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Los puntos y vectores pueden ingresarse en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]], en coordenada cartesianas (el separador es la coma), polares o esféricas (el separador es el punto y coma). | Los puntos y vectores pueden ingresarse en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]], en coordenada cartesianas (el separador es la coma), polares o esféricas (el separador es el punto y coma). |
Revisión del 21:50 7 abr 2020
Comandos de Vectores y Matrices
Categorías de Comandos (todos)
De Vectores y Matrices
- AComplejo
- AplicaMatriz4.2
- APolar
- APunto
- Determinante
- DiagonalizaciónJordanCAS
- Dimensión4.2
- DVSCAS
- EscalonadaReducida
- Identidad
- InversaCAS
- ProductoEscalar
- ProductoVectorial
- RangoMatriz4.2
- Traspone
- ValoresPropiosCAS
- Vector
- VectoresPropiosCAS
- VectorNormal
- VectorNormalUnitario
- VectorUnitario
Puntos y Vectores
Los puntos y vectores pueden ingresarse en la Barra de Entrada, en coordenada cartesianas (el separador es la coma), polares o esféricas (el separador es el punto y coma).
Los puntos, también pueden crearse con herramientas como...
- la de
Punto
- la de vector
Equipolente
- o la de
Vector
... y con una variedad de comandos.
Para ingresar un punto, se anota...
P = (1, 0)
para crear P en coordenadas cartesianas y...v = (0, 5)
si se tratara de un vector, como v
P = (1; 0°)
en coordenadas polares y...v = (5; 90°)
si se tratara de un vector, como v
El menú contextual de un punto (o de un vector) del plano se puede alternar entre la representación Coordenadas cartesienas <> Coordenadas polares. Las lecturas de las coordenadas de un punto A (por ejemplo) del plano se conforma por:
- x(A) e y(A) para las coordenadas cartesianas,
- Longitud(A) y Ángulo(A) para las coordenadas polares.
- Longitud(A) , arg(A) y alt(A) ara las coordenadas esféricas. (Debe considerarse que el Ángulo[A], da por resultado siempre el ángulo (Ox,OA))
Para ubicarlos en la Hoja de Cálculo, de modo que se los identifique y nombre según la dirección de la celda de cabida, se anota...
A2 = (1, 0)
para ubicarlo en coordenadas cartesianas en la celda (A2 en este caso)A2 = (1; 10°)
operando en polares
El separador de las coordenadas polares es el punto y coma.
Si no se anota el símbolo de grados, GeoGebra asume que el valor del ángulo se expresa en radianes.
![Bulbgraph.png](/uploads/thumb/6/60/Bulbgraph.png/18px-Bulbgraph.png)
Se puede acceder a las coordenadas de un punto, como Q anotando....
abs(Q)
yarg(Q)
para sendos componentes de las coordenadas polaresx(Q)
yy(Q)
para cartesianas del punto Q, con las mismas funciones predefinidas x e y si se trata de vectores.
P=(1, 2)
es un punto y v=(3, 4)
un vector,x(P)
da por resultado 1 y y(v)
, 4.Cálculos Puntuales
![GGb5.png](/uploads/thumb/5/57/GGb5.png/20px-GGb5.png)
![Menu view graphics3D.png](/uploads/thumb/8/83/Menu_view_graphics3D.png/20px-Menu_view_graphics3D.png)
![View-graphics3D24.png](/uploads/thumb/7/7f/View-graphics3D24.png/20px-View-graphics3D24.png)
- Puntos
Un punto puede quedar definido desde la Barra o Campo de Entrada por sus tres coordenadas
- Cartesianas
- Esféricas
- Por tres coordenadas cartesianas
- C=(1,2,3)
- Por tres coordenadas esféricas
- A=(1 ; 45°;30°)
- (ρ, φ, δ) donde...
- ρ designa la distancia del punto al origen,
- φ designa la longitud (ángulo polar de la proyección del objeto sobre xOy, medido tras el eje x, entre 0° y 360°)
- δ la latitud, el ángulo tras el plano xOy (entre -90° y 90°)
Ilustrando con Coordenadas
Sobre Vectores
Vectores
En GeoGebra, pueden hacerse cálculos con puntos y vectores.
Puede establecerse...
- el punto medio M entre A y B anotando, en la Barra de Entrada:
M = (A + B) / 2
- la longitud de un vector v con
longitud = sqrt(v * v)
Se puede operar con un punto, como A, para establecer otro. Así...
- Siendo A = (a, b), A + 1 crea otro punto, B, de coordenadas (a + 1, b + 1)
- Siendo A un número complejo a + b i, entonces...
- A + 1 crea otro, el número complejo a+1+bi y
- A + i, el número complejo a+ (b + 1) i
s de Vectores y Matrices
Categorías de Comandos (todos)
Producto Vectorial
Para dos puntos o dos vectores (a, b)⊗(c, d)
da por resultado la coordenada-z del producto vectorial (a, b, 0)⊗(c, d, 0) como un simple número.
Similar sintaxis es válida para listas pero el resultado en tal caso, es una lista.
{1, 2} ⊗ {4, 5}
da por resultado {0, 0, -3}{1, 2, 3} ⊗ {4, 5, 6}
da {3, 6, -3} dado que el producto vectorial usual opera con listas.
- ProductoVectorial( <Vector> , <Vector> )
- Calcula el producto vectorial (cross product en inglés) de un vector por el otro, expresándolo como una lista.
Así, ProductoVectorial(<Vector\vec{u}>, <Vector\vec{v}> ) siendo \vec{u} = \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} y \vec{v} = \begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix} dos vectores del plano, establece el determinante bi-vectorial o calcula el producto vectorial de (a,b,0) y (c,d,0).
En ámbitos 3D, además puede representar el resultado.
Dados dos vectores en el plano \vec{u} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} y \vec{v} = \begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix}
ProductoVectorial(u, v)
da el número 8 (2 x 1 - 2 x -3).(El determinante del bi-vector del producto vectorial de (2,2,0) y (-3,1,0)).
Dados dos vectores en el espacio \vec{u} y \vec{v} (como lista de 3 elementos), se puede obtener el correspondiente resultante del producto vectorial de ambos como lista de 3 elementos. Así:
ProductoVectorial({1, 3, 2}, {0, 3, -2})
da por resultado la lista {-12, 2, 3}, el producto vectorial de {1, 2, 3} por {0, 3, -2}, correspondiente al vector \left( \begin{array}{} -12 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) que es el producto vectorial de \left( \begin{array}{} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right) y de \begin{pmatrix}0 \\ 3\\-2\end{pmatrix} .En la Barra de Entrada puede usarse el operador correspondiente, anotando, por ejemplo,
u ⊗ v
En Vista CAS ComputaciónAlgebraicaSimbólica
En esta vista se admiten literales para operar simbólicamente
![]() |
Si en uno u otro vector hubiera variables sin valor asignado, resulta la fórmula correspondiente. |
ProductoVectorial({a, b, c}, {d, e, f})
da {b f - c e, -a f + c d, a e - b d}ProductoVectorial({a, b}, {c, d})
da {0, 0, a d - b c}Sobre Matrices
Matrices
GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene las filas de la matriz.
a = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz a de 3x3:
FórmulaTexto({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} })
para exponer la matriz usando formato LaTeX.Operaciones con Matrices
Sumas y Restas - Ejemplos
- Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz.
- Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí.
Multiplicación - Ejemplos
- Matriz * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la matriz.
- Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la resultante.
- 2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto
- 3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto.
- {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} da por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}
- {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) da por resultado el punto A = (11, 25).
- {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) da por resultado el punto A = (8, 20).
{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}
.
![]() |
Para dividir la matriz_A por la matriz_B, no se apela a A/B sino a A*Inversa[B] o A*B^(-1).
Dadas las matrices matriz_A = {{6, 2, 3}, {4, 5, 6}, {9, 8, 14}} matriz_A*Inversa[matriz_B] o matriz_A matriz_B^(-1) que da la matriz:\left(\begin{array}{}-1&-6&5\\-1&7&0\\-6&6&7\\ \end{array}\right) |
Profundizando
Comandando con Matrices
s de Vectores y Matrices
Categorías de Comandos (todos)
- DiagonalizaciónJordan( <Matriz> )
- Devuelve la descomposición de la matriz según la forma canónica de Jordan en una lista de un par de matrices P y J tal que A = P*J*P-1 (J está expresada en la forma canónica de Jordan)
Ejemplos y Variantes
DiagonalizaciónJordan({{1, 2}, {3, 4}})
devuelve \left(\begin{array}{}\sqrt{33} - 3&-\sqrt{33} - 3\\6&6\\\end{array}\right) , \left(\begin{array}{}\frac{\sqrt{33} + 5}{2}&0\\0&\frac{-\sqrt{33} + 5}{2}\\\end{array}\right)- Siendo A:= \left(\begin{array}{}-1&-1&0&0\\0&-1&0&0\\0&2&0&-1\\0&-2&2&3\\\end{array}\right)
DiagonalizaciónJordan( A )
devuelve la lista de dos matrices (P = ) \left(\begin{array}{}0&0&-6&5\\0&0&0&6\\-1&-1&0&-6\\2&1&0&6\\\end{array}\right) y (J = ) \left(\begin{array}{}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1\\\end{array}\right) .
![Mode vector.svg](/uploads/thumb/c/c9/Mode_vector.svg/27px-Mode_vector.svg.png)
Ver también...
... cada uno de los siguientes comandos:
- Determinante(Matriz) Calcula el determinante de la matriz dada.
- Traspone(Matriz) Traspone la matriz dada.
- AplicaMatriz(Matriz, Objeto) Aplica la transformación afín propio de la matriz al objeto.
- EscalonadaReducida(Matriz) Convierte la matriz a la forma reducida escalonada por fila.
Interacción Álgebra <=> Hoja de Cálculos
Tablas y Matrices
A => HC : Una matriz algebraica, puede incorporarse en la Hoja de Cálculo arrastrándola hacia allí mientras se pulsa la tecla Ctrl.
Si se establece dependiente , todo cambio en la matriz de partida repercutirá en la incrustada en la Hoja de Cálculo, dinámicamente. Para que esto no ocurra, se la debe establecer como Objeto Libre
Se puede copiar la Transposición de la matriz original.
![Bulbgraph.png](/uploads/thumb/6/60/Bulbgraph.png/18px-Bulbgraph.png)
HC => A: Todo rango rectangular de celdas seleccionado en la Hoja de Cálculo, tras optar por la alternativa Crea > Matriz del Menú Contextual desplegado por un clic derecho, la registra como objeto dinámicamente dependiente. De este modo, cualquier cambio en el rango de celdas original de la hoja de cálculo, se refleja en la matriz.
![Bulbgraph.png](/uploads/thumb/6/60/Bulbgraph.png/18px-Bulbgraph.png)
Siendo l_a :=
Secuencia(BinomialAleatorio(3, 0.1), ñ, 1, 1000, Mínimo(Máximo(AleatorioEntre(1, exF), 1), 1))
la lista de registro algebraico, copiando a la Hoja de Cálculo, sendas listas lo y lf definidas como:lo :=
Ordena(Único(la))
y lf := Zip(CuentaSi(x ≟ ñ, l_a], ñ, {0,1,2,3))
, al seleccionar el rango de celdas donde se volcaron ambas listas y se crea la correspondiente matriz, se obtiene una dinámica y aleatoriamente cambiante con cada pulsación de F9Páginas en la categoría «Comandos de Vectores y Matrices»
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