Diferencia entre revisiones de «Algebra desde la Barra de Entrada III»

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title=Algebra desde la Barra de Entrada III <small>Diseño del [http://www.centrobabbage.com Centro Babbage]</small>
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==Introducción Operativa==
 
==Introducción Operativa==

Revisión actual del 09:11 24 jul 2015

Tutorial: Algebra desde la Barra de Entrada III

Introducción Operativa

Dando Entrada a Objetos de Definición Algebraica

1. Se les da Nombre a Nuevos Objetos, simplemente anteponiendo su nombre = en la Barra de Entrada a su definición algebraica.

Ejemplo: P_1 = (round(10 random()), round(10 random())) crea el punto P_1 con coordenadas aleatorias.

2. Un Producto se establece con un asterisco o espacio entre los factores.

Ejemplo:
x(P_1) * x o x(P:1) x

3. ¡GeoGebra es sensible a las minúsculas diferencias!... lo que implica que identifica como distintos los nombres de variables en que solo una mayúscula o un tilde distingue una de otra. Por eso es preciso controlar estas cuestiones tanto al otorgar un nombre como al referirlo.

  • Los nombres que otorga GeoGebra, espontáneamente a los objetos creados - sea a partir de una herramienta como desde un comando - presentan ciertas distinciones y así, los de los...
    • Puntos son letras mayúsculas.
      Ejemplo: A = (1, 2) o, en coordenadas polares, B = (2; pi)
    • Vectores son letras minúsculas
      Ejemplo: v = (1, 3)
      Note Aviso: Si se asignara la misma definición de valores a objetos anotados con minúsculas - como a o b -, GeoGebra los establecería como vectores posición de puntos de coordenadas (1, 2) o (2; pi) respectivamente.
  • Llevan minúsculas también las...
    • Circunferencias (así como los arcos y las cónicas), rectas (así como los segmentos y semirrectas), funciones y otros elementos asociados
      Ejemplo: circunferencia c: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16
  • Deben anotarse y referirse en minúsculas los nombres de las variables como...
    • la independiente x de una función o
    • x e y en cualquier expresión - ecuación de una sección cónica, de una inecuación, etc. -.
      Ejemplo: f(x) = 3*x + 2

4. Para incluir un objeto en una anotación en la Barra de Entrada, es preciso crearlo antes y referirlo por el nombre que lo identifica, recordando distinguirlo con todos los detalles correspondientes (mayúsculas, minúsculas, tildes...). Esto vale tanto para las expresiones algebraicas como para los comandos...

  • y = m x + b o y = m f(-b) x + f(b) crea una recta en tanto m como b sean ya:
    • números que harán las veces de parámetros (recordar que todo número establecido como tal involucra un deslizador cuyo valor puede modificarse en tanto se lo torne visible en la Vista Gráfica activa.
    • Recta[A, B] o Recta[A + b Vector[A, B] , B] crea una recta en tanto exista el punto A y el B y/o el número b.

5. Cada expresión ingresada en la Barra de Entrada se debe confirmar' pulsando la tecla Enter (o Intro como aparece en algunos teclados).

6. Tanto las teclas de atajo (F1) como la opción del Menú de Ayuda, permiten abrir la ventana pertinente para averiguar el modo de empleo de un comando en la Barra de Entrada.

7. Si al ingresar un comando en la Barra de Entrada aparece un error, conviene leer detenidamente el correspondiente mensaje para tener mayores recursos para subsanarlo.

8. Los Comandos se pueden anotar o seleccionar desde la lista próxima a la Barra de Entrada.

Bulbgraph.pngAtención: Para averiguar qué parámetros se requieren entre los corchetes de cada comando, basta ingresar su nombre completo y pulsar la tecla F1 para abrir la sección pertinente de GeoGebra Wiki.

9. Tras anotar las dos primeras letras de cualquier comando en la Barra de Entrada, emergen alternativas para su Completado Automático tentativo que permite...

  • Seleccionar el adecuado pulsando Enter ( Intro en algunos teclados) para ubicar el cursor entre los corchetes.
  • Proseguir anotando las siguientes letras hasta que se despliegue el deseado.

Repertorio de Funciones

Más allá de los polinomios que pueden ingresarse directamente en la Barra de Entrada, es posible apelar a cualquier de los diferentes tipos de funciones disponibles en GeoGebra (sean las trigonométricas, las exponenciales, las de valor absoluto, módulo o resto...). Con las funciones se puede operar como con cualquier otro objeto e incluso combinarse con construcciones geométricas o con datos que se registren en las celdas de una Hoja de Cálculo.

Nota: Se puede incluso operar con funciones de funciones para modelizar, por ejemplo, cuestiones como la que aparece en una sinusoidal portadora de una función que modula tanto su amplitud como su frecuencia.

Desafío Absoluto

El siguiente problema vincula las funciones previamente tratadas en un desafío integrador:

  • ¿Cómo harían para encontrar una parábola tal que resulten tangentes en algún par de puntos de la correspondiente cuadrática sendas ramas de la gráfica de una función de valor absoluto?

Para encontrar al menos una manera de ilustrar el desafío, conviene...

1 Abrir una nueva ventana de GeoGebra y seleccionar del Menú Apariencias una que incluya la Vista Algebraica, Barra de Entrada y ejes de coordenadas.

2 Preparar al menos tres deslizadores para afectar a la función de 'valor absoluto` para poder ingresarlo como k abs(n x + m), por ejemplo y, a su vez, ingresar otra versión, libre y por tanto desplazable con las teclas de flecha, completamente despojada - abs(x) -.

3 Otro tanto para afectar a la cuadrática a x^2 + b x + c que deberá distinguirse con diferente color y/o estilo que se ingrese, libre y desplazable sin mediaciones, como y = x^2

4 Ocultar el par de funciones que dependen de los deslizadores para encarar el desafío, por empezar, con tanteos sistemáticos que afecten a sendos gráficos libres - y = x^2 y y = abs(x) -

Tanteando Interpretaciones

1 f(x) = abs(x) Se ingresa la función de valor absoluto para explorar su comportamiento.
2 y = 3 Se ingresa la función constante, que aparece con el nombre 'g en el gráfico para indagar todo lo posible, al ir desplazándola, respecto de las relaciones que vinculan a los puntos de intersección con abs(x).
3 Mode intersect.png Se trazan los puntos de intersección entre la función abs(x) y la constante paralela al EjeX
Bulbgraph.pngAtención: Es preciso aplicar dos veces, una en cada rama de la función abs(x), la herramienta de intersección para obtener sendos puntos.
4 Tool Perpendicular Bisector.gif Se traza la mediatriz entre sendos puntos de intersección para poner en evidencia que obra como eje de simetría de esta función. Esta misma maniobra se puede llevar adelante con la parábola para obtener, no solo el eje de simetría sino también el valor de las coordenadas y la posición del vértice.
Bulbgraph.pngAtención: Solo en caso de estar frente a una parábola cuya ecuación cuadrática presente raíces reales se puede encontrar las coordenadas del vértice a partir de la intersección de la cónica con la mediatriz entre sendas raíces.
Nota: Se puede decidir el cierre de la Vista Algebraica en tanto se dispongan los rótulos con nombres y valores de los objetos con los que se opera.
4 absolute.PNG
Guiando las Primeras Exploraciones

(a) Al desplazar la función constante con el ratón o mouse o empleando las teclas de flechas, se modifican los valores y posiciones de los puntos de intersección. Las ordenada de cada uno de ellos representa el valor absoluto de la abscisa.

(b) Al realizar las mismas maniobras de desplazamiento sobre la función de valor absoluto, pueden registrarse y procurar interpretar los cambios provocados en la ecuación de la función. Es posible solicitar que se pongan en evidencia los vínculos entre estos cambios para completar la apreciación de la función desde sus diversos registros y correlacionarlos.

(c) Estas primeras maniobras que se asocian al propósito central del desafío pero conservan una índole de exploración hasta cierto punto, libre, suele poner en evidencia cuestiones como la de simetría. Característica vinculada a un eje de simetría que, aunque parece surgir a simple vista, solo cobra entidad desde una apreciación más completa, cuando se gana cierta familiaridad con las propiedades implicadas en tanto se las pone en juego como herramientas. Máxime cuando se lo puede provocar como concepto una vez que surgió revitalizado en una comparación - en este caso con la parábola - en relación a un propósito guía.

Bulbgraph.pngAtención: La simetría del gráfico de la función tiene cierta vinculación casi espontánea con la expectativa a futuro de encontrar dos soluciones en x para cada valor de y en un problema que apunte a este tipo de de planteos.


Actividad Desencadenada por la Consigna

Si cada diseño de situación vale lo que cuesta, lo que debiera distinguirse es si esta desencadena un quehacer matemático compartido más que la de la presentación de los temas que involucra, a identificar e institucionalizar en cada recapitulación tanto operativa como conceptual que jalone las etapas.

Resolución Complementando Registros y Recursos

Tanteos sucesivos.PNG

La secuencia de imágenes ilustra los tanteo que jalonaron una de las exploraciones que se realizaron en paralelo en distintos equipos de trabajo, con mediación para compartir hallazgos:

  • Para darle mayor visibilidad a los resultados, incluyendo los datos precisos de valores, se procede a emplear la herramienta adecuada para marcar los de puntos de intersección entre las funciones de valor absoluto y la parábola, lo que permite notar:
    • los valores de las coordenadas
    • la condición de indefinido que los afecta.
    • el patrón de resultados por los que se cicla en los intentos desplazando una u otra función (al menos, a lo largo del 'EjeY

1 Se pasa de no tener ningún punto de contacto a tener dos de intersección.

2 Procurando tantear para dar con lo pedido por la consigna, se llegan a cuatro puntos de intersección.

3 Se logran cuatro puntos o ninguno, en una situación que no parece tener mejor salida.

Indicadores y Condiciones

Estas idas y venidas por un ensayo y error que parece servir para configurar un panorama dinámico del funcionamiento de las relaciones en juego pero no alcanzar para alcanzar el propósito, develan la necesidad...

  • de contar con indicadores más propicios para guiar la tarea y se opta por sumar al tanteo, dándole visibilidad, a...
    • la función constante - en lila en las ilustraciones - para ubicar sus puntos de intersección - en negro en las ilustraciones - con una una y otra gráfica.
    • las mediatrices entre Tool Perpendicular Bisector.gif cada par de esos puntos de intersección, para obtener sendos ejes de simetría.

4 Se identifica el vértice como la intersección de la parábola con el eje de simetría coincidente con la mediatriz correspondiente (de color naranja en el ilustración).

  • de controlar algunas condiciones para el logro como la de la coincidencia de los ejes de simetría
  • de incluir...
    • la tangente a la parábola Tool Tangents.gif por uno de los puntos de la parábola para guiar el tanteo hacia la situación en que coincida con la correspondiente rama de la función de valor absoluto.Tanteo Amppliado y Sistematizado.PNG
    • un Mode point.png punto que pudiera desplazarse por la parábola - y otro por la función de valor absoluto - de modo de tantear y controlar con mayor facilidad la posición que debía ocupar la tangente para coincidir con una de las ramas de la función de valor absoluto. (Punto de color naranja en la ilustración, por el que se trazó la tangente a la parábola).
    • sendos puntos de reflexión por los correspondientes ejes de simetría Tool Reflect Object in Line.gif de cada uno de los puntos móviles que se ubicaron sobre la parábola y la función de valor absoluto. (Puntos de color naranja sobre las ramas derechas, en la ilustración).

5 Se trazan la pendiente a la tangente a la parábola en el punto naranja móvil que se puede desplazar por esa curva.

6 Para poder establecerla también sobre la rama derecha de la función de valor absoluto, se marca otro punto adicional al naranja móvil allí ubicado y para unirlos Tool Line through Two Points.gif con la Herramienta de Recta y poder operar efectivamente sobre una recta.

Bulbgraph.pngAtención: Por obvio que apareciera, desde el principio, la necesidad de esta tangente a los ojos docentes de quien planteara la consigna, este requerimiento recién aparece en quienes aceptan ocuparse de la resolución, en el devenir de la actividad.
Recién entonces, quien mediaba la situación hubo de intervenir para brindar información sobre las herramientas y las maniobras pertinentes para operar en tal sentido.
Además, esa se interpretó ocasión para presentar la herramienta Tool Slope.gif que informa gráficamente y con datos precisos, la pendiente de la tangente en ese punto, (considerando que de haberlo hecho previamente quienes estuvieran en la etapa del mero tanteo no le hubiesen otorgado sentido).

7 Tanto la tangente a la parábola como la recta que se traza sobre dos puntos de la rama derecha de la función de valor absoluto, se pasan a exponer con el formato que, ofrecido como alternativa en el Menú Contextual, se aprecia como el más adecuado (para que el primer coeficiente coincida con sus correspondientes pendientes - m- ).

Nota: En algunos casos resultó sorprendente averiguar cuál debía ser, para cumplir la consigna, el valor, coincidente además, tanto de la tangente a la parábola en el punto como de la función de valor absoluto (que además presentaba la misma y opuesta en cada rama).
Ida y Vuelta de Herramientas a Objetos

En este contexto, surgió como herramienta operativa lo que llegaría a recuperarse a nivel conceptual, la asociación entre el régimen de variación de la pendiente de la tangente en cada punto de la cuadrática y su derivada, revitalizado como objeto.

Más aún, el contexto de búsqueda de la resolución, llegaría a dar razón de ser a su estudio, incluyendo el retorno a la ecuación de la cuadrática con los deslizadores (a, b y c) o a un tanteo sistematizado de las dos alternativas libres- para completar el quehacer matemático en juego.

8 Para facilitar el acceso a una solución posible, se reitera tanto para la parábola como para la función de valor absoluto, sus formulaciones originales - f(x) = abs(x) y x^2- .

Nota: Algunas decisiones derivan de quedar en evidencia que la igualdad entre las pendientes de la tangente en el punto a la parábola y la de la recta que coincide con la rama derecha de la función de valor absoluto, no garantiza que esas rectas coincidan sino, solo paralelismo entre ellas.
Esto, aunque parezca evidente a los ojos de docentes que recorren la crónica tutorial retrospectivamente, no lo era con suficiente anticipación desde la perspectiva de quienes se encargan de la resolución.

9 Se restablece la situación inicial de tanteo - en que la parábola vuelve a ser x^2 y f(x) = abs(x) la función de valor absoluto que, ajustada pasa a ser abs(x) - 0.25 - .

Bulbgraph.pngAtención: Como esa reposición requiere demasiados tanteos, se opta por, vía doble clic en la definición de sendos objetos libres para corregir la definición vigente, reponiendo la original.

10 Cuando el tanteo es ya tan sistemático como acotado, se pone en evidencia que lo más ágil resulta colocar el punto desplazable naranja sobre la parábola - vía doble clic en su definición en la Vista Algebraica -en coordenadas tales que la pendiente en la ecuación de la recta tangente - 2 x - resulte igual a la unidad - (0.5, 0.25) _ en este caso -.

11 Para corroborar con mayor precisión el logro del propósito, se acude nuevamente a la Tool Relation between Two Objects.gif Herramienta de Relación para controlar que, no ya paralelas sino iguales, resultan las rectas correspondientes a la tangente de la parábola en el punto - (0.5, 0.25) - y la recta que coincide con la rama derecha de la función del valor absoluto - abs(x) - 0.25 - .

Resuelto Integrado.PNG

¿Una Solución?, ¿Cuántas Soluciones?

Otra solución.PNG

Es conveniente preguntarse por otras posibles una vez que se arriba a una solución válida - su validez puede corroborarse con diferentes estrategias que, en todos los casos, superen el control a ojo de buen cubero que es un valioso recurso que sirve para empezar pero no alcanza para concluir-.

Cada traslación que se realiza tanto sobre la parábola de la solución inicial - x^2- como la de la función de valor absoluto con la que se llegó a ese primer resultado - abs(x) - 0.25 - , también arrastra a todos los elementos, auxiliares o centrales, de la construcción de modo que...

  • se llega dinámicamente a una nueva solución tal como se puede controlar con precisión numérica
  • registrar a partir de la información expuesta en la Vista Algebraica, susceptible de control algebraico relativamente simple (asociado de tener interés disciplinar y didáctico en el tema a partir de operaciones con la primera derivada de la parábola, pero sin requerir esta tarea).

La cuestión que se despliega es, entonces, ¿cuántas soluciones habrá, más allá de las que se pongan en descubierto en cada traslación conjunta a lo largo del EjeY y/o del EjeX?, ¿serán numerosas o... infinitas?.

Infinitas pero ¡no arbitrarias!

Las traslaciones de la construcción llevan a encontrar otras, semejantes, soluciones.

Considerar la influencia de los cambios en los deslizadores sobre la cuadrática - aquella a x^2 + b x + x dejada de lado en la primera etapa de tanteos - permite distinguir la influencia, no ya de trasladar la parábola sino de modificarla, sobre la índole de la familia de soluciones posibles.

Otra solución Diferente.PNG

A diferencia de lo provocado por las traslaciones, los cambios en la parábola desde su coeficiente principal, alteran de modo diverso (acaso proporcional), la distancia entre vértices de sendas funciones y las coordenadas del punto en que se encuentra esa tangente coincidente con una rama de la función de valor absoluto.

Nota: Las maniobras algebraicas que - incluso apelando a comandos - pueden complementar el tratamiento que con esta particular y dinámica figura / construcción se llevó adelante.

Cuestiones Motivadas

La motivación desencadenada, lleva a incursionar en...

  • el esquema de mecanismos de resolución
  • el entrecruzamiento de informaciones y representaciones en diversos registros - gráfico y algebraico fundamentalmente -
  • el análisis de los elementos del escenario y contexto del planteo:
    • con el consiguiente estudio de la función cuadrática y de la de valor absoluto
    • así como el de régimen de variación de cada una de ellas, vinculado a la derivada - como herramienta mientras se perfila como objeto - o, al menos, a su representación gráfica.

... y, sobre todo, en las particularidades del quehacer matemático cruzado por este tipo de herramientas.

Nota:

Para profundizar y ampliar lo que se estudia en este tutorial, es aconsejable consultar:

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