Comandos de Vectores y Matrices

De GeoGebra Manual
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Se listan a continuación los comandos asociados a vectores y matrices:

De Vectores y Matrices

Desde la versión 4.2

Puntos y Vectores

Los puntos y vectores pueden ingresarse en la Barra de Entrada, en coordenada cartesianas (el separador es la coma), polares o esféricas (el separador es el punto y coma).

Puntos

Los puntos, también pueden crearse con herramientas como...

... y con una variedad de comandos.

Nota: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores pese a que esta no es una convención restrictiva.
Ejemplos:
Para ingresar un punto, se anota...
  • P = (1, 0) para crear P en coordenadas cartesianas y...
    • v = (0, 5) si se tratara de un vector, como v
  • P = (1; 0°) en coordenadas polares y...
    • v = (5; 90°) si se tratara de un vector, como v

El menú contextual de un punto (o de un vector) del plano se puede alternar entre la representación Coordenadas cartesienas <> Coordenadas polares. Las lecturas de las coordenadas de un punto A (por ejemplo) del plano se conforma por:

  • x(A) e y(A) para las coordenadas cartesianas,
  • Longitud[A] y Ángulo[A] para las coordenadas polares.
  • Longitud[A] , arg(A) y alt(A) ara las coordenadas esféricas. (Debe considerarse que el Ángulo[A], da por resultado siempre el ángulo (Ox,OA))

Para ubicarlos en la Hoja de Cálculo, de modo que se los identifique y nombre según la dirección de la celda de cabida, se anota...

  • A2 = (1, 0) para ubicarlo en coordenadas cartesianas en la celda (A2 en este caso)
  • A2 = (1; 10°) operando en polares
Nota:
El separador de las coordenadas polares es el punto y coma.
Si no se anota el símbolo de grados, GeoGebra asume que el valor del ángulo se expresa en radianes.
Bulbgraph.pngAtención:
Se puede acceder a las coordenadas de un punto, como Q anotando....
  • abs(Q) y arg(Q) para sendos componentes de las coordenadas polares
  • x(Q) y y(Q) para cartesianas del punto Q, con las mismas funciones predefinidas x e y si se trata de vectores.
Ejemplo: Si P=(1, 2) es un punto y v=(3, 4) un vector,
x(P) da por resultado 1 y y(v), 4.

Cálculos Puntuales

GGb5.png En la Menu view graphics3D.png Vista 3D de la versión View-graphics3D24.png5
  • Puntos

Un punto puede quedar definido desde la Barra o Campo de Entrada por...

  • sus tres coordenadas cartesianas
    • Cartesianas
      Ejemplo:
      C=(1,2,3)
  • sus tres coordenadas esféricas
    • Esféricas
      Ejemplo: A=(1 ; 45°;30°)
Nota: Las coordenadas esféricas requieren los valores correspondientes a recta-longitud-latitud que pueden simbolizarse como:
  • (ρ, φ, δ) donde...
    • ρ designa la distancia del punto al origen,
    • φ designa la longitud (ángulo polar de la proyección del objeto sobre xOy, medido tras el eje x, entre 0° y 360°)
    • δ la latitud, el ángulo tras el plano xOy (entre -90° y 90°)
Ejemplo: A=(1;45°;30°)

Ilustrando con Coordenadas

Spheriques.PNG

Sobre Vectores

Vectores

En GeoGebra, también pueden hacerse cálculos con puntos y vectores.

Ejemplos:
Puede establecerse...
  • el punto medio M entre A y B anotando, en la Barra de Entrada:
    • M = (A + B) / 2
  • la longitud de un vector v con longitud = sqrt(v * v)

Se puede operar con un punto, como A, para establecer otro. Así...


Producto Vectorial

Para dos puntos o dos vectores (a, b)⊗(c, d) da por resultado la coordenada-z del producto vectorial (a, b, 0)⊗(c, d, 0) como un simple número.

Similar sintaxis es válida para listas pero el resultado en tal caso, es una lista.

Ejemplos:
  • {1, 2} ⊗ {4, 5} da por resultado {0, 0, -3}
  • {1, 2, 3} ⊗ {4, 5, 6} da {3, 6, -3} dado que el producto vectorial usual opera con listas.


Sobre Matrices

Matrices

GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene las filas de la matriz.

Ejemplo:
a = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz a de 3x3:
\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}
Nota: Para desplegar con elegancia y facilidad una matriz en la Vista Gráfica, puede emplearse el formato LaTeX, usando el comando FórmulaTexto.
Ejemplo: En la Barra de Entrada puede anotarse:
FórmulaTexto[{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} }] para exponer la matriz usando formato LaTeX.

Operaciones con Matrices

Sumas y Restas - Ejemplos

  • Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz.
  • Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí.

Multiplicación - Ejemplos

  • Matriz * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la matriz.
  • Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la resultante.
Nota: Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el mismo número de elementos.
Ejemplo: {{1,2},{3,4},{5,6}}*{{1,2,3},{4,5,6}} da por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}.
  • 2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto
  • 3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto.
Ejemplos:
  • {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} da por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}
  • {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) da por resultado el punto A = (11, 25).
  • {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) da por resultado el punto A = (8, 20).
Nota: Este es un caso especial de transformaciones afines donde las coordenadas homogéneas se usan: (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) por un vector. Este último ejemplo es, por lo tanto, equivalente a:
{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}.


Profundizando

Ver también en la sección Comandos de Vectores y Matrices...

  • Determinante[Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada.
  • Inversa[Matriz]: Invierte la matriz dada.
  • Traspone[Matriz]: Traspone la matriz dada.
  • AplicaMatriz[Matriz, Objeto]: Aplica la transformación afín propio de la matriz al objeto.
  • EscalonadaReducida[Matriz]: Convierte la matriz a la forma reducida escalonada por fila.
Nota: Visitar el correspondiente foro por mayores detalles y observaciones sobre multiplicación de matrices.

Interacción Algebra <=> Hoja de Cálculos

Tablas y Matrices

Algebraica a Hoja II.PNG

A => HC : Una matriz algebraica, puede incorporarse en la Hoja de Cálculo arrastrándola hacia allí mientras se pulsa la tecla Ctrl.
Si se establece dependiente , todo cambio en la matriz de partida repercutirá en la incrustada en la Hoja de Cálculo, dinámicamente. Para que esto no ocurra, se la debe establecer como Objeto Libre

Nota:
Se puede copiar la Transposición de la matriz original.
Bulbgraph.pngAtención: Si se arrastra y deposita en la Hoja de Cálculos sin tener pulsada la tecla Ctrl, se obtiene una copia simple.
De Hoja a Matriz Algebraica.PNG

HC => A: Todo rango rectangular de celdas seleccionado en la Hoja de Cálculo, tras optar por la alternativa Crea > Matriz del Menú Contextual desplegado por un clic derecho, la registra como objeto dinámicamente dependiente. De este modo, cualquier cambio en el original rango de celdas de la hoja de cálculo, se refleja en la matriz.

Bulbgraph.pngAtención: A posteriori se podrán modificar algunas de las Propiedades de la matriz, tabla o lista creadas desde el Cuadro de Ajustes .
Ejemplo:
Siendo l_a := Secuencia[BinomialAleatorio[3, 0.1], ñ, 1, 1000, Mínimo[Máximo[AleatorioEntre[1, exF], 1], 1]] la lista de registro algebraico, copiando a la Hoja de Cálculo, sendas listas lo y lf definidas como:
lo := Ordena[Único[la]] y lf := Zip[CuentaSi[x ≟ ñ, l_a], ñ, {0,1,2,3}], cundo se selecciona el rango de celdas en que se volcaron ambas listas y se crea la correspondiente matriz, se obtiene una dinámica y aleatoriamente cambiante con cada pulsación de F9

Nota: Ver también el artículo sobre Listas.
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