Tutorial:Input algebrico Comandi base

Da GeoGebra Manual.

Suggerimenti e accorgimenti

1. Assegnare un nome a un nuovo oggetto digitando nome = nella barra di inserimento, prima della relativa rappresentazione algebrica.

Esempio: P = (3, 2) crea il punto P.

2. La moltiplicazione viene indicata digitando un asterisco o uno spazio tra i fattori.

Esempio: a*x oppure a x

3. In GeoGebra c'è distinzione tra maiuscole e minuscole Quindi lettere maiuscole e minuscole non hanno lo stesso significato.

  • I punti vengono sempre identificati con lettere maiuscole
    Esempio: A = (1, 2)
  • I vettori vengono sempre identificati con lettere minuscole
    Esempio: v = (1, 3)
  • Segmenti, rette, circonferenze, funzioni… vengono sempre identificati con lettere minuscole.
    Esempio: circonf c: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16
  • La variabile x in una funzione e le variabili x e y nell'equazione di una conica devono essere sempre indicate in minuscolo.
    Esempio: f(x) = 3*x + 2

4. Per utilizzare un oggetto all'interno di un'espressione algebrica o di un comando è necessario creare l'oggetto prima di digitarne il nome nella barra di inserimento.

  • y = m x + q genera una retta i cui parametri sono i valori già esistenti m e q (ad es. numeri / slider).
  • Retta[A, B] crea la retta passante per i punti A e B già esistenti.

5. Confermare un'espressione digitata nella barra di inserimento premendo il tasto Invio .

6. Aprire la finestra della Guida relativa alla barra di inserimento e ai comandi facendo clic su Guida nel menu Guida (oppure premere F1).

7. Messaggi di errore: leggere sempre i messaggi – possono essere un valido aiuto per la risoluzione dei problemi

8. I comandi possono essere digitati o selezionati direttamente dall'elenco a destra della barra di inserimento.

Note Suggerimento: Se non si conoscono i parametri da indicare nelle parentesi di un comando, digitare interamente il nome del comando e premere il tasto F1 per aprire il GeoGebra Wiki.

9. Completamento automatico dei comandi: Dopo la digitazione delle prime due lettere di un comando nella barra di inserimento, GeoGebra esegue il completamento automatico del nome del comando.

  • Se viene visualizzato il comando desiderato, premere il tasto Invio: il cursore verrà posizionato all'interno delle parentesi.
  • Se il comando visualizzato non è quello desiderato, continuare la digitazione fino ad ottenere il comando corretto.

Costruire le tangenti ad una circonferenza (Parte 1)

Aprire il foglio di lavoro dinamico Tangenti a una circonferenza. Seguire le istruzioni sul foglio di lavoro, in modo da scoprire come costruire le tangenti ad una circonferenza.

Discussione

  • Quali strumenti sono stati utilizzati per ricreare la costruzione?
  • Sono stati utilizzati nuovi strumenti nel processo di costruzione suggerito? Se sì, come avete scoperto il funzionamento del nuovo strumento?
  • Avete notato la barra degli strumenti visualizzata nell'applet a destra?
  • Pensate che i vostri studenti siano in grado di lavorare con un foglio di lavoro dinamico di questo tipo, e scoprire autonomamente i processi di costruzione?

Costruire le tangenti ad una circonferenza (Parte 2)

Cosa fare se il mouse o il touchpad non funzionano?

Supponiamo che il mouse e / o il touchpad smettano di funzionare durante la preparazione dei file di GeoGebra per la lezione successiva. Come è possibile portare a termine il file della costruzione?

GeoGebra consente l'input diretto algebrico e dei comandi, oltre a disporre di strumenti puramente geometrici. Ogni strumento corrisponde a un comando, quindi può essere applicato anche senza usare il mouse.

Note: GeoGebra dispone di più comandi che strumenti geometrici. Quindi non tutti i comandi hanno un corrispondente strumento geometrico.

Prima di tutto

Processo di costruzione

1 A = (0, 0) Punto A
2 (3, 0) Punto B
Note Suggerimento: Se non viene specificato un nome, gli oggetti vengono nominati in ordine alfabetico.
3 c = Circonferenza[A, B] Circonferenza di centro A, passante per B
Note Suggerimento: La circonferenza è un oggetto dipendente
Note: GeoGebra distingue gli oggetti liberi da quelli dipendenti. Mentre gli oggetti liberi possono essere modificati utilizzando il mouse o la tastiera, gli oggetti dipendenti si adattano alle modifiche degli oggetti da cui dipendono. È dunque irrilevante la creazione di un oggetto tramite mouse o tastiera.
Note Suggerimento: Attivare il modo Muovi e fare doppio clic su un oggetto nella vista Algebra in modo da poterne modificare la rappresentazione algebrica tramite la tastiera. Al termine, premere il tasto Invio.
Note Suggerimento: È possibile utilizzare i tasti freccia per muovere gli oggetti liberi in modo controllato. Attivare il modo Muovi e selezionare l'oggetto (ad es. un punto libero) in una delle due finestre. Premere i tasti freccia su / giù oppure sinistra / destra in modo da muovere l'oggetto nella direzione desiderata.


4 C = (5, 4) Punto C
5 s = Segmento[A, C] Segmento AC
6 D = PuntoMedio[s] Punto medio D del segmento AC
7 d = Circonferenza[D, C] Circonferenza di centro D, passante per C
8 Intersezione[c, d] Punti di intersezione E ed F delle due circonferenze
9 Retta[C, E] Tangente passante per C ed E
10 Retta[C, F] Tangente passante per C ed F

Verifica e perfezionamento della costruzione

  • Eseguire il test di trascinamento per verificare se la costruzione è corretta.
  • Modificare le proprietà degli oggetti in modo da perfezionare l'aspetto della costruzione (ad es. colori, spessore delle linee, tratteggio degli oggetti ausiliari,…)
  • Salvare la costruzione.

Discussione

  • Sono emersi problemi o difficoltà durante il processo di costruzione?
  • Quale versione della costruzione (mouse o tastiera) preferite e perchè?
  • Perchè utilizzare la tastiera quando è possibile ottenere lo stesso risultato utilizzando gli strumenti?
    Note Suggerimento: Ci sono comandi disponibili che non hanno uno strumento geometrico corrispondente.
  • Ha importanza il modo in cui viene creato un oggetto? Può essere modificato nella vista Algebra (tramite tastiera) e allo stesso modo nella vista Grafici (con il mouse)?

Analisi dei parametri di un polinomio quadratico

In questa attività verrà analizzato il significato dei parametri in un polinomio di secondo grado. Vedremo come è possibile integrare GeoGebra in un ambiente didattico tradizionale in modo da rendere l'insegnamento attivo e mirato allo studente.

  1. Aprire un nuovo file di GeoGebra
  2. Digitare nella barra di inserimento f(x) = x^2, quindi premere il tasto Invio . Quale forma ha il grafico della funzione? Scrivere la risposta su un foglio di carta.
  3. Nel modo Tool Move.gif Muovi, evidenziare il polinomio nella vista Algebra e utilizzare i tasti freccia ↑ sù e ↓ giù.
    • Qual è l'effetto sul grafico del polinomio? Annotare le osservazioni.
    • Qual è l'effetto sull'equazione del polinomio? Annotare le osservazioni.
  4. Ancora, nel modo Muovi, evidenziare la funzione nella vista Algebra e utilizzare i tasti freccia ← sinistra e → destra.
    • Qual è l'effetto sul grafico del polinomio? Annotare le osservazioni.
    • Qual è l'effetto sull'equazione? Annotare le osservazioni.
  5. Nel modo Muovi, fare doppio clic sull'equazione del polinomio. Utilizzare la tastiera per modificare l'equazione in f(x) = 3 x^2. Utilizzare un asterisco * o uno spazio per indicare una moltiplicazione.
    • Descrivere la variazione nel grafico della funzione.
    • Modificare nuovamente l'equazione digitando valori diversi del parametro (ad es. 0.5, -2, -0.8, 3). Annotare le osservazioni.

Discussione

  • Sono emersi problemi o difficoltà relativi all'uso di GeoGebra?
  • Come è possibile integrare un'impostazione di questo tipo (GeoGebra combinato alle istruzioni su supporto cartaceo) in un ambiente didattico tradizionale?
  • Ritenete che sia possibile assegnare un'attività di questo tipo come compito ai vostri studenti?
  • L'analisi dinamica dei parametri di un polinomio può essere significativa per il processo di apprendimento degli studenti?
  • Avete in mente qualche argomento di carattere matematico che può essere insegnato con modalità di questo tipo (schede su carta in combinazione con il computer)?

Utilizzo degli slider per modificare i parametri

Ora verrà illustrato un modo più dinamico per analizzare l'effetto di un parametro su un polinomio del tipo f(x) = a x^2 utilizzando uno slider per la modifica dei valori assunti dal parametro.

Operazioni preliminari

Processo di costruzione

1 a = 1 Creare la variabile a
2 f(x) = a * x^2 Digitare il polinomio quadratico f
Note Suggerimento: Non dimenticarsi di inserire un asterisco * o uno spazio tra a e x^2.

Rappresentazione di un numero con uno slider

Per visualizzare i numeri come slider nella vista Grafici è necessario fare clic con il tasto destro del mouse (MacOS: Ctrl-clic) sulla variabile nella vista Algebra, quindi selezionare Mostra oggetto.

Perfezionare la costruzione

Creare un altro slider b per controllare la costante nell'equazione polinomiale f(x) = a x^2 + b.

3 Tool Slider.gif Creare uno slider b utilizzando lo strumento Slider
Note Suggerimento: Attivare lo strumento e fare clic nella vista Grafici. Utilizzare le impostazioni predefinite e fare clic su Applica.
4 f(x) = a * x^2 + b Digitare il polinomio f
Note Suggerimento: La vecchia funzione f verrà sostituita con la nuova definizione.

Esercizi

  • Modificare il valore del parametro a muovendo con il mouse il punto mobile dello slider. Qual è l'effetto sul grafico del polinomio?
  • Come cambia il grafico quando il valore del parametro è (a) maggiore di 1, (b) compreso tra 0 e 1 oppure (c) negativo? Annotare le osservazioni.
  • Modificare il valore del parametro b. Qual è l'effetto sul grafico del polinomio?

Libreria di funzioni

In GeoGebra, oltre ai polinomi, sono disponibili vari tipi di funzione (ad es. funzioni trigonometriche, la funzione valore assoluto, la funzione esponenziale). Le funzioni vengono trattate come oggetti e possono essere utilizzate in combinazione con le costruzioni geometriche.

Obiettivo 1: Visualizzare i valori assoluti

Aprire un nuovo file di GeoGebra. Verificare che la vista Algebra, la barra di inserimento e gli assi cartesiani siano visibili.

1 f(x) = abs(x) Definire la funzione valore assoluto f
2 g(x) = 3 Definire la funzione costante g
3 Tool Intersect Two Objects.gif Intersecare le due funzioni.
Note Suggerimento: È necessario fare ciò due volte per ottenere entrambe le intersezioni.
Note Suggerimento: È possibile chiudere la vista Algebra e visualizzare nomi e valori come etichette degli oggetti.


4 absolute.PNG


(a) Muovere la funzione costante con il mouse, oppure premendo i tasti freccia. L'ordinata di ogni punto di intersezione rappresenta il valore assoluto dell'ascissa.

(b) Muovere la funzione valore assoluto verso l'alto o il basso utilizzando il mouse o i tasti freccia. Come si modifica l'equazione della funzione?

(c) Come è possibile utilizzare questa costruzione in modo da fare familiarizzare gli studenti con il concetto di valore assoluto?

Note Suggerimento: La simmetria del grafico della funzione indica che in generale esistono due soluzioni per un problema con un valore assoluto.


Obiettivo 2: Sovrapposizione di sinusoidi

Le onde sonore possono essere rappresentate matematicamente come combinazione di sinusoidi. Ogni tono musicale è composto da più sinusoidi della forma y(t) = a sin(ω t + φ) . L'ampiezza a influenza il volume del tono, mentre la frequenza angolare ω determina il grado della tonalità. Il parametro φ è detto fase, ed indica se l'onda sonora è spostata nel tempo. Se si verifica l'interferenza tra due sinusoidi, si ha un fenomeno di sovrapposizione. Ciò significa che le sinusoidi si amplificano o si diminuiscono reciprocamente. È possibile simulare questo fenomeno con GeoGebra, in modo da esaminare i casi particolari che si verificano anche in natura.

1 f(x) = abs(x) Creare tre slider a_1, ω_1 e φ_1.
Note Suggerimento: La scrittura a_1 genera un indice. Per selezionare le lettere greche utilizzare il menu a fianco del campo testuale nome nella finestra di dialogo Slider .
2 g(x)= a_1 sin(ω_1 x + φ_1) Anche in questo caso è possibile selezionare le lettere greche dal menu vicino alla barra di inserimento.

(a) Esaminare l'effetto dei parametri sul grafico delle sinusoidi, modificando i valori degli slider.

3 Tool Slider.gif Creare tre slider a_2, ω_2 e φ_2
Note Suggerimento: È possibile muovere gli slider solo quando lo strumento Slider è attivo.
4 h(x)= a_2 sin(ω_2 x + φ_2) Digitare un'altra funzione seno h.
5 somma(x) = g(x) + h(x) Creare la somma delle due funzioni.

(b) Modificare il colore delle tre funzioni in modo da renderne più immediata l'identificazione.

(c) Imporre a_1 = 1, ω_1 = 1 e φ_1 = 0. Per quali valori di a_2, ω_2 e φ_2 la somma ha la massima ampiezza?

Note Suggerimento: In questo caso il tono risultante avrà il volume massimo.

(d) Per quali valori di a_2, ω_2 e φ_2 le due funzioni si annullano reciprocamente?

Note Suggerimento: In questo caso non verrà udito alcun tono.


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