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De GeoGebra Manual
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{{DISPLAYTITLE:Comandos de Vectores y Matrices}}{{command|vector-matrix|category| Comandos de Vectores y Matrices}}<!--<noinclude>{{Manual Page|version=5.0}}</noinclude> Se listan a continuación los [[:Categoría:Comandos_de_Vectores_y_Matrices#Comando_a_Comando|comandos]] asociados a '''vectores''' y '''matrices''':<br><hr><center>[[Comandos de Vectores y Matrices|Al pulsar se despliegan los comandos de vectores y matrices]]</center>-->
+
{{DISPLAYTITLE:Comandos de Vectores y Matrices}}
<h1><small>[[Comandos de Vectores y Matrices|De Vectores y Matrices]]</small></h1>
+
[[Category:Comandos]]
*[[Manual:Comando AplicaMatriz|AplicaMatriz]]<small><small><sup>4.2</sup></small></small>
 
*[[Comando AComplejo|AComplejo]]
 
*[[Manual:Comando AplicaMatriz|AplicaMatriz]]
 
*[[Comando APolar|APolar]]
 
*[[Comando APunto|APunto]]
 
*[[Comando Determinante|Determinante]]
 
*[[Manual:Comando_DiagonalizaciónJordan|Diagonalización<sub>Jordan</sub>]]<small><small><sup>CAS</sup></small></small> <!-- {{command|cas=true|vector-matrix DiagonalizaciónJordan}} -->
 
*[[Comando Dimensión|Dimensión]]<small><small><sup>4.2</sup></small></small>
 
*[[Manual:Comando DVS|DVS]]<small><small><sup>CAS</sup></small></small>
 
*[[Comando EscalonadaReducida|EscalonadaReducida]]
 
*[[Comando Identidad|Identidad]]
 
*[[Comando Inversa|Inversa]]
 
*[[Comando ProductoEscalar|ProductoEscalar]]
 
*[[Comando ProductoVectorial|ProductoVectorial]]
 
*[[Comando RangoMatriz|RangoMatriz]]<small><small><sup>4.2</sup></small></small>
 
*[[Comando Traspone|Traspone]]
 
*[[Manual:Comando ValoresPropios|ValoresPropios]]<small><small><sup>CAS</sup></small></small>
 
*[[Comando Vector|Vector]]
 
*[[Manual:Comando VectoresPropios|VectoresPropios]]<small><small><sup>CAS</sup></small></small>
 
*[[Comando VectorNormal|VectorNormal]]
 
*[[Comando VectorNormalUnitario|VectorNormal<small>Unitario</small>]]
 
*[[Manual:Comando VectoresPropios|VectoresPropios]]<small><small><sup>CAS</sup></small></small>
 
*[[Comando VectorUnitario|VectorUnitario]]
 
=<small><small>Puntos y Vectores</small></small>=
 
Los puntos y vectores pueden ingresarse en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]], en coordenada cartesianas (el separador es la coma), polares o esféricas (el separador es el punto y coma).
 
{{Note|1= Ver también el artículo sobre [[Números y Ángulos]].}}
 
===Puntos===
 
Los puntos, también pueden crearse con herramientas como...
 
*la de [[Image:Mode point.svg|23px]][[Herramienta de Punto|Punto]];
 
*la de vector [[Image: Mode  vectorfrompoint.svg|23px]] [[Herramienta de Equipolente|Equipolente]];
 
*o la de [[Image:Mode vector.svg|23px]] [[Herramienta de Vector|Vector]]
 
... y con una variedad de [[:Categoría:Comandos#Comando_a_Comando|comandos]].
 
{{Note|1=Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores pese a que esta no es una convención restrictiva.}}
 
{{Examples|1=<br>Para ingresar un punto, se anota...
 
*'''<code><nowiki>P = (1, 0)</nowiki></code>''' para crear '''''P''''' en coordenadas cartesianas y...
 
**'''<code><nowiki>v = (0, 5)</nowiki></code>''' si se tratara de un vector, como '''''v'''''
 
*'''<code><nowiki>P = (1; 0°)</nowiki></code>''' en coordenadas polares y...
 
**'''<code><nowiki>v = (5; 90°)</nowiki></code>''' si se tratara de un vector, como '''''v'''''<br>
 
El menú contextual de un punto (o de un vector) del plano se puede alternar entre la representación  ''Coordenadas cartesienas'' <> ''Coordenadas polares''.
 
Las lecturas de las coordenadas de un punto A (por ejemplo) del plano se conforma por:
 
*x(A) e y(A) para las coordenadas cartesianas, 
 
*Longitud[A] y Ángulo[A] para las coordenadas polares.
 
*Longitud[A] , arg(A) y alt(A) ara las coordenadas esféricas. (Debe considerarse que el Ángulo[A], da por resultado siempre el ángulo '''''(Ox,OA)''''')
 
Para ubicarlos en la [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculo]], de modo que se los identifique y nombre según la dirección de la celda de cabida, se anota...
 
*'''<code><nowiki>A2 = (1, 0)</nowiki></code>''' para ubicarlo en coordenadas cartesianas en la celda ('''''A2''''' en este caso)
 
*'''<code><nowiki>A2 = (1; 10°)</nowiki></code>''' operando en polares 
 
}}
 
{{Note|1=<br>El separador de las coordenadas polares es el punto y coma. <br>Si no se anota el símbolo de grados, '''''GeoGebra''''' asume que el valor del ángulo se expresa en radianes.}}
 
{{OJo|1=<br>Se puede acceder a las coordenadas de un punto, como ''Q'' anotando....
 
*'''<code>abs(Q)</code>''' y '''<code>arg(Q)</code>''' para sendos componentes de las coordenadas polares
 
*'''<code>x(Q)</code>''' y '''<code>y(Q)</code>''' para cartesianas del punto ''Q'', con las mismas [[Operadores y Funciones Predefinidas|funciones predefinidas]] ''x'' e  ''y'' si se trata de  vectores.}}
 
{{Example|1=Si '''<code>P=(1, 2)</code>''' es un punto y '''<code>v=(3, 4)</code>''' un vector,<br>'''<code>x(P)</code>''' da por resultado 1 y '''<code>y(v)</code>''', 4.}}
 
==Cálculos Puntuales==
 
{{GGb5D|<div>
 
*Puntos
 
Un punto puede quedar definido desde la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra o Campo de Entrada]] por sus tres coordenadas
 
*Cartesianas
 
*Esféricas</div>}}
 
{{Examples|1=<div>
 
*Por tres coordenadas cartesianas
 
**C=(1,2,3)
 
*Por tres coordenadas esféricas
 
**A=(1 ; 45°;30°) </div>}}
 
{{Note|1=Las coordenadas esféricas requieren los valores correspondientes a '''''recta-longitud-latitud''''' que pueden simbolizarse como:<div>
 
*(ρ, φ, δ) donde...
 
**'''ρ''''' designa la distancia del punto al origen,
 
**'''''φ''''' designa la longitud (ángulo polar de la proyección del objeto sobre xOy, medido tras el eje x, entre 0° y 360°)
 
**'''''δ''''' la latitud, el ángulo tras el plano xOy (entre -90° y 90°)</div>}}
 
<h3>Ilustrando con Coordenadas</h3>
 
[[Image:Spheriques.PNG|280px|center]]
 
=Sobre Vectores=
 
===Vectores===
 
En '''''GeoGebra''''', también pueden hacerse cálculos con puntos y vectores.
 
{{Examples|1=<br>Puede establecerse...<br>
 
*el punto medio ''M'' entre ''A'' y ''B'' anotando, en la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]]:
 
**'''<code><nowiki>M = (A + B) / 2</nowiki></code>'''
 
*la longitud de un vector ''v'' con '''<code><nowiki>longitud = sqrt(v * v)</nowiki></code>'''<br>
 
Se puede operar con un punto, como ''A'', para establecer otro. Así...
 
*Siendo ''A = (a, b)'', '''A + 1''' crea otro punto, ''B'', de coordenadas ''(a + 1, b + 1)''
 
*Siendo ''A'' un [[Números complejos|número complejo]]  ''a + b i'', entonces...
 
**''A + 1'' crea otro, el  [[Números complejos|número complejo]]  ''a+1+bi'' y
 
**''A + i'', el  [[Números complejos|número complejo]]  ''a+ (b + 1) i''
 
}}
 
==Producto Vectorial==
 
Para dos puntos o dos vectores '''<code><nowiki>(a, b)⊗(c, d)</nowiki></code>''' da por resultado la coordenada-z del producto vectorial '''''(a, b, 0)⊗(c, d, 0)''''' como un simple número.
 
;
 
Similar sintaxis es válida para listas pero el  resultado en tal caso, es una lista.
 
{{Examples|1=<br/>
 
*'''<code><nowiki>{1, 2} ⊗ {4, 5}</nowiki></code>''' da por resultado ''{0, 0, -3}''
 
*'''<code><nowiki>{1, 2, 3} ⊗ {4, 5, 6}</nowiki></code>''' da ''{3, 6, -3}'' dado que el producto vectorial usual opera con listas.
 
}}
 
=Sobre Matrices=
 
==Matrices==
 
'''''GeoGebra''''' también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene las filas de la matriz.
 
{{Example|1=<br>'''<nowiki>a = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}</nowiki>''' representa la matriz  '''''a''''' de 3x3:<br><center><math>\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}</math></center>}}
 
{{Note|1=Para desplegar con elegancia y facilidad una matriz en la [[Vista Gráfica]], puede emplearse el formato [[Tutorial:Detalles_Adicionales_de_GeoGebra#Sobre_LaTeX|LaTeX]], usando el comando [[Comando FórmulaTexto|FórmulaTexto]].}}
 
{{Example|1=En la [[Manual:Barra_de_Entrada|Barra de Entrada]] puede anotarse:<br>'''<code>FórmulaTexto[<nowiki>{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} }</nowiki>]</code>''' para exponer la matriz usando formato [[Tutorial:Detalles_Adicionales_de_GeoGebra#Sobre_LaTeX|LaTeX]].
 
}}
 
==Operaciones con Matrices==
 
===Sumas y Restas - Ejemplos===
 
*Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes de  una y otra matriz.
 
*Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos correspondientes de  una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí.
 
===Multiplicación - Ejemplos===
 
*Matriz * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la matriz.
 
*Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la resultante.
 
:{{Note|1=Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el mismo número de elementos.}}
 
:{{example|1= {{1,2},{3,4},{5,6}}*{{1,2,3},{4,5,6}} da por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}.}}
 
*2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto
 
*3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto.
 
:{{Examples|1=<br>
 
:*'''{'''{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}'''}'''  * '''{'''{1, 2, 3}, {4, 5, 6}'''}''' da por resultado la matriz '''{'''{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}'''}'''
 
:*'''{'''{1, 2}, {3, 4}'''}''' * (3, 4) da por resultado el punto A = (11, 25).
 
:*'''{'''{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}'''}''' * (1, 2) da por resultado el punto '''A''' = (8, 20).}} 
 
:{{Note|1=Este es un caso especial de transformaciones afines donde las coordenadas homogéneas se usan: (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) por un vector. Este último ejemplo es, por lo tanto, equivalente a:
 
::'''<code><nowiki>{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}</nowiki></code>'''.}}
 
{{Attention|1=<div>Para dividir la ''matriz_A'' por la matriz_B, no se apela a '''''A/B''''' sino a '''A*Inversa[B]''' o '''A*B^(-1)'''.
 
Dadas las matrices ''matriz_A = {{6, 2, 3}, {4, 5, 6}, {9, 8, 14}}''<br> <math>\left(\begin{array}{}6&2&3\\4&5&6\\9&8&14\\ \end{array}\right)</math><br>y ''matriz_B ={{3, 2, 1}, {1, 1, 1}, {3, 2, 2}}'', la  matriz <math>\left(\begin{array}{}3&2&1\\1&1&1\\3&2&2\\ \end{array}\right) </math> <code>matriz_A/matriz_B </code> da por resultado la matriz:<br><math>\left(\begin{array}{}2&1&3\\4&5&6\\3&4&7\\ \end{array}\right) </math> obtenida al dividir cada término de la ''matriz_A'' por el correspondiente de la ''matriz_B''<br>
 
<code>Inversa[matriz_B] </code> que da la matriz:<br><math>\left(\begin{array}{}0&-2&1\\1&3&-2\\-1&0&1\\ \end{array}\right) </math><br>
 
y  <code>matriz_A*Inversa[matriz_B] </code>o <code>matriz_A matriz_B^(-1)</code> que da la  matriz:<br><math>\left(\begin{array}{}-1&-6&5\\-1&7&0\\-6&6&7\\ \end{array}\right) </math></div>}}
 
__NoToc__
 
===Profundizando===
 
<h4>Comandando con Matrices</h4>
 
<!--<noinclude>{{Manual Page|version=6.0}}</noinclude> {{command|cas=true|vector-matrix| DiagonalizaciónJordan}} {{command|cas=true|vector-matrix|  DiagonalizaciónJordan}} [[Manual:Comando_DiagonalizaciónJordan|Diagonalización<sub>Jordan</sub>]] -->{{command|cas=true|vector-matrix| DiagonalizaciónJordan}}
 
;[[Manual:Comando_DiagonalizaciónJordan|DiagonalizaciónJordan]]'''(''' <Matriz> ''')'''
 
:Devuelve la descomposición de la matriz según [https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_can%C3%B3nica_de_Jordan la forma canónica de Jordan] en una lista de un par de matrices P y J tal que A = P*J*P<sup>-1</sup> (J está expresada en la [http://mathworld.wolfram.com/JordanCanonicalForm.html forma canónica de Jordan])
 
<h3>Ejemplos y Variantes</h3>
 
{{examples|1=<div><hr>
 
:<code><nowiki>DiagonalizaciónJordan({{1, 2}, {3, 4}})</nowiki></code> devuelve <math>  \left(\begin{array}{}\sqrt{33} - 3&-\sqrt{33} - 3\\6&6\\\end{array}\right)  </math>, <math> \left(\begin{array}{}\frac{\sqrt{33} + 5}{2}&0\\0&\frac{-\sqrt{33} + 5}{2}\\\end{array}\right)  </math><hr>
 
:Siendo <math> A:= \left(\begin{array}{}-1&-1&0&0\\0&-1&0&0\\0&2&0&-1\\0&-2&2&3\\\end{array}\right)</math><br/>
 
:<code>DiagonalizaciónJordan( A )</code> <br/> devuelve  la lista de dos matrices (P = )<math>  \left(\begin{array}{}0&0&-6&5\\0&0&0&6\\-1&-1&0&-6\\2&1&0&6\\\end{array}\right)</math> y (J = )<math> \left(\begin{array}{}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1\\\end{array}\right)  </math>.<br/></div>}}
 
{{3Dok}}<hr>
 
{{OA|1=<small>[[Archivo:Mode vector.svg|link=Herramienta de Vector|27px]] [[Herramienta de Vector|Vector]] y los  comandos [[Manual:Comando VectoresPropios|VectoresPropios]], [[Manual:Comando_ValoresPropios|ValoresPropios]], [[Manual:Comando DVS|DVS]], [[Comando Inversa|Inversa]], [[Comando Traspone|Traspone]]}}</small>
 
<h5>Ver también...</h5>
 
... cada uno de los siguientes comandos: <!-- en la sección [[:Categoría:Comandos_de_Vectores_y_Matrices|Comandos de Vectores y Matrices]]... -->
 
*[[Comando  Determinante|Determinante]][Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada.
 
*[[Comando Inversa|Inversa]][Matriz]: Invierte la matriz dada.
 
*[[Comando Traspone|Traspone]][Matriz]: Traspone la matriz dada.
 
*[[Manual:Comando AplicaMatriz|AplicaMatriz]][Matriz, Objeto]: Aplica la transformación afín propio de la matriz al objeto.
 
*[[Comando EscalonadaReducida|EscalonadaReducida]][Matriz]: Convierte la matriz a la forma reducida escalonada por fila.
 
{{Note|1=Visitar el correspondiente [http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=8&t=7166 foro] por mayores detalles y observaciones sobre multiplicación de matrices.}}
 
 
 
==Interacción Algebra <=> [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculos]]==
 
===Tablas y Matrices===
 
;[[File:Algebraica a Hoja II.PNG|400px|left]]
 
'''<big>A => H<sub>C</sub> </big>:''' Una matriz [[Vista Algebraica|algebraica]], puede incorporarse en la [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculo]] arrastrándola hacia allí mientras se pulsa la tecla {{KeyCode|Ctrl}}.<br/>Si se establece [[Objetos libres, dependientes y auxiliares#Objetos Auxiliares|''dependiente '']], todo cambio en la matriz de partida repercutirá en la incrustada en la [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculo]], dinámicamente. Para que esto no ocurra, se la debe establecer como [[Objetos libres, dependientes y auxiliares#Objetos Auxiliares|''Objeto Libre'']] {{Note|1=<br> Se puede copiar la ''Transposición'' de la matriz original.<br/>}} {{OJo|1=Si se arrastra y deposita en la [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculos]] sin tener pulsada la tecla {{KeyCode|Ctrl}}, se obtiene una copia simple.}}
 
;[[File:De Hoja a Matriz Algebraica.PNG|430px|left]]
 
'''<big>H<sub>C</sub> => A</big>:''' Todo ''rango'' rectangular de celdas seleccionado en la [[Manual:Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculo]], tras optar por la alternativa '''''Crea''''' > '''''Matriz''''' del [[Menú contextual|Menú Contextual]] desplegado por un ''clic'' derecho, la registra como objeto  [[Objetos libres, dependientes y auxiliares#Objetos Auxiliares|''dinámicamente dependiente'']]. De este modo, cualquier cambio en el original rango de celdas de la [[Manual:Hoja de Cálculo|hoja de cálculo]], se refleja en la matriz. {{OJo|1=A posteriori se podrán modificar algunas de las [[Manual:Referencias_y_Cuadros_de_Diálogo#Cuadro_de_Propiedades_de_Objetos|Propiedades]] de la matriz, tabla o lista creadas desde el [[Cuadro de Ajustes]] .}}
 
{{Example|1=<br>Siendo '''l_a := <code>[[Plantilla:CASo3k#Comando_Secuencia|Secuencia]]'''['''[[Comando BinomialAleatorio|BinomialAleatorio]]'''['''3, 0.1], ñ, 1, 1000, Mínimo[Máximo[AleatorioEntre[1, exF], 1], 1]]</code>''' la [[Listas|lista]] de registro [[Vista Algebraica|algebraico]], copiando a la [[Hoja de Cálculo|Hoja de Cálculo]], sendas [[Listas|listas]] ''l<sub>o</sub>'' y ''l<sub>f</sub>'' definidas como:<br>'''l<sub>o</sub> := <code>[[Comando Ordena|Ordena]]'''['''[[Comando Único|Único]]'''['''l<sub>a</sub>]]</code>''' y  '''l<sub>f</sub> := <code>[[Comando Zip|Zip]]'''['''[[Comando CuentaSi|CuentaSi]]'''['''x ≟ ñ, l_a], ñ, {0,1,2,3}]</code>''', al seleccionar el rango de celdas donde se volcaron ambas listas y se crea la correspondiente matriz, se obtiene una dinámica y aleatoriamente cambiante con cada pulsación de {{KeyCode|F9}}
 
}}<hr>
 
{{Note|1=Ver también el artículo sobre [[:Categoría:Comandos de Listas|Listas]].}}<hr><small><small><center>[[Comandos de Vectores y Matrices|Al pulsar se despliegan los comandos de vectores y matrices]]</center></small></small>
 
__NOTOC__<!--
 
[[Categoría:Versión_Previa]]-->
 
[[Categoría:Comandos de Vectores y Matrices]]
 
[[Categoría:Comandos_de_Vectores_y_Matrices]]
 

Revisión actual del 00:59 21 ago 2020

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