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De GeoGebra Manual
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<noinclude>{{Manual Page|version=5.0}}</noinclude>{{Objects|general}}{{DISPLAYTITLE:'''P'''untos y '''V'''ectores}}
 
=<small><small>Sobre Puntos y Vectores</small></small>=
 
==Ingreso de Puntos y Vectores==
 
Los puntos y vectores pueden ingresarse en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]], en coordenada cartesianas (el separador es la coma), polares o esféricas (el separador es el punto y coma).
 
{{Note|1= Ver también el artículo sobre [[Números y Ángulos]].}}
 
Los puntos, también pueden crearse con herramientas como...
 
*la de [[Image:Mode point.svg|23px|link=Comentarios:Herramienta_de_Refleja_Objeto_por_Punto]][[Comentarios:Herramienta_de_Refleja_Objeto_por_Punto|Punto]]
 
*la de vector [[Image: Mode  vectorfrompoint.svg|23px|link=Comentarios:Herramienta_de_Vector_desde_un_Punto]] [[Comentarios:Herramienta_de_Vector_desde_un_Punto|Equipolente]]
 
*o la de [[Image:Mode vector.svg|23px]] [[Comentarios:Herramienta_de_Vector_entre_Dos_Puntos|Vector]]
 
... y con una variedad de [[:Categoría:Comando#Comando_a_Comando|comandos]].
 
{{Note|1=Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores pese a que esta no es una convención restrictiva.}}
 
{{Examples|1=<br>Para ingresar un punto, se anota...
 
*'''<code><nowiki>P = (1, 0)</nowiki></code>''' para crear '''''P''''' en coordenadas cartesianas y...
 
**'''<code><nowiki>v = (0, 5)</nowiki></code>''' si se tratara de un vector, como '''''v'''''
 
*'''<code><nowiki>P = (1; 0°)</nowiki></code>''' en coordenadas polares y...
 
**'''<code><nowiki>v = (5; 90°)</nowiki></code>''' si se tratara de un vector, como '''''v'''''<br>
 
El menú contextual de un punto (o de un vector) del plano se puede alternar entre la representación  ''Coordenadas cartesienas'' <> ''Coordenadas polares''.
 
Las lecturas de las coordenadas de un punto A (por ejemplo) del plano se conforma por:
 
*x(A) e y(A) para las coordenadas cartesianas, 
 
*Longitud(A) y Ángulo(A) para las coordenadas polares.
 
*Longitud(A) , arg(A) y alt(A) ara las coordenadas esféricas. (Debe considerarse que el Ángulo[A], da por resultado siempre el ángulo '''''(Ox,OA)''''')
 
Para ubicarlos en la [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculo]], de modo que se los identifique y nombre según la dirección de la celda de cabida, se anota...
 
*'''<code><nowiki>A2 = (1, 0)</nowiki></code>''' para ubicarlo en coordenadas cartesianas en la celda ('''''A2''''' en este caso)
 
*'''<code><nowiki>A2 = (1; 10°)</nowiki></code>''' operando en polares 
 
}}
 
{{Note|1=<br>El separador de las coordenadas polares es el punto y coma. <br>Si no se anota el símbolo de grados, '''''GeoGebra''''' asume que el valor del ángulo se expresa en radianes.}}
 
{{OJo|1=<br>Se puede acceder a las coordenadas de un punto, como ''Q'' anotando....
 
*'''<code>abs(Q)</code>''' y '''<code>arg(Q)</code>''' para sendos componentes de las coordenadas polares
 
*'''<code>x(Q)</code>''' y '''<code>y(Q)</code>''' para cartesianas del punto ''Q'', con las mismas [[:Categoría:Funciones_Predefinidas#Anotando_Operadores_y_Funciones_Predefinidas|funciones predefinidas]] ''x'' e  ''y'' si se trata de  vectores.}}
 
{{Example|1=Si '''<code>P=(1, 2)</code>''' es un punto y '''<code>v=(3, 4)</code>''' un vector,<br>'''<code>x(P)</code>''' da por resultado 1 y '''<code>y(v)</code>''', 4.}}
 
  
=Puntos=
 
==Cálculos Puntuales==
 
{{GGb5D|<div>
 
*Puntos
 
Un punto puede quedar definido desde la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra o Campo de Entrada]] por sus tres coordenadas
 
*Cartesianas
 
*Esféricas</div>}}
 
{{Examples|1=<div>
 
*Por tres coordenadas cartesianas
 
**C=(1,2,3)
 
*Por tres coordenadas esféricas
 
**A=(1 ; 45°;30°) </div>}}
 
{{Note|1=Las coordenadas esféricas requieren los valores correspondientes a '''''recta-longitud-latitud''''' que pueden simbolizarse como:<div>
 
*(ρ, φ, δ) donde...
 
**'''ρ''''' designa la distancia del punto al origen,
 
**'''''φ''''' designa la longitud (ángulo polar de la proyección del objeto sobre xOy, medido tras el eje x, entre 0° y 360°)
 
**'''''δ''''' la latitud, el ángulo tras el plano xOy (entre -90° y 90°)</div>}}
 
<h3>Ilustrando con Coordenadas</h3>
 
[[Image:Spheriques.PNG|280px|center]]
 
 
=Sobre Vectores=
 
===Vectores===
 
En '''''GeoGebra''''',  pueden hacerse cálculos con puntos y vectores.
 
{{Examples|1=<br>Puede establecerse...<br>
 
*el punto medio ''M'' entre ''A'' y ''B'' anotando, en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]]:
 
**'''<code><nowiki>M = (A + B) / 2</nowiki></code>'''
 
*la longitud de un vector ''v'' con '''<code><nowiki>longitud = sqrt(v * v)</nowiki></code>'''<br>
 
Se puede operar con un punto, como ''A'', para establecer otro. Así...
 
*Siendo ''A = (a, b)'', '''A + 1''' crea otro punto, ''B'', de coordenadas ''(a + 1, b + 1)''
 
*Siendo ''A'' un [[Números complejos|número complejo]]  ''a + b i'', entonces...
 
**''A + 1'' crea otro, el  [[Números complejos|número complejo]]  ''a+1+bi'' y
 
**''A + i'', el  [[Números complejos|número complejo]]  ''a+ (b + 1) i''
 
}}{{Command|cas=true|vector-matrix|ProductoVectorial}}
 
==Producto Vectorial==
 
Para dos puntos o dos vectores '''<code><nowiki>(a, b)⊗(c, d)</nowiki></code>''' da por resultado la coordenada-z del producto vectorial '''''(a, b, 0)⊗(c, d, 0)''''' como un simple número.
 
;
 
Similar sintaxis es válida para listas pero el  resultado en tal caso, es una lista.
 
{{Examples|1=<br/>
 
*'''<code><nowiki>{1, 2} ⊗ {4, 5}</nowiki></code>''' da por resultado ''{0, 0, -3}''
 
*'''<code><nowiki>{1, 2, 3} ⊗ {4, 5, 6}</nowiki></code>''' da ''{3, 6, -3}'' dado que el producto vectorial usual opera con listas.
 
}}
 
;ProductoVectorial( <Vector> , <Vector> ):Calcula el [[:w:es:Producto_vectorial|producto vectorial]] ([[:w:en:Cross_product|'''cross product''']] en inglés) de un vector por el otro, expresándolo como una lista.<br>Así, '''ProductoVectorial'''(<Vector<sup><math>\vec{u}</math></sup>>, <Vector<sup><math>\vec{v}</math></sup>> ) siendo <big><sup><math>\vec{u}</math></sup></big>  = <math>\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} </math> y <big><sup><math>\vec{v}</math></sup></big> =  <math>\begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix}</math> dos vectores del plano, establece el determinante ''bi''-vectorial o calcula el producto vectorial de  ''(a,b,0)'' y  ''(c,d,0)''.<br>En ámbitos 3D, además puede representar el resultado.
 
{{Examples|1=<br><br>Dados dos vectores en el plano <big><sup><math>\vec{u}</math></sup></big> = <math>\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}</math> y <big><sup><math>\vec{v}</math></sup></big> = <math>\begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix} </math>  '''<code>ProductoVectorial(u, v)</code>''' da el número ''8'' (2 x 1 - 2 x -3).<br/>(El determinante del bi-vector del producto vectorial de  ''(2,2,0)'' y ''(-3,1,0)'').<br><br>Dados dos vectores en el espacio <big><sup><math>\vec{u}</math></sup></big> y  <big><sup><math>\vec{v}</math></sup></big> (como lista de 3 elementos), se puede obtener el correspondiente resultante del producto vectorial de ambos como lista de 3 elementos. Así:<br>'''<code><nowiki>ProductoVectorial({1, 3, 2}, {0, 3, -2})</nowiki></code>''' da por resultado la lista ''{-12, 2, 3}'', el producto vectorial de ''{1, 2, 3}'' por  ''{0, 3, -2}'', correspondiente al vector <small><math>\left( \begin{array}{} -12 \\ 2 \\ 3 \end{array}    \right) </math> </small> que es el producto vectorial de <small><math>\left( \begin{array}{} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}    \right) </math></small> y de <math>\begin{pmatrix}0 \\ 3\\-2\end{pmatrix} </math>.}}
 
{{Note|1=<br>En la [[Manual:Barra de Entrada|Barra de Entrada]] puede usarse el [[:Categoría:Funciones_Predefinidas#Anotando_Operadores_y_Funciones_Predefinidas|operador]] correspondiente, anotando, por ejemplo, '''<code>u ⊗ v</code>'''
 
}}
 
===[[Image:Menu view cas.svg|link=Referencia:Croquis#Vista CAS|18px]] [[Referencia:Croquis|En]] [[Referencia:Croquis#Vista CAS|Vista CAS '''C'''<sub><small>omputación</small></sub>'''A'''<sub><small>lgebraica</small></sub>'''S'''<sub><small>imbólica</small></sub>]]===
 
En esta [[Referencia:Croquis#Vista CAS|vista]] se admiten literales para operar simbólicamente<br><small>{{Attention|1=Si en uno u otro vector hubiera variables sin valor asignado, resulta la fórmula correspondiente.}}</small>
 
{{Examples|1=Siendo ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'' y ''f'' literales sin valor asignado en ''GeoGebra''...<br>'''<code><nowiki>ProductoVectorial({a, b, c}, {d, e, f})</nowiki></code>'''  da ''{b f - c e, -a f + c d, a e - b d}''<br>'''<code><nowiki>ProductoVectorial({a, b}, {c, d})</nowiki></code>'''  da ''{0, 0, a d - b c}''
 
}}<hr>
 
{{Note|1=Ver también el comando [[Manual:Comando ProductoEscalar|ProductoEscalar]].
 
}}
 
 
=Sobre Matrices=
 
==Matrices==
 
'''''GeoGebra''''' también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene las filas de la matriz.
 
{{Example|1=<br>'''<nowiki>a = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}</nowiki>''' representa la matriz  '''''a''''' de 3x3:<br><center><math>\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}</math></center>}}
 
{{Note|1=Para desplegar con elegancia y facilidad una matriz en la [[Vista Gráfica]], puede emplearse el formato [[Tutorial:Detalles_Adicionales_de_GeoGebra#Sobre_LaTeX|LaTeX]], usando el comando [[Comando FórmulaTexto|FórmulaTexto]].}}
 
{{Example|1=En la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]] puede anotarse:<br>'''<code>FórmulaTexto(<nowiki>{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} }</nowiki>)</code>''' para exponer la matriz usando formato [[Tutorial:Detalles_Adicionales_de_GeoGebra#Sobre_LaTeX|LaTeX]].
 
}}
 
 
<!--
 
=Objetos Generales - Vectores y Matrices=
 
==Vectores y Matrices==
 
{{:Categoría:Comandos de Vectores y Matrices}}
 
[[Category:Comandos]]-->
 

Revisión actual del 16:16 13 ago 2020

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