dependiendo de la unidad que se esté utilizando para los ángulos.

Ejemplo: Ángulo[20] da por resultado 65.92° si la unidad utilizada es grados.

• Polígono: Crea los ángulos del polígono con orientación positiva (contraria a las agujas del reloj).

Ejemplo: Ángulo[Polígono[(4, 1), (2, 4), (1, 1)] ] da por resultado 56.31°, 52.13° y 71.57° o los valroes correspondientes en radianes.

Nota: Si el polígono fue creado en sentido antihorario, se obtendrán los ángulos interiores. Si fue creado en sentido horario, se obtendrán los ángulos exteriores.

Ángulo[ <Vector>, <Vector> ]

Returns the angle between two vectors (result in [0,360°] or [0,2π] depending on the default angle unit).

Ejemplo:

Angle[Vector[(1, 1)], Vector[(2, 5)]] yields 23.2° or the corresponding value in radians.

Ángulo[ <Line>, <Line> ]

Returns the angle between the direction vectors of two lines (result in [0,360°] or [0,2π] depending on the default angle unit).

Ejemplo:

• Angle[y = x + 2, y = 2x + 3] yields 18.43° or the corresponding value in radians..
• Angle[Line[(-2, 0, 0), (0, 0, 2)], Line[(2, 0, 0), (0, 0, 2)]] yields 90° or the corresponding value in radians.

and in CAS View :

• Angle[x + 2, 2x + 3] yields acos \left( 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \right).
• Define f(x) := x + 2 and g(x) := 2x + 3 then command Angle[f(x), g(x)] yields acos \left(3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \right).

Ángulo[ <Line>, <Plane> ]

Returns the angle between the line and the plane.

Ejemplo:

• Angle[Line[(1, 2, 3),(-2, -2, 0)], z = 0] yields 30.96° or the corresponding value in radians.

Ángulo[ <Plane>, <Plane> ]

Returns the angle between the two given planes.

Ejemplo:

• Angle[2x - y + z = 0, z = 0] yields 114.09° or the corresponding value in radians.

Ángulo[ <Point>, <Apex>, <Point> ]

Returns the angle defined by the given points (result in [0,360°] or [0,2π] depending on the default angle unit).

Ejemplo:

Angle[(1, 1), (1, 4), (4, 2)] yields 56.31° or the corresponding value in radians.

Ángulo[ <Point>, <Apex>, <Angle> ]

Returns the angle of size α drawn from point with apex.

Ejemplo:

:*Angle[(0, 0), (3, 3), 30°] yields 30° and the point (1.9, -1.1).

Nota: The point Rotate[ <Point>, <Angle>, <Apex> ] is created as well.

Ángulo[ <Point>, <Point>, <Point>, <Direction> ]

Returns the angle defined by the points and the given Direction, that may be a line or a plane (result in [0,360°] or [0,2π] depending on the default angle unit).

Nota: Using a Direction allows to bypass the standard display of angles in 3D which can be set as just [0,180°] or [180°,360°], so that given three points A, B, C in 3D the commands Angle[A, B, C] and Angle[C, B, A] return their real measure instead of the one restricted to the set intervals.

Ejemplo:

Angle[(1, -1, 0),(0, 0, 0),(-1, -1, 0), zAxis] yields 270° and Angle[(-1, -1, 0),(0, 0, 0),(1, -1, 0), zAxis] yields 90° or the corresponding values in radians.

Nota: See also Angle and Angle with Given Size tools.

Alerta:

Todos los ejemplos dan por sentada la configuración por omisión que implica ángulos en grados medidos en el intervalo [0°;360°]lo que exige las correspondientes diferencias de escogerse como unidad los radianes y/o una restricción diferente para el intervalo.

Ángulo[ <Objeto (polígono, cónica, vector, punto o número)> ]

Crea y mide el ángulo acorde al objeto. Ofrece la medida en radianes o grados según cuál sea la unidad establecida por omisión.

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• Polígono

Ángulo[ <Polígono> ]

Crea todos los ángulos de un polígono en orientación positiva: sentido antihorario (los ángulos se dibujan).

Alerta:

Si el polígono fue creado con orientación antihoraria, salvo que tenga menos de cuatro lados, se obtienen los valores de los ángulos interiores; los exteriores en caso contrario (creado con orientación horaria).

Atención:
Siendo poli un polígono, para Ángulo[poli]
:solo aparece el primer ángulo.
Para que se incluyan todos es preciso apelar a la sintaxis de tipo lista:
{Ángulo[Polígono poli]}

Ejemplos:

Ángulo[Polígono[(0, 3), (-3, 0), (3, 0)]] establece los ángulos de amplitud en grados 90° 45° y 45° respectivamente mientras...

Ángulo[Polígono[(3, 0), (-3, 0), (0, 3)]], los de 270°, 315° y 315°

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• Cónica:Da por resultado el ángulo entre el eje mayor de la sección cónica).
  Ángulo[ <Cónica c> ] Traza el ángulo entre el eje mayor de la cónica y el ejex (Ox).
• Vector:Da por resultado el ángulo entre el eje x y el vector dado
  Ángulo[ <Vector ^\vec{v}> ] Traza el ángulo entre el eje (Ox) y el vector ^\vec{v} (el ángulo se dibuja junto al origen del vector)
• Punto: Da por resultado el ángulo entre el eje x y el vector de posición del punto dado. Así...
  Ángulo[ <Punto A> ] Traza el ángulo entre el eje (Ox) y el vector ^{\overrightarrow{OA}} (el ángulo se dibuja junto al origen de coordenadas).

Ejemplos:

Ángulo[x²/4+y²/9=1] establece un ángulo de amplitud 90° o 1.57 rad

Ángulo[Vector[(4, -3), (6, -1)]] establece un Ángulo de amplitud 45° ó 0.79 rad mientras...
Ángulo[Vector[(6, -1), (4, -3)]], de 225°.

Ángulo[(1, 1)] establece un ángulo de amplitud 45° ó 0.79 rad

• Número

Ángulo[ <Número> ]

Convierte el número en un ángulo cuyo resultado se expresa entre 0° y 360° o entre 0 y 2 \pi según la unidad elegida sea la de grados o la de radianes.

Ejemplo:
Ángulo[20] establece un ángulo de amplitud 65.92°

Ángulo[ <Vector>, <Vector> ]

Da por resultado el ángulo (entre 0° y 360°) entre sendos vectores (el ángulo se dibuja junto al origen del primero de los vectores).

Ejemplo:

Ángulo[Vector[(1, 1)], Vector[(2, 5)]] da por resultado un ángulo de amplitud 23.2°

Ángulo[ <Lado (recta, semirrecta o segmento)>, <Lado (recta, semirrecta o segmento)> ]

Da por resultado el ángulo entre sendos vectores (entre 0° y 360°) cuyas directrices corresponden a respectivas rectas, semirrectas y/o segmentos.

Ejemplo:

Ángulo[[y = x + 2, y = 2x + 3] da por resultado un ángulo de amplitud 18.43°.

Ángulo[ <Punto lateral>, <Vértice>, <Punto lateral (antihorario)> ]

Da por resultado el ángulo tendido entre los puntos indicados. Así, Ángulo[A, B, C] crea el ángulo \widehat{ABC} entre BA y BC (entre 0 y 360°). El punto B es el vértice (el ángulo se dibuja).

Ejemplo:

Ángulo[(1, 1), (1, 4), (4, 2)] da por resultado un ángulo de amplitud 56.31°.

Ángulo[ <Punto lateral>, <Vértice>, <Ángulo de rotación antihoraria> ]

Da por resultado el ángulo de la amplitud fijada desde el punto lateral al vértice indicado. Así, Ángulo[A, B, α] crea el ángulo α trazado desde A con vértice en B (el ángulo se dibuja).

Nota: El punto Rota[A, α, B] o Rota[B, A, α] también es creado.

Ejemplos:

Ángulo[(0, 0), (3, 3), 30°] crea el punto de coordenadas (1.9, -1.1)
Ángulo[(1, -1, 0),(0, 0, 0),(-1, -1, 0), Ejez] da por resultado 270° y Ángulo[(-1, -1, 0),(0, 0, 0),(1, -1, 0), Ejez] da 90° o los correspondientes valores en radianes.

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Nota:

Ver también las herramientas: Ángulo y Ángulo dada su amplitud.

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En Vista CAS C_omputaciónA_lgebraicaS_imbólica

Si bien en esta vista se admiten todas las variantes previas, se registran las siguientes peculiaridades:

• No se dibuja el ángulo para...
  • Ángulo[<Punto A>] y Ángulo[<Vector ^\vec{v}>]
  • Ángulo[ <Vector ^\vec{v}₁>, <Vector ^\vec{v}₂> ]
  • Ángulo[ <Recta g>, <Recta h> ]
    
• Solo se obtiene el primero de los ángulos para:
  • Ángulo[Polígono]
    
• El resultado es solo el valor del ángulo sin su dibujo para:
  • Ángulo[ <Punto A>, <Vértice B>, <Punto C> ]

Ejemplo: Ángulo[(-1, 1), (2, 4), (5, 1)] da por resultado \frac{1}{2} \; \pi (1.57 en la Vista Algebraica).

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Vista 3D de GG 5.0 :

En la Vista 3D de la versión 5

GG 5.0 3D:
El comando opera del modo análogo en esta vista para la sintaxis:
Ángulo[ <Punto A>, <Vértice B>, <Ángulo α> ]
Se incluyen, además:

• Ángulo[ <Plano>, <Plano> ]
• Ángulo[ <Recta>, <Plano> ] y
• Ángulo[<Punto>, <Punto>, <Punto>, <Dirección>]

En cuanto a:

• Ángulo[ <Recta>, <Recta> ] opera adecuadamente y se trate o no de paralelas, el ángulo toma valor.

Atención: El ángulo se dibuja si las rectas son secantes y, en tal caso, se establece su valor. Resulta 0 si son paralelas.

Ángulo[<Punto>, <Punto>, <Punto>, <Dirección>]

Da por resultado el ángulo definido por los puntos y la Dirección dada, que puede ser una recta o un plano (resultando en [0,360°] o [0,2π] dependiendo de la unidad del ángulo por omisión).

Nota: Usar una Dirección permite saltear la modalidad que, por omisión, se establece para los ángulos en 3D que se puede ajustar solo a [0,180°] o [180°,360°], de modo que para los tres puntos A, B, C en 3D el comando Ángulo[A, B, C] y Ángulo[C, B, A] den por resultado sus medidas reales en lugar de la que quede restringida a uno de los intervalos.

Ejemplo:

Ángulo[(1, -1, 0),(0, 0, 0),(-1, -1, 0), Ejez]] establece 270° y Ángulo[(-1, -1, 0),(0, 0, 0),(1, -1, 0), Ejez]] da 90° o los valores correspondientes en radianes.

Idea:

Dados en la Vista Gráfica los puntos: A=(1,-1) ; B=(0,0) y C=(-1,-1). el comando Ángulo[ <Punto2D>,<Punto2D>, <Punto2D>] da por resultado la medida del ángulo directo. Ángulo[A, B, C] da por resultado 270° mientras Ángulo[C, B, A] da 90°

El comando Ángulo[ <Punto2D>,<Punto2D>, <Punto2D>] da por resultado
siempre un ángulo de una medida entre [0°, 180°] o entre [180° , 360°] pero no entre [0° , 360°].

Sean los puntos en la Vista 3D: A=(1,-1,0)  ; B=(0,0,0) y C=(-1,-1,0). Ángulo[A, B, C] y Ángulo[C, B, A] dan ambos por resultado 90°,
La sintaxis Ángulo[ <Punto>,<Punto>,<Punto>, <Dirección>] permite tener en cuenta la novedad de la orientación :
Ángulo[A, B, C, ejeZ] da por resultado 270° mientras que Ángulo[C, B, A, ejeZ] da lui siempre 90°.