Puntos y Vectores

De GeoGebra Manual
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Sobre Puntos y Vectores

Ingreso de Puntos y Vectores

Los puntos y vectores pueden ingresarse en la Barra de Entrada, en coordenada cartesianas (el separador es la coma), polares o esféricas (el separador es el punto y coma).

Nota: Ver también el artículo sobre Números y Ángulos.

Los puntos, también pueden crearse con herramientas como...

... y con una variedad de comandos.

Nota: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores pese a que esta no es una convención restrictiva.
Ejemplos:
Para ingresar un punto, se anota...
  • P = (1, 0) para crear P en coordenadas cartesianas y...
    • v = (0, 5) si se tratara de un vector, como v
  • P = (1; 0°) en coordenadas polares y...
    • v = (5; 90°) si se tratara de un vector, como v

El menú contextual de un punto (o de un vector) del plano se puede alternar entre la representación Coordenadas cartesienas <> Coordenadas polares. Las lecturas de las coordenadas de un punto A (por ejemplo) del plano se conforma por:

  • x(A) e y(A) para las coordenadas cartesianas,
  • Longitud(A) y Ángulo(A) para las coordenadas polares.
  • Longitud(A) , arg(A) y alt(A) ara las coordenadas esféricas. (Debe considerarse que el Ángulo[A], da por resultado siempre el ángulo (Ox,OA))

Para ubicarlos en la Hoja de Cálculo, de modo que se los identifique y nombre según la dirección de la celda de cabida, se anota...

  • A2 = (1, 0) para ubicarlo en coordenadas cartesianas en la celda (A2 en este caso)
  • A2 = (1; 10°) operando en polares
Nota:
El separador de las coordenadas polares es el punto y coma.
Si no se anota el símbolo de grados, GeoGebra asume que el valor del ángulo se expresa en radianes.
Bulbgraph.pngAtención:
Se puede acceder a las coordenadas de un punto, como Q anotando....
  • abs(Q) y arg(Q) para sendos componentes de las coordenadas polares
  • x(Q) y y(Q) para cartesianas del punto Q, con las mismas funciones predefinidas x e y si se trata de vectores.
Ejemplo: Si P=(1, 2) es un punto y v=(3, 4) un vector,
x(P) da por resultado 1 y y(v), 4.

Puntos

Cálculos Puntuales

GGb5.png En la Menu view graphics3D.png Vista 3D de la versión View-graphics3D24.png5
  • Puntos

Un punto puede quedar definido desde la Barra o Campo de Entrada por sus tres coordenadas

  • Cartesianas
  • Esféricas
Ejemplos:
  • Por tres coordenadas cartesianas
    • C=(1,2,3)
  • Por tres coordenadas esféricas
    • A=(1 ; 45°;30°)
Nota: Las coordenadas esféricas requieren los valores correspondientes a recta-longitud-latitud que pueden simbolizarse como:
  • (ρ, φ, δ) donde...
    • ρ designa la distancia del punto al origen,
    • φ designa la longitud (ángulo polar de la proyección del objeto sobre xOy, medido tras el eje x, entre 0° y 360°)
    • δ la latitud, el ángulo tras el plano xOy (entre -90° y 90°)

Ilustrando con Coordenadas

Spheriques.PNG

Sobre Vectores

Vectores

En GeoGebra, pueden hacerse cálculos con puntos y vectores.

Ejemplos:
Puede establecerse...
  • el punto medio M entre A y B anotando, en la Barra de Entrada:
    • M = (A + B) / 2
  • la longitud de un vector v con longitud = sqrt(v * v)

Se puede operar con un punto, como A, para establecer otro. Así...


Producto Vectorial

Para dos puntos o dos vectores (a, b)⊗(c, d) da por resultado la coordenada-z del producto vectorial (a, b, 0)⊗(c, d, 0) como un simple número.

Similar sintaxis es válida para listas pero el resultado en tal caso, es una lista.

Ejemplos:
  • {1, 2} ⊗ {4, 5} da por resultado {0, 0, -3}
  • {1, 2, 3} ⊗ {4, 5, 6} da {3, 6, -3} dado que el producto vectorial usual opera con listas.
ProductoVectorial( <Vector> , <Vector> )
Calcula el producto vectorial (cross product en inglés) de un vector por el otro, expresándolo como una lista.
Así, ProductoVectorial(<Vector\vec{u}>, <Vector\vec{v}> ) siendo \vec{u} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} y \vec{v} = \begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix} dos vectores del plano, establece el determinante bi-vectorial o calcula el producto vectorial de (a,b,0) y (c,d,0).
En ámbitos 3D, además puede representar el resultado.
Ejemplos:

Dados dos vectores en el plano \vec{u} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} y \vec{v} = \begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix} ProductoVectorial(u, v) da el número 8 (2 x 1 - 2 x -3).
(El determinante del bi-vector del producto vectorial de (2,2,0) y (-3,1,0)).

Dados dos vectores en el espacio \vec{u} y \vec{v} (como lista de 3 elementos), se puede obtener el correspondiente resultante del producto vectorial de ambos como lista de 3 elementos. Así:
ProductoVectorial({1, 3, 2}, {0, 3, -2}) da por resultado la lista {-12, 2, 3}, el producto vectorial de {1, 2, 3} por {0, 3, -2}, correspondiente al vector \left( \begin{array}{} -12 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) que es el producto vectorial de \left( \begin{array}{} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right) y de \begin{pmatrix}0 \\ 3\\-2\end{pmatrix} .
Nota:
En la Barra de Entrada puede usarse el operador correspondiente, anotando, por ejemplo, u ⊗ v

Menu view cas.svg En Vista CAS ComputaciónAlgebraicaSimbólica

En esta vista se admiten literales para operar simbólicamente

Ejemplos: Siendo a, b, c, d, e y f literales sin valor asignado en GeoGebra...
ProductoVectorial({a, b, c}, {d, e, f}) da {b f - c e, -a f + c d, a e - b d}
ProductoVectorial({a, b}, {c, d}) da {0, 0, a d - b c}

Nota: Ver también el comando ProductoEscalar.

Sobre Matrices

Matrices

GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene las filas de la matriz.

Ejemplo:
a = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz a de 3x3:
\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}
Nota: Para desplegar con elegancia y facilidad una matriz en la Vista Gráfica, puede emplearse el formato LaTeX, usando el comando FórmulaTexto.
Ejemplo: En la Barra de Entrada puede anotarse:
FórmulaTexto({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} }) para exponer la matriz usando formato LaTeX.

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