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Dans le plan, ABC est un triangle d’orthocentre H.
Il s’agit de déterminer le lieu L des points H quand C se déplace sur une certaine droite.
Pas de problème au niveau de l'utilisation de GeoGebra, il s'agit d'un problème classique de lieu de points.
Pour une première approche, une droite à la volée, un triangle avec le sommet C sur la droite, deux hauteurs, leur point d'intersection H.
On en activera la trace (version volatile) ; ou on en définira le lieu Lieu[H,C](version pérenne)
Par défaut, je traite cette question à l'aide de la géométrie analytique.
Je choisis un repère "normal" d'origine le milieu de [AB] car il est bien évident que ces deux points jouent un rôle symétrique. (En fait, par commodités, je fais le contraire, je prends A de l'axeX de GeoGebra et B est défini comme son symétrique par rapport au point O=(0,0)).
Pour obtenir toutes les droites possibles, je choisis le type ax+by=c après avoir défini 3 curseurs (le cas a et c simultanément nuls sera à proscrire (triangle aplati)).
Soit b \neq 0
Dans le repère choisi, on pose H(x,y), d'où C(x, y(C)) avec y(C)=\frac{c-ax}{b} et les vecteurs \vec{AH} { {x-x(A)} \choose {y}} et \vec{CB}={ {x(B)-x} \choose {-y(C)}}
La nullité du produit scalaire entraîne 0 = \vec{AH} \cdot \vec{CB} = (x-x(A))(x(B)-x)-y y(C)
soit avec x(B)=-x(A) et en remplaçant y(C) par sa valeur
(x-x(A))(x+x(A))+y \frac{c-ax}{b} = 0
et c'est sous cette forme que l'on doit définir la conique solution dans GeoGebra si on veut pouvoir lui appliquer les commandes spécifiques : Asymptote, Foyer, Directrice ; (quelques soucis avec les asymptotes lorsque la conique est dégénérée ... ?)
Si a = 0 \quad (et \quad c \neq 0 ) le lieu cherché est la parabole d'équation y = \frac{b}{c} (-x^2+(x(A))^2)
Si a \neq 0 , on peut se ramener à une fonction rationnelle y = \frac{(-x^2+(x(A))^2)b}{c-ax} représentée par une hyperbole éventuellement dégénérée :
(x-x(A))(x+x(A))+\frac{ya}{b} (\frac{c}{a} -x)= 0
si la droite passe par A on a \frac{c}{a} = x(A) soit après factorisation :
(x-x(A))(x+x(A)-\frac{ya}{b} )= 0
ce qui définit la perpendiculaire en A à (AB) et la droite d'équation -bx+ay=bx(A), soit la perpendiculaire passant par B à la droite donnée, c'est à dire la hauteur passant par B, et elle seule est acceptable, b étant différent de 0, le point C (donc H) ne décrit pas la perpendiculaire en A à (AB).
De même si la droite passe par B, H décrit la hauteur passant par A.
Si b = 0 la droite est perpendiculaire à (AB)
H décrit alors cette perpendiculaire privée de son point d'intersection avec (AB)
