Commande ItérationListe

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ItérationListe( <Fonction f>, <Valeur départ \mathrm{\mathsf{ x_0 }}>, <Nombre n> )
Liste L de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives par f de la valeur \mathrm{\mathsf{ x_0 }}.
Exemples :
  • Après avoir défini f(x) = x^2
    la commande ItérationListe(f, 3, 2) retourne la liste L = {3, 9, 81} (c'est-à-dire {3,32,(32)2}).
  • on peut utiliser cette commande pour définir une suite récurrente où ak+1 dépend de ak et k. À partir d'une fonction f de deux variables avec comme Valeur départ une liste de deux nombres{s, as}, la liste créée sera celle des valeurs as, as+1 ,....,as+n dans laquelle pour k>s on a ak+1=f(k, ak).
Après avoir défini f(k,a)=(k+1)*a, qui correspond à la définition récursive de factorielle. La commande ItérationListe(f, {3, 6}, 4) retournera la liste {6, 24, 120, 720, 5040}


ItérationListe( <Expression>, <Nom Variable>, ..., <Liste Valeurs départ>, <Nombre d'itérations> )
Construit la liste de longueur n+1 dont les éléments sont les images itératives de l'expression en partant de la valeur de départ. Les variables de l' expression sont remplacées par les derniers éléments de la liste à chaque itération. Il doit y avoir au moins autant de valeurs de départ qu'il y a de variables, sinon le résultat est non défini.


Exemples :
Soit A et B deux points. Alors ItérationListe(MilieuCentre(A, C), C,{B},3) calcule
  • C0=B ;
  • C1=MilieuCentre(A, C0) ;
  • C2=MilieuCentre(A, C1) ;
  • C3=MilieuCentre(A, C2)
et retourne {C0, C1, C2, C3}.
Ainsi pour A=(0,0) et B=(8,0) le résultat sera {(8,0), (4,0), (2,0), (1,0)}.


Saisie : Voir aussi la commande  : Itération


Note Idée : Utilisation avec des suites numériques
  • Suites arithmétiques a(n+1) = a(n) + r

avec par exemple a(0) = 1 et r = 3 ItérationListe(x+3, 1, 4) retourne {1, 4, 7, 10, 13}

  • Suites géométriques g(n+1) = q x g(n)

avec par exemple g(0) = 1 et q = 3 ItérationListe(3x, 1, 4) retourne {1, 3, 9, 27, 81}

  • Suite de Fibonnacci :

Soit f_0 et f_1 deux nombres. ItérationListe(a+b, a,b,{f_0,f_1},5) affecte aux 2 premiers éléments du résultat les deux valeurs de départ.
Ensuite les valeurs sont calculées comme suit :

  • f2=f0+f1 ;
  • f3=f1+f2 ;
  • f4=f2+f3 ;
  • f5=f3+f4.

et retourne {f0, f1, f2, f3, f4, f5 }.
Ainsi pour f_0=1 et f_1=1 le résultat sera {1,1,2,3,5,8}.

  • Suites de Collatz ou Syracuse :

ItérationListe(Si(floor(x / 2) ≟ x / 2, x / 2, 3x + 1), 14, 8) retourne {14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13} les 8 premiers termes de cette suite de premier terme 14

  • Suites récurrentes avec présence de n dans la formule :

🦁Soit la suite {7, 71, 712, 7123, 71234, 712345}, une interprétation :
le premier terme, u0, est 7,
le suivant, u1, 10 fois 7 augmenté de 1,
le suivant du suivant, u2, 10 fois 71 augmenté de 2 .../...

on va définir une fonction de 2 variables f(n,x) (le n étant la 1ère) f(n, x) = 10x + n et la validation de ItérationListe(f, {1, 7}, 5) exécutant les itérations de la fonction f à partir de n=1 pour une valeur d'image de départ de 7, retournera la liste des 6 nombres présentés.


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Menu view cas.svg Calcul formel :

Cette commande fonctionne à l'identique dans la fenêtre Calcul formel


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